序 1
前言 1
第一章数学与人类文明 1
数学的内容 1
数学的特点 2
数学对人类文明的贡献 3
数学发展简史 4
现代数学发展的新趋向 12
计算机的影响 13
关于中等教育 13
第二章数系 15
2.1无理数的诞生 16
自然数 16
代数结构的出现 20
逆运算的作用 21
有理数的稠密性 22
有理数域 23
第一次数学危机 25
历史意义 27
第一次数学危机的消除 28
层次 28
反证法 29
习题 30
2.2无限的比较 31
一段富有启发性的历史对话 31
对谈话的分析和解答 33
有理数集是可数的 36
实数集是不可数的 39
代数数 40
无限的算术 43
结语 44
习题 46
2.3复数 46
复数的引进 46
复数的几何表示 47
复数的三角表示和指数表示 48
复数域 49
乘方与开方 50
单位根 53
复数的确认 56
习题 57
第三章.连分数及其在天文学上的应用 58
3.1从辗转相除法谈起 58
辗转相除法 58
连分数 60
习题 66
3.2连分数在天文学上的应用 66
为什么四年一闰，而百年又少一闰 66
公历的改革 68
农历的月大月小、闰年闰月 71
二十四节气 72
闰月放在哪儿 73
日月食 74
干支记年 76
3.3连分数的性质 78
渐近分数的性质 78
渐近分数的表达式 79
渐近分数的极限 82
连分数的几何解释 84
习题 85
最佳逼近 86
方程x2＝ax＋1的解（a为正整数） 89
斐波那契级数 89
第四章素数定理与哥德巴赫猜想 93
4.1初等数论初步 93
数论是什么 93
数论的一个特点：表面简单，实际难 94
素数与合数 94
素数表 95
算术基本定理 97
另一种“算术” 99
最大公因数 100
函数［x］，｛x｝ 100
费马素数 103
完全数与梅森数 105
高斯的功绩 112
习题 113
4.2素数定理与哥德巴赫猜想 113
素数定理 113
哥德巴赫猜想 116
有关素数的12个问题 120
第五章从勾股定理到费马大定理 121
引言 121
5.1一次不定方程 123
通解公式 123
整数的模 125
可解的充要条件 127
如何求二元一次方程的解 128
二元一次方程的非负解 130
多元一次不定方程 133
习题 135
5.2勾股定理 135
问题 135
第一个重要定理——勾股定理 135
勾股定理的几何方面 139
勾股定理的数论方面 140
初等方法 142
几何方法 144
高斯的复整数 146
类数问题 149
高斯复整数法 151
5.3与勾股定理有关的问题 151
已知x边求本原三角形 151
已知y边求本原三角形 152
已知z边求本原三角形 153
习题 158
5.4费马大定理 158
费马和费马大定理 158
无穷递降法 160
n＝4的费马定理 162
n＝3的情形 163
初等方法的结束 164
热尔曼的贡献 165
库默尔的工作和理想数 167
从丢番图到维尔斯 168
费马大定理的推广 171
第六章欧氏几何回顾 173
6.1欧几里得几何 173
欧氏几何的诞生 173
《几何原本》的历史背景 175
欧氏几何的内容 175
欧氏几何的优缺点 177
欧氏几何的历史地位 179
几何学在中学数学教育中的地位 179
6.2尺规作图问题 180
几何三大难题 180
用尺规可作什么图 181
有理数域的扩张 182
一般讨论 184
代数知识 186
三大难题的解 190
习题 193
6.3正多边形作图 193
6.4平行公设引起的思考 195
从《几何原本》诞生到18世纪 196
非欧几何的孕育时期 197
非欧几里得几何的诞生 200
罗巴切夫斯基的解答 202
非欧几何的相容性 202
黎曼的非欧几何 203
欧氏几何与非欧几何 204
爱尔兰根纲领 206
各种几何与物理空间 208
第七章同余理论及其应用 210
7.1同余式的性质 210
同余的定义 210
同余式的基本性质 211
同余式的四则运算 213
同余式的方幂 215
检查因数的方法 217
弃九法（验算整数计算结果的方法） 219
剩余类与完全剩余系 221
习题 223
7.2中国剩余定理 224
同余式 224
中国剩余定理 227
程大位的口诀 230
习题 233
7.3费马小定理和欧拉定理 233
费马小定理 233
简化剩余系与欧拉函数 236
欧拉定理 239
对循环小数的应用 240
习题 243
7.4同余式的应用 244
在密码学上的应用 244
素数鉴别 253
星期数 256
公式的证明 258
循环程序排列 260
习题 261
第八章分形与混沌 262
8.1漫游分形 262
引言 262
海岸线的长度 264
科克曲线 265
