数学的源与流 第2版PDF电子书下载

序 1

前言 1

第一章数学与人类文明 1

数学的内容 1

数学的特点 2

数学对人类文明的贡献 3

数学发展简史 4

现代数学发展的新趋向 12

计算机的影响 13

关于中等教育 13

第二章数系 15

2.1无理数的诞生 16

自然数 16

代数结构的出现 20

逆运算的作用 21

有理数的稠密性 22

有理数域 23

第一次数学危机 25

历史意义 27

第一次数学危机的消除 28

层次 28

反证法 29

习题 30

2.2无限的比较 31

一段富有启发性的历史对话 31

对谈话的分析和解答 33

有理数集是可数的 36

实数集是不可数的 39

代数数 40

无限的算术 43

结语 44

习题 46

2.3复数 46

复数的引进 46

复数的几何表示 47

复数的三角表示和指数表示 48

复数域 49

乘方与开方 50

单位根 53

复数的确认 56

习题 57

第三章.连分数及其在天文学上的应用 58

3.1从辗转相除法谈起 58

辗转相除法 58

连分数 60

习题 66

3.2连分数在天文学上的应用 66

为什么四年一闰，而百年又少一闰 66

公历的改革 68

农历的月大月小、闰年闰月 71

二十四节气 72

闰月放在哪儿 73

日月食 74

干支记年 76

3.3连分数的性质 78

渐近分数的性质 78

渐近分数的表达式 79

渐近分数的极限 82

连分数的几何解释 84

习题 85

最佳逼近 86

方程x2＝ax＋1的解（a为正整数） 89

斐波那契级数 89

第四章素数定理与哥德巴赫猜想 93

4.1初等数论初步 93

数论是什么 93

数论的一个特点：表面简单，实际难 94

素数与合数 94

素数表 95

算术基本定理 97

另一种“算术” 99

最大公因数 100

函数［x］，｛x｝ 100

费马素数 103

完全数与梅森数 105

高斯的功绩 112

习题 113

4.2素数定理与哥德巴赫猜想 113

素数定理 113

哥德巴赫猜想 116

有关素数的12个问题 120

第五章从勾股定理到费马大定理 121

引言 121

5.1一次不定方程 123

通解公式 123

整数的模 125

可解的充要条件 127

如何求二元一次方程的解 128

二元一次方程的非负解 130

多元一次不定方程 133

习题 135

5.2勾股定理 135

问题 135

第一个重要定理——勾股定理 135

勾股定理的几何方面 139

勾股定理的数论方面 140

初等方法 142

几何方法 144

高斯的复整数 146

类数问题 149

高斯复整数法 151

5.3与勾股定理有关的问题 151

已知x边求本原三角形 151

已知y边求本原三角形 152

已知z边求本原三角形 153

习题 158

5.4费马大定理 158

费马和费马大定理 158

无穷递降法 160

n＝4的费马定理 162

n＝3的情形 163

初等方法的结束 164

热尔曼的贡献 165

库默尔的工作和理想数 167

从丢番图到维尔斯 168

费马大定理的推广 171

第六章欧氏几何回顾 173

6.1欧几里得几何 173

欧氏几何的诞生 173

《几何原本》的历史背景 175

欧氏几何的内容 175

欧氏几何的优缺点 177

欧氏几何的历史地位 179

几何学在中学数学教育中的地位 179

6.2尺规作图问题 180

几何三大难题 180

用尺规可作什么图 181

有理数域的扩张 182

一般讨论 184

代数知识 186

三大难题的解 190

习题 193

6.3正多边形作图 193

6.4平行公设引起的思考 195

从《几何原本》诞生到18世纪 196

非欧几何的孕育时期 197

非欧几里得几何的诞生 200

罗巴切夫斯基的解答 202

非欧几何的相容性 202

黎曼的非欧几何 203

欧氏几何与非欧几何 204

爱尔兰根纲领 206

各种几何与物理空间 208

第七章同余理论及其应用 210

7.1同余式的性质 210

同余的定义 210

同余式的基本性质 211

同余式的四则运算 213

同余式的方幂 215

检查因数的方法 217

弃九法（验算整数计算结果的方法） 219

剩余类与完全剩余系 221

习题 223

7.2中国剩余定理 224

同余式 224

中国剩余定理 227

程大位的口诀 230

习题 233

7.3费马小定理和欧拉定理 233

费马小定理 233

简化剩余系与欧拉函数 236

欧拉定理 239

对循环小数的应用 240

习题 243

7.4同余式的应用 244

在密码学上的应用 244

素数鉴别 253

星期数 256

公式的证明 258

循环程序排列 260

习题 261

第八章分形与混沌 262

8.1漫游分形 262

引言 262

海岸线的长度 264

