第7章 多元函数微分法及其应用 1
7.1 多元函数 1
7.1.1 多元函数的基本概念 1
7.1.2 多元函数的极限 3
7.1.3 多元函数连续性 5
习题7.1 6
7.2 偏导数 8
7.2.1 偏导数的定义及计算方法 8
7.2.2 高阶偏导数 11
习题7.2 12
7.3 全微分 13
7.3.1 全微分的概念 13
7.3.2 多元函数可微、可导与连续的关系 15
7.3.3 全微分在近似计算中的应用 15
习题7.3 16
7.4 多元复合函数的求导 17
7.4.1 多元复合函数求导法则 17
7.4.2 全微分的形式不变性 21
习题7.4 22
7.5 隐函数求导公式 22
7.5.1 一个方程的情形 22
7.5.2 方程组的情形 24
7.5.3 隐函数存在定理 26
习题7.5 27
7.6 多元函数微分学的应用 28
7.6.1 微分法的几何应用 28
7.6.2 方向导数与梯度 33
7.6.3 多元函数极值及其应用 37
7.6.4 最小二乘法 44
习题7.6 46
本章小结 48
总习题七 52
第8章 重积分 54
8.1 利用微元法解决不均匀量的求和问题 54
习题8.1 58
8.2 二重积分的概念和性质 58
8.2.1 二重积分的概念 58
8.2.2 二重积分的性质 59
习题8.2 60
8.3 直角坐标系下二重积分的计算 61
习题8.3 68
8.4 极坐标系下二重积分计算 69
8.4.1 极坐标系 69
8.4.2 直角坐标系和极坐标系间的关系 69
8.4.3 几种常见曲线的极坐标方程 70
8.4.4 利用极坐标计算二重积分 71
习题8.4 74
8.5 三重积分 75
8.5.1 三重积分的概念 75
8.5.2 三重积分的计算 76
习题8.5 82
本章小结 83
总习题八 84
第9章 曲线积分与曲面积分 86
9.1 对弧长的曲线积分 86
9.1.1 对弧长曲线积分的概念 86
9.1.2 对弧长曲线积分的性质 87
9.1.3 对弧长曲线积分的计算法 87
习题9.1 90
9.2 对坐标的曲线积分 91
9.2.1 对坐标曲线积分的概念 91
9.2.2 对坐标曲线积分的性质 92
9.2.3 对坐标曲线积分的计算法 93
习题9.2 97
9.3 对面积的曲面积分 97
9.3.1 对面积曲面积分的概念 98
9.3.2 对面积曲面积分的性质 98
9.3.3 对面积曲面积分的计算法 99
习题9.3 101
9.4 对坐标的曲面积分 101
9.4.1 对坐标曲面积分的概念 101
9.4.2 对坐标曲面积分的性质 103
9.4.3 对坐标曲面积分的计算法 104
习题9.4 106
本章小结 106
总习题九 110
第10章 各种积分之间的联系 112
10.1 两类曲线积分之间的联系 112
10.2 两类曲面积分之间的联系 113
10.3 格林公式及其应用 114
10.3.1 格林公式 114
10.3.2 曲线积分与路径无关的条件 116
习题10.3 118
10.4 斯托克斯公式与旋度 119
10.4.1 斯托克斯公式 119
10.4.2 旋度 120
习题10.4 121
10.5 高斯公式与散度 121
10.5.1 Gauss公式 121
10.5.2 通量与散度 123
习题10.5 124
本章小结 124
总习题十 126
第11章 无穷级数 128
11.1 常数项级数的概念和性质 128
11.1.1 引例 128
11.1.2 常数项级数的概念 129
11.1.3 收敛级数的基本性质 133
习题11.1 134
11.2 正项级数的审敛法 135
11.2.1 比较审敛法 136
11.2.2 比值审敛法 139
11.2.3 根值审敛法 140
习题11.2 141
11.3 绝对收敛与条件收敛 142
11.3.1 交错级数及其审敛法 142
11.3.2 绝对收敛及条件收敛 143
习题11.3 145
11.4 幂级数 146
11.4.1 函数项级数 146
