第1章 向量与空间解析几何 1
1.1 空间直角坐标系与向量的概念 1
1.1.1 空间直角坐标系 1
1.1.2 向量与向量的线性运算 3
1.1.3 空间向量的坐标表示及运算 5
1.2 向量的乘法运算 8
1.2.1 向量的数量积 8
1.2.2 向量的向量积 11
1.3 空间中的平面与直线 15
1.3.1 平面 15
1.3.2 直线 18
1.4 空间的曲面和曲线 20
1.4.1 常见空间曲面及其方程 21
1.4.2 空间曲线 23
第2章 二元函数微分学 27
2.1 二元函数的概念 27
2.1.1 二元函数的定义 27
2.1.2 二元函数的几何意义 29
2.2 二元函数的导数及其应用 30
2.2.1 偏导数 30
2.2.2 偏导数的应用——二元函数的极值、最值问题 37
2.2.3 偏导数的应用——几何问题 43
2.3 二元函数的微分及其应用 45
2.3.1 二元函数全微分的概念 45
2.3.2 全微分的应用——近似计算 48
第3章 二元函数积分学 51
3.1 二重积分的概念与性质 51
3.1.1 引例——曲顶柱体的体积 51
3.1.2 二重积分的定义 52
3.1.3 二重积分的性质 53
3.2 二重积分的计算及其在几何问题上的应用 54
3.2.1 直角坐标法及其应用 54
3.2.2 极坐标法及其应用 61
第4章 微分方程 70
4.1 微分方程的基本概念 70
4.2 简单常微分方程的基本解法 72
4.2.1 一阶微分方程 72
4.2.2 二阶微分方程 77
4.3 微分方程在数学建模中的应用 80
4.3.1 几何问题 80
4.3.2 弹簧振动模型 81
4.3.3 溶液混合问题 82
4.3.4 种群增长模型 83
第5章 无穷级数 86
5.1 级数的概念及基本性质 86
5.1.1 引例 86
5.1.2 数项级数的基本概念 87
5.1.3 数项级数的基本性质 89
5.1.4 数项级数收敛的必要条件 89
5.1.5 函数项级数的基本概念 90
5.2 数项级数 92
5.2.1 正项级数的敛散性 92
5.2.2 交错级数的敛散性 96
5.2.3 任意项级数的敛散性 97
5.3 幂级数 100
5.3.1 幂级数的概念 100
5.3.2 幂级数的收敛域 100
5.3.3 幂级数的微分与积分 103
5.3.4 将函数展开成幂级数 104
5.4.4 幂级数展开式的应用 107
第6章 矩阵的特征值和特征向量 114
6.1 矩阵的特征值与特征向量 114
6.1.1 特征值与特征向量 115
6.1.2 特征值与特征向量的求法 116
6.2 相似对角形 121
6.2.1 相似矩阵 121
6.2.2 正交相似 124
6.2.3 用正交变换化二次型为标准型 130
附录1 行列式 139
附录2 向量组的线性相关性 146
附录3 数学实验 149
参考答案 154