第一章 函数与极限 1
第一节 函数 1
一、集合 1
二、一元函数的定义 2
三、函数的几种特性 6
四、反函数 8
习题1-1 9
第二节 初等函数 10
一、基本初等函数 10
二、复合函数 14
三、初等函数 15
四、双曲函数 15
习题1-2 17
第三节 数列的极限 18
一、数列 18
二、数列极限的定义 19
三、收敛数列的性质 23
习题1-3 24
第四节 函数的极限 25
一、自变量趋向无穷大时函数的极限 25
二、自变量趋向有限值时函数的极限 27
三、函数极限的性质 30
习题1-4 32
第五节 无穷小与无穷大 32
一、无穷小 32
二、无穷大 34
习题1-5 35
第六节 极限运算法则 36
习题1-6 40
第七节 极限存在准则两个重要极限 41
一、极限存在的两个准则 41
二、几个重要不等式 42
三、两个重要极限 45
四、杂例及应用 47
习题1-7 48
第八节 无穷小的比较 49
习题1-8 51
第九节 函数的连续性 51
一、函数连续的定义 51
二、函数的间断点 53
习题1-9 55
第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性 55
一、连续函数的和、积及商的连续性 55
二、反函数与复合函数的连续性 56
三、初等函数的连续性 57
习题1-10 58
第十一节 闭区间上连续函数的性质 58
一、最大值和最小值定理 59
二、介值定理 60
习题1-11 61
第二章 导数与微分 62
第一节 导数的概念 62
一、引例 62
二、导数的定义 64
三、求导数举例 65
四、导数的几何意义 67
五、函数的可导性与连续性之间的关系 68
习题2-1 69
第二节 函数的求导法则 70
一、函数的和、差、积、商的求导法则 70
二、反函数的导数 73
三、复合函数的导数 75
习题2-2 77
第三节 高阶导数 78
习题2-3 82
第四节 隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数 83
一、隐函数的导数 83
二、对数求导法 85
三、由参数方程所确定的函数的导数 86
四、相关变化率 88
习题2-4 89
第五节 函数的微分 90
一、微分的概念 90
二、微分的运算公式 93
三、微分的应用 95
习题2-5 97
第三章 中值定理与导数的应用 99
第一节 中值定理 99
一、罗尔定理 99
二、拉格朗日中值定理 100
三、柯西中值定理 102
习题3-1 104
第二节 洛必达法则 105
习题3-2 110
第三节 泰勒中值定理 111
习题3-3 115
第四节 函数单调性判别法 115
习题3-4 117
第五节 函数的极值与最值 118
一、函数的极值及其求法 118
二、函数的最值及其求法 122
习题3-5 125
第六节 曲线的凹凸性与拐点 126
习题3-6 129
第七节函数作图 129
一、斜渐近线 129
二、函数作图 130
习题3-7 133
第八节 曲线的曲率 133
一、曲率的概念 133
二、曲率的计算公式 135
三、曲率圆与曲率半径 136
习题3-8 137
第九节 方程的近似解 137
一、两分法 138
二、牛顿法 139
习题3-9 140
第四章 不定积分 141
第一节 不定积分的概念与性质 141
一、原函数与不定积分的概念 141
二、基本积分表 144
三、不定积分的性质 145
习题4-1 147
第二节 换元积分法 147
一、第一类换元法 148
二、第二类换元法 152
习题4-2 157
第三节 分部积分法 158
习题4-3 162
第四节 几种特殊类型函数的积分 163
一、有理函数的积分 163
二、三角函数有理式的积分 166
三、简单无理函数的积分举例 168
习题4-4 168
第五章 定积分 170
第一节 定积分的概念 170
一、引例 170
二、定积分的定义 173
习题5-1 175
第二节 定积分的性质 176
习题5-2 179
第三节 微积分基本公式 180
习题5-3 185
第四节 定积分的换元法与分部积分法 186
一、定积分的换元法 186
二、定积分的分部积分法 191
习题5-4 193
第五节 定积分的近似计算 195
一、梯形法 195
二、抛物线法 196
习题5-5 198
第六节 反常积分初步 198
一、积分区间为无穷的反常积分 198
二、无界函数的反常积分 201
习题5-6 203
第六章 定积分的应用 204
第一节 定积分的元素法 204
第二节 平面图形的面积 205
一、直角坐标情形 205
二、极坐标情形 207
习题6-2 209
第三节 体积 210
一、旋转体的体积 210
二、平行截面面积为已知的立体的体积 213
习题6-3 214
第四节 平面曲线的弧长 215
一、直角坐标情形 215
二、参数方程情形 216
三、极坐标方程情形 217
习题6-4 218
第五节 定积分的其他应用 219
一、功 219
二、液体压力 220
三、引力 221
四、工程上的应用 222
习题6-5 225
第七章 常微分方程 227
第一节 常微分方程的基本概念 227
习题7-1 230
第二节 可分离变量的微分方程 231
习题7-2 233
第三节 齐次方程 233
习题7-3 237
第四节 一阶线性微分方程 237
一、一阶线性微分方程 237
二、伯努利方程 241
习题7-4 242
第五节 可降阶的高阶微分方程 243
一、y（n）=f（x）型的微分方程 243
二、y″=f（x,y′）型的微分方程 244
