第一讲 数学方法论引论 1
1 研究数学方法论的意义和目的 1
2 宏观的方法论与微观的方法论 2
3 略论希尔伯特成功的社会因素 4
4 浅谈微观的数学方法论 8
第二讲 略论数学模型方法 19
1 数学模型的意义 19
2 数学模型的类别及简单例子 21
3 MM的构造过程及特点 25
4 怎样培训构造MM的能力 28
第三讲 关系映射反演原则的应用 29
1 何谓“关系映射反演原则” 29
2 数学中的RMI原则 33
3 若干较简单的例子 35
4 几个较难一点的例子 41
5 用RMI原则分析“不可能性命题” 46
6 关于RMI原则的补充说明 53
第四讲 略论数学公理化方法 57
1 公理化方法的意义和作用 57
2 公理化方法的发展简史 58
3 公理化方法的基本内容 63
4 重要例子——几何学公理化方法 64
5 关于公理系统的相容性问题 68
6 略谈自然科学中的公理化方法 74
第五讲 关于数学的结构主义 77
1 结构主义学派的形成过程 77
2 布尔巴基学派的一般观点 78
3 数学结构的分类 79
4 数直线结构分析 81
5 略谈拓扑结构 82
6 略谈同构概念 84
7 略评结构主义 87
第六讲 代数方程根式解法与伽罗瓦的群论思想方法 89
1 代数基本定理与根式解法研究简史 89
2 拉格朗日的思想方法与阿贝尔定理 93
3 伽罗瓦的思想方法 102
4 方程式可解性理论简介 109
第七讲 关于非标准数域与非康托型自然数模型的构造方法 115
1 略论“无限”概念蕴含的矛盾 115
2 非标准数域的构造方法 120
3 非康托型自然数序列模型的构造法 131
4 关于一个引伸的芝诺悖论的解释 135
5 略论无限的两种形态 137
第八讲 悖论与数学基础问题 141
1 悖论的定义和起源 141
2 悖论举例和数学三次危机 146
3 策莫洛对悖论的解决方案 155
4 罗素对悖论的解决方案 164
5 塔斯基及其语义学 171
6 哥德尔的不完备性定理与悖论 173
7 悖论的成因与研究悖论的重要意义 176
第九讲 论数学基础诸流派及其无穷观 179
1 数学系统的相对相容性证明与诸流派形成的历史近因 179
2 逻辑主义派的观点和方法 181
3 直觉主义派的观点和方法 187
4 略论形式公理学派的观点和主张 201
5 关于三大流派的简短评论 205
第十讲 略论数学发明创造的心智过程 209
1 何谓数学上的发明或创造 209
2 庞卡莱关于数学创造的论点 210
3 略谈数学创造的一般心智过程 213
第十一讲 数学抽象度概念与抽象度分析法 217
1 引言 217
2 抽象与严格偏序 218
3 抽象度的一般概念 222
4 略论抽象法则与抽象难度 227
5 抽象度分析法概述 229
第十二讲 “数学模式观”与数学教育及哲学研究中的有关问题 233
1 数学模式的含义 233
2 模式论观点与数学教育及教学 234
3 模式观与数学真理问题 238
附录 245
附录Ⅰ 数学研究的艺术 245
附录Ⅱ 数学研究中的创造性思维规律 257
附录Ⅲ 徐利治与数学方法学 268
参考文献 275