科克曲线 265

皮亚诺曲线 266

分数维 268

几种基本的规则分形 270

自然界中的分形 273

8.2奇妙的混沌 277

混沌的定义 277

混沌的发现 278

蝴蝶效应 278

线性与非线性 279

函数的迭代 280

人口模型 282

逻辑斯蒂映射 283

茹利亚集 288

芒德布罗集 290

第九章一笔画和邮递路线问题 295

问题的提出 295

一笔画问题 297

哥尼斯堡七桥问题 298

网络 300

一笔画定理 302

多笔画 307

偶网络 308

再论邮递路线问题 309

奇偶点网上作业法 310

什么是拓扑学 316

欧拉公式 319

四色问题 321

争论与困惑 323

习题 324

第十章代数方程式 326

10.1三次方程与四次方程 327

什么是代数 327

二次方程 328

韦达公式 329

三次方程 331

实系数的三次方程 334

卡尔达诺公式小史 336

三次方程解法总结 336

四次方程 337

五次以上的代数方程 340

习题 342

10.2代数基本定理 342

引言 342

代数基本定理的证明 343

10.3多项式的根的分布问题 348

多项式的单根和重根 349

罗尔定理和它的推论 350

笛卡儿符号定则 351

辐角原理 354

10.4实根的近似计算法 357

二分法 358

插值法 359

牛顿法 361

习题 363

第十一章双曲几何的庞加莱模型 364

11.1球极平面投影 365

直线与圆的复数形式 365

复数的球面表示 367

球极投影的公式 367

球极投影的基本性质 369

11.2分式线性变换 370

线性变换 370

反演变换 372

倒数变换 374

分式线性变换 376

保角性 376

单位圆到自身的分式线性变换 378

习题 379

11.3非欧几何的庞加莱模型 379

非欧平面 380

非欧刚体运动 382

罗巴切夫斯基公理系统 384

三角形内角和小于180° 385

真理性讨论 386

第十二章微积分前期史 390

12.1积分学的早期史 392

欧多克索斯的穷竭法 392

阿基米德的平衡法 394

不可分素方法 397

不可分素方法的进一步发展 399

刘徽的贡献 399

祖暅原理 401

12.2微分学的早期史 402

费马以前的工作 403

费马求极大、极小值的方法 403

费马求切线的方法 405

费马在积分学方面的贡献 406

巴罗的贡献 408

前期史小结 410

12.3牛顿和莱布尼兹 411

12.4光辉的诞生 415

第十三章实数理论 417

13.1第二次数学危机 417

英雄世纪 417

第二次数学危机 418

柯西的功绩 420

魏尔斯特拉斯的规划 421

13.2实数集合的基本性质 423

从有理数谈起 423

戴德金分划 426

实数的性质 428

实数集合的有序化 429

实数集合的连续性 430

确界的存在定理 432

习题 434

13.3实数的四则运算 434

实数和的定义 434

对称数 436

实数减法的定义 437

实数的绝对值 437

实数的积的定义 438

实数的商的定义 439

13.4根的存在性 440

具有有理指数的乘幂 440

任何实指数的乘幂 442

习题 442

第十四章极限、连续与积分 443

14.1极限论 443

单调序列 444

区间套定理 446

收敛原理 448

有限覆盖定理 452

极限思想辩证剖析 452

函数的极限 453

小结 454

14.2函数的连续性 455

中间值定理 455

函数的最大、最小值定理 458

一致连续性 459

14.3黎曼积分 462

黎曼积分 462

达布和 464

达布和的性质 464

积分存在的条件 466

可积函数类 467

第十五章数学模型 471

15.1选票分配 473

何谓悖论 473

选举悖论 473

选票分配问题 475

亚拉巴马悖论 477

15.2体育训练问题 479

15.3指数增长与衰减问题 482

一个简单的微分方程 482

人口模型 483

再论人口模型 485

三论人口模型 490

习题 493

新产品销售模型 493

牛顿冷却定律 494

15.4在考古学中的应用 496

放射性年龄测定法 496

范·米格伦伪造名画案 499

小结 505

习题 507

第十六章外微分形式 508

场论的三个基本公式 508

曲面的定向 509

外乘积 510

微分形式和它的外微分 515

在场论中的应用 518

习题 521

第十七章数学的真理性 522

数学的证明和科学的证明 522

数学的公理化 523

天衣有缝 524

希尔伯特和他的23个问题 525

罗素的悖论和第三次数学危机 531

20世纪初的一场大辩论 534

哥德尔的不完全性定理 535

答案与提示 537

参考文献 546