三、y″=f（y,y′）型的微分方程 245
习题7-5 246
第六节 高阶线性微分方程及其解的结构 247
习题7-6 252
第七节 二阶常系数齐次线性微分方程 252
习题7-7 256
第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程 257
一、非齐次项f（x）=P（x）eλx 258
二、非齐次项f（x）=eλx［Pl（x）cosωx+Pn（x）sinωx］ 260
习题7-8 262
第九节 欧拉方程 263
习题7-9 264
第十节 常微分方程组解法举例 264
习题7-10 266
第十一节 微分方程应用举例 266
习题7-11 272
第八章 空间解析几何与向量代数 274
第一节 空间直角坐标系 274
一、空间直角坐标系及点的坐标 274
二、两点间距离公式 275
三、曲面与方程 276
四、空间曲线的一般方程 277
习题8-1 278
第二节 向量及其运算 278
一、向量的概念 278
二、向量的线性运算 279
三、向量的数量积 283
四、向量的向量积 285
习题8-2 287
第三节 平面方程 288
习题8-3 290
第四节 空间直线的方程 291
一、空间直线的一般方程 291
二、空间直线的对称式方程与参数方程 291
三、两直线的夹角 293
四、直线与平面的夹角 293
习题8-4 294
第五节 几种常见的曲面 295
一、母线平行于坐标轴的柱面 295
二、旋转曲面 296
习题8-5 300
第六节 空间曲线的参数方程投影柱面 301
一、空间曲线的参数方程 301
二、空间曲线在坐标面上的投影 302
习题8-6 304
第九章 多元函数微分法及其应用 305
第一节 多元函数的基本概念 305
一、引例 305
二、二元函数的定义 305
三、二元函数的图形 307
四、二元函数的极限 308
五、二元函数的连续性 309
六、n维空间与n元函数 310
习题9-1 311
第二节 偏导数 311
一、偏导数的定义及计算 311
二、高阶偏导数 314
习题9-2 316
第三节 全微分 317
习题9-3 320
第四节 多元复合函数的求导法则 321
习题9-4 326
第五节 隐函数的求导公式 327
一、一个方程确定的隐函数 327
二、由方程组确定的隐函数 329
习题9-5 329
第六节 多元微分学在几何上的应用 330
一、空间曲线的切线与法平面 331
二、曲面的切平面与法线 333
习题9-6 335
第七节 方向导数与梯度 336
一、方向导数的概念及计算 336
二、梯度 338
习题9-7 340
第八节 多元函数的极值与最值 340
一、多元函数的极值与最值 340
二、条件极值 343
习题9-8 347
第十章 重积分 348
第一节 二重积分的概念与性质 348
一、二重积分的概念 348
二、二重积分的性质 351
习题10-1 352
第二节 二重积分的计算法 352
一、利用直角坐标计算二重积分 353
二、利用极坐标计算二重积分 358
习题10-2 361
第三节 二重积分的应用 363
一、曲面的面积 363
二、平面薄片的质心 365
三、平面薄片的转动惯量 366
习题10-3 367
第四节 三重积分 368
一、三重积分的概念 368
二、三重积分的计算 369
三、三重积分的应用 374
习题10-4 376
第十一章 曲线积分与曲面积分 378
第一节 对弧长的曲线积分 378
一、对弧长的曲线积分的概念 378
二、对弧长的曲线积分的计算 380
习题11-1 381
第二节 对坐标的曲线积分 382
一、对坐标的曲线积分的概念 382
二、对坐标的曲线积分的计算 384
三、两类曲线积分之间的关系 387
习题11-2 388
第三节 格林公式及其应用 388
一、格林公式 388
二、平面上曲线积分与路径无关的条件 392
习题11-3 396
第四节 对面积的曲面积分 396
一、对面积的曲面积分的概念 397
二、对面积的曲面积分的计算 398
习题11-4 399
第五节 对坐标的曲面积分 399
一、有向曲面 399
二、对坐标的曲面积分的概念 400
三、两类曲面积分的联系 402
四、对坐标的曲面积分的计算 404
习题11-5 406
第六节 高斯公式 通量与散度 406
一、高斯公式 406
二、通量与散度 408
习题1t-6 410
第七节 斯托克斯公式环流量与旋度 411
一、斯托克斯公式 411
二、环流量与旋度 414
习题11-7 415
第十二章 级数 417
第一节 常数项级数的基本概念和性质 417
一、常数项级数的基本概念 417
二、级数的基本性质 419
习题12-1 421
第二节 常数项级数敛散性的判别法 422
一、正项级数及其敛散性判别法 422
二、交错级数及其敛散性判别法 426
三、绝对收敛与条件收敛 427
习题12-2 428
第三节 幂级数 429
一、函数项级数的一般概念 429
二、幂级数及其收敛性 430
三、幂级数的运算 434
习题12-3 436
第四节 函数展开成幂级数 437
习题12-4 441
第五节 函数的幂级数展开式的应用 442
一、近似计算 442
二、欧拉公式 444
习题12-5 445
第六节 傅里叶级数 446
一、周期为2п的周期函数的傅里叶级数 446
二、周期为2l的周期函数的傅里叶级数 453
习题12-6 454
附录一 微积分学简史 455
附录二 Mathematica使用初步 462
附录三 二阶和三阶行列式介绍 479
附录四 极坐标介绍 482
习题答案 486
参考文献 522