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第一章 函数与极限 1

第一节 函数 1

一、集合 1

二、一元函数的定义 2

三、函数的几种特性 6

四、反函数 8

习题1-1 9

第二节 初等函数 10

一、基本初等函数 10

二、复合函数 14

三、初等函数 15

四、双曲函数 15

习题1-2 17

第三节 数列的极限 18

一、数列 18

二、数列极限的定义 19

三、收敛数列的性质 23

习题1-3 24

第四节 函数的极限 25

一、自变量趋向无穷大时函数的极限 25

二、自变量趋向有限值时函数的极限 27

三、函数极限的性质 30

习题1-4 32

第五节 无穷小与无穷大 32

一、无穷小 32

二、无穷大 34

习题1-5 35

第六节 极限运算法则 36

习题1-6 40

第七节 极限存在准则两个重要极限 41

一、极限存在的两个准则 41

二、几个重要不等式 42

三、两个重要极限 45

四、杂例及应用 47

习题1-7 48

第八节 无穷小的比较 49

习题1-8 51

第九节 函数的连续性 51

一、函数连续的定义 51

二、函数的间断点 53

习题1-9 55

第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性 55

一、连续函数的和、积及商的连续性 55

二、反函数与复合函数的连续性 56

三、初等函数的连续性 57

习题1-10 58

第十一节 闭区间上连续函数的性质 58

一、最大值和最小值定理 59

二、介值定理 60

习题1-11 61

第二章 导数与微分 62

第一节 导数的概念 62

一、引例 62

二、导数的定义 64

三、求导数举例 65

四、导数的几何意义 67

五、函数的可导性与连续性之间的关系 68

习题2-1 69

第二节 函数的求导法则 70

一、函数的和、差、积、商的求导法则 70

二、反函数的导数 73

三、复合函数的导数 75

习题2-2 77

第三节 高阶导数 78

习题2-3 82

第四节 隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数 83

一、隐函数的导数 83

二、对数求导法 85

三、由参数方程所确定的函数的导数 86

四、相关变化率 88

习题2-4 89

第五节 函数的微分 90

一、微分的概念 90

二、微分的运算公式 93

三、微分的应用 95

习题2-5 97

第三章 中值定理与导数的应用 99

第一节 中值定理 99

一、罗尔定理 99

二、拉格朗日中值定理 100

三、柯西中值定理 102

习题3-1 104

第二节 洛必达法则 105

习题3-2 110

第三节 泰勒中值定理 111

习题3-3 115

第四节 函数单调性判别法 115

习题3-4 117

第五节 函数的极值与最值 118

一、函数的极值及其求法 118

二、函数的最值及其求法 122

习题3-5 125

第六节 曲线的凹凸性与拐点 126

习题3-6 129

第七节函数作图 129

一、斜渐近线 129

二、函数作图 130

习题3-7 133

第八节 曲线的曲率 133

一、曲率的概念 133

二、曲率的计算公式 135

三、曲率圆与曲率半径 136

习题3-8 137

第九节 方程的近似解 137

一、两分法 138

二、牛顿法 139

习题3-9 140

第四章 不定积分 141

第一节 不定积分的概念与性质 141

一、原函数与不定积分的概念 141

二、基本积分表 144

三、不定积分的性质 145

习题4-1 147

第二节 换元积分法 147

一、第一类换元法 148

二、第二类换元法 152

习题4-2 157

第三节 分部积分法 158

习题4-3 162

第四节 几种特殊类型函数的积分 163

一、有理函数的积分 163

二、三角函数有理式的积分 166

三、简单无理函数的积分举例 168

习题4-4 168

第五章 定积分 170

第一节 定积分的概念 170

一、引例 170

二、定积分的定义 173

习题5-1 175

第二节 定积分的性质 176

习题5-2 179

第三节 微积分基本公式 180

习题5-3 185

第四节 定积分的换元法与分部积分法 186

一、定积分的换元法 186

二、定积分的分部积分法 191

习题5-4 193

第五节 定积分的近似计算 195

一、梯形法 195

二、抛物线法 196

习题5-5 198

第六节 反常积分初步 198

一、积分区间为无穷的反常积分 198

二、无界函数的反常积分 201

习题5-6 203

第六章 定积分的应用 204

第一节 定积分的元素法 204

第二节 平面图形的面积 205

一、直角坐标情形 205

二、极坐标情形 207

习题6-2 209

第三节 体积 210

一、旋转体的体积 210

二、平行截面面积为已知的立体的体积 213

习题6-3 214

第四节 平面曲线的弧长 215

一、直角坐标情形 215

二、参数方程情形 216

三、极坐标方程情形 217

习题6-4 218

第五节 定积分的其他应用 219

一、功 219

二、液体压力 220

三、引力 221

四、工程上的应用 222

习题6-5 225

第七章 常微分方程 227

第一节 常微分方程的基本概念 227

习题7-1 230

第二节 可分离变量的微分方程 231

习题7-2 233

第三节 齐次方程 233

习题7-3 237

第四节 一阶线性微分方程 237

一、一阶线性微分方程 237

二、伯努利方程 241

习题7-4 242

第五节 可降阶的高阶微分方程 243

一、y（n）=f（x）型的微分方程 243