皮亚诺曲线 266
分数维 268
几种基本的规则分形 270
自然界中的分形 273
8.2奇妙的混沌 277
混沌的定义 277
混沌的发现 278
蝴蝶效应 278
线性与非线性 279
函数的迭代 280
人口模型 282
逻辑斯蒂映射 283
茹利亚集 288
芒德布罗集 290
第九章一笔画和邮递路线问题 295
问题的提出 295
一笔画问题 297
哥尼斯堡七桥问题 298
网络 300
一笔画定理 302
多笔画 307
偶网络 308
再论邮递路线问题 309
奇偶点网上作业法 310
什么是拓扑学 316
欧拉公式 319
四色问题 321
争论与困惑 323
习题 324
第十章代数方程式 326
10.1三次方程与四次方程 327
什么是代数 327
二次方程 328
韦达公式 329
三次方程 331
实系数的三次方程 334
卡尔达诺公式小史 336
三次方程解法总结 336
四次方程 337
五次以上的代数方程 340
习题 342
10.2代数基本定理 342
引言 342
代数基本定理的证明 343
10.3多项式的根的分布问题 348
多项式的单根和重根 349
罗尔定理和它的推论 350
笛卡儿符号定则 351
辐角原理 354
10.4实根的近似计算法 357
二分法 358
插值法 359
牛顿法 361
习题 363
第十一章双曲几何的庞加莱模型 364
11.1球极平面投影 365
直线与圆的复数形式 365
复数的球面表示 367
球极投影的公式 367
球极投影的基本性质 369
11.2分式线性变换 370
线性变换 370
反演变换 372
倒数变换 374
分式线性变换 376
保角性 376
单位圆到自身的分式线性变换 378
习题 379
11.3非欧几何的庞加莱模型 379
非欧平面 380
非欧刚体运动 382
罗巴切夫斯基公理系统 384
三角形内角和小于180° 385
真理性讨论 386
第十二章微积分前期史 390
12.1积分学的早期史 392
欧多克索斯的穷竭法 392
阿基米德的平衡法 394
不可分素方法 397
不可分素方法的进一步发展 399
刘徽的贡献 399
祖暅原理 401
12.2微分学的早期史 402
费马以前的工作 403
费马求极大、极小值的方法 403
费马求切线的方法 405
费马在积分学方面的贡献 406
巴罗的贡献 408
前期史小结 410
12.3牛顿和莱布尼兹 411
12.4光辉的诞生 415
第十三章实数理论 417
13.1第二次数学危机 417
英雄世纪 417
第二次数学危机 418
柯西的功绩 420
魏尔斯特拉斯的规划 421
13.2实数集合的基本性质 423
从有理数谈起 423
戴德金分划 426
实数的性质 428
实数集合的有序化 429
实数集合的连续性 430
确界的存在定理 432
习题 434
13.3实数的四则运算 434
实数和的定义 434
对称数 436
实数减法的定义 437
实数的绝对值 437
实数的积的定义 438
实数的商的定义 439
13.4根的存在性 440
具有有理指数的乘幂 440
任何实指数的乘幂 442
习题 442
第十四章极限、连续与积分 443
14.1极限论 443
单调序列 444
区间套定理 446
收敛原理 448
有限覆盖定理 452
极限思想辩证剖析 452
函数的极限 453
小结 454
14.2函数的连续性 455
中间值定理 455
函数的最大、最小值定理 458
一致连续性 459
14.3黎曼积分 462
黎曼积分 462
达布和 464
达布和的性质 464
积分存在的条件 466
可积函数类 467
第十五章数学模型 471
15.1选票分配 473
何谓悖论 473
选举悖论 473
选票分配问题 475
亚拉巴马悖论 477
15.2体育训练问题 479
15.3指数增长与衰减问题 482
一个简单的微分方程 482
人口模型 483
再论人口模型 485
三论人口模型 490
习题 493
新产品销售模型 493
牛顿冷却定律 494
15.4在考古学中的应用 496
放射性年龄测定法 496
范·米格伦伪造名画案 499
小结 505
习题 507
第十六章外微分形式 508
场论的三个基本公式 508
曲面的定向 509
外乘积 510
微分形式和它的外微分 515
在场论中的应用 518
习题 521
第十七章数学的真理性 522
数学的证明和科学的证明 522
数学的公理化 523
天衣有缝 524
希尔伯特和他的23个问题 525
罗素的悖论和第三次数学危机 531
20世纪初的一场大辩论 534
哥德尔的不完全性定理 535
答案与提示 537
参考文献 546