二、y″=f（x,y′）型的微分方程 244

三、y″=f（y,y′）型的微分方程 245

习题7-5 246

第六节 高阶线性微分方程及其解的结构 247

习题7-6 252

第七节 二阶常系数齐次线性微分方程 252

习题7-7 256

第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程 257

一、非齐次项f（x）=P（x）eλx 258

二、非齐次项f（x）=eλx［Pl（x）cosωx+Pn（x）sinωx］ 260

习题7-8 262

第九节 欧拉方程 263

习题7-9 264

第十节 常微分方程组解法举例 264

习题7-10 266

第十一节 微分方程应用举例 266

习题7-11 272

第八章 空间解析几何与向量代数 274

第一节 空间直角坐标系 274

一、空间直角坐标系及点的坐标 274

二、两点间距离公式 275

三、曲面与方程 276

四、空间曲线的一般方程 277

习题8-1 278

第二节 向量及其运算 278

一、向量的概念 278

二、向量的线性运算 279

三、向量的数量积 283

四、向量的向量积 285

习题8-2 287

第三节 平面方程 288

习题8-3 290

第四节 空间直线的方程 291

一、空间直线的一般方程 291

二、空间直线的对称式方程与参数方程 291

三、两直线的夹角 293

四、直线与平面的夹角 293

习题8-4 294

第五节 几种常见的曲面 295

一、母线平行于坐标轴的柱面 295

二、旋转曲面 296

习题8-5 300

第六节 空间曲线的参数方程投影柱面 301

一、空间曲线的参数方程 301

二、空间曲线在坐标面上的投影 302

习题8-6 304

第九章 多元函数微分法及其应用 305

第一节 多元函数的基本概念 305

一、引例 305

二、二元函数的定义 305

三、二元函数的图形 307

四、二元函数的极限 308

五、二元函数的连续性 309

六、n维空间与n元函数 310

习题9-1 311

第二节 偏导数 311

一、偏导数的定义及计算 311

二、高阶偏导数 314

习题9-2 316

第三节 全微分 317

习题9-3 320

第四节 多元复合函数的求导法则 321

习题9-4 326

第五节 隐函数的求导公式 327

一、一个方程确定的隐函数 327

二、由方程组确定的隐函数 329

习题9-5 329

第六节 多元微分学在几何上的应用 330

一、空间曲线的切线与法平面 331

二、曲面的切平面与法线 333

习题9-6 335

第七节 方向导数与梯度 336

一、方向导数的概念及计算 336

二、梯度 338

习题9-7 340

第八节 多元函数的极值与最值 340

一、多元函数的极值与最值 340

二、条件极值 343

习题9-8 347

第十章 重积分 348

第一节 二重积分的概念与性质 348

一、二重积分的概念 348

二、二重积分的性质 351

习题10-1 352

第二节 二重积分的计算法 352

一、利用直角坐标计算二重积分 353

二、利用极坐标计算二重积分 358

习题10-2 361

第三节 二重积分的应用 363

一、曲面的面积 363

二、平面薄片的质心 365

三、平面薄片的转动惯量 366

习题10-3 367

第四节 三重积分 368

一、三重积分的概念 368

二、三重积分的计算 369

三、三重积分的应用 374

习题10-4 376

第十一章 曲线积分与曲面积分 378

第一节 对弧长的曲线积分 378

一、对弧长的曲线积分的概念 378

二、对弧长的曲线积分的计算 380

习题11-1 381

第二节 对坐标的曲线积分 382

一、对坐标的曲线积分的概念 382

二、对坐标的曲线积分的计算 384

三、两类曲线积分之间的关系 387

习题11-2 388

第三节 格林公式及其应用 388

一、格林公式 388

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 392

习题11-3 396

第四节 对面积的曲面积分 396

一、对面积的曲面积分的概念 397

二、对面积的曲面积分的计算 398

习题11-4 399

第五节 对坐标的曲面积分 399

一、有向曲面 399

二、对坐标的曲面积分的概念 400

三、两类曲面积分的联系 402

四、对坐标的曲面积分的计算 404

习题11-5 406

第六节 高斯公式 通量与散度 406

一、高斯公式 406

二、通量与散度 408

习题1t-6 410

第七节 斯托克斯公式环流量与旋度 411

一、斯托克斯公式 411

二、环流量与旋度 414

习题11-7 415

第十二章 级数 417

第一节 常数项级数的基本概念和性质 417

一、常数项级数的基本概念 417

二、级数的基本性质 419

习题12-1 421

第二节 常数项级数敛散性的判别法 422

一、正项级数及其敛散性判别法 422

二、交错级数及其敛散性判别法 426

三、绝对收敛与条件收敛 427

习题12-2 428

第三节 幂级数 429

一、函数项级数的一般概念 429

二、幂级数及其收敛性 430

三、幂级数的运算 434

习题12-3 436

第四节 函数展开成幂级数 437

习题12-4 441

第五节 函数的幂级数展开式的应用 442

一、近似计算 442

二、欧拉公式 444

习题12-5 445

第六节 傅里叶级数 446

一、周期为2п的周期函数的傅里叶级数 446

二、周期为2l的周期函数的傅里叶级数 453

习题12-6 454

附录一 微积分学简史 455

附录二 Mathematica使用初步 462

附录三 二阶和三阶行列式介绍 479

附录四 极坐标介绍 482

习题答案 486

参考文献 522