11.4.2 幂级数及其收敛域 148
11.4.3 幂级数的运算与性质 150
习题11.4 154
11.5 函数展开成幂级数 155
11.5.1 泰勒级数 155
11.5.2 函数展开成幂级数 156
11.5.3 利用函数幂级数展开式进行近似计算 158
习题11.5 160
11.6 有关级数收敛性的典型题目 160
11.7 傅里叶级数 168
11.7.1 三角级数及三角函数系的正交性 168
11.7.2 函数展开成傅里叶级数 169
11.7.3 奇函数和偶函数的傅里叶级数 173
11.7.4 函数展开成正弦级数或余弦级数 175
习题11.7 177
11.8 一般周期函数的傅里叶级数 178
习题11.8 179
本章小结 179
总习题十一 184
第12章 微分方程 186
12.1 微分方程的基本概念 186
12.1.1 引例 186
12.1.2 基本概念 188
习题12.1 189
12.2 可分离变量的微分方程 190
习题12.2 193
12.3 齐次方程 194
12.3.1 齐次方程的概念 194
12.3.2 齐次方程的解法 194
习题12.3 197
12.4 一阶线性微分方程 197
12.4.1 一阶线性微分方程的概念 198
12.4.2 一阶齐次线性微分方程的解法 198
12.4.3 一阶线性非齐次微分方程的解法 199
习题12.4 201
12.5 全微分方程 202
12.5.1 全微分方程的概念及条件 202
12.5.2 全微分方程的求解 203
12.5.3 积分因子 206
习题12.5 207
12.6 可降阶的高阶微分方程 207
12.6.1 形如y(n)=f（x）的微分方程 208
12.6.2 形如y″=f（x,y′）的微分方程 208
12.6.3 形如y″=f（y,y′）的微分方程 209
习题12.6 210
12.7 二阶线性微分方程解的结构 211
12.7.1 二阶线性微分方程的概念 211
12.7.2 二阶线性微分方程解的结构 211
习题12.7 213
12.8 二阶常系数齐次线性微分方程 213
12.8.1 引例 214
12.8.2 二阶常系数齐次线性微分方程的概念 214
12.8.3 二阶常系数齐次线性微分方程的通解 214
习题12.8 217
12.9 二阶常系数非齐次线性微分方程 218
12.9.1 f(x)＝Pm(x)eλx型 218
12.9.2 f(x)＝eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型 220
习题12.9 221
12.10 微分方程的应用 222
12.10.1 几何问题 222
12.10.2 冷却问题 225
12.10.3 力学问题 225
12.10.4 R-L电路 228
12.10.5 溶液的混合问题 229
习题12.10 230
本章小结 231
总习题十二 233
附录 236
A4 应用Mathematica软件解决高等数学中的问题（下） 236
A4.1 多元函数的微分学 236
A4.1.1 多元函数的偏导数和全微分问题 236
A4.1.2 偏导数和全微分的应用 238
习题A4.1 241
A4.2 重积分的计算与应用 242
A4.2.1 累次积分的计算 242
A4.2.2 重积分的应用 244
习题A4.2 247
A4.3 曲线积分与曲面积分问题 247
A4.3.1 用Mathematica命令求曲线积分和曲面积分的方法 247
A4.3.2 曲线积分的计算 247
A4.3.3 曲面积分的计算 250
习题A4.3 252
A4.4 无穷级数 253
A4.4.1 常数项级数收敛性的判定 253
A4.4.2 幂级数的收敛与求和问题 254
A4.4.3 函数展开成傅里叶级数 255
习题A4.4 255
A4.5 微分方程求解问题 256
A4.5.1 求解微分方程 256
A4.5.2 求常微分方程的特解问题 258
习题A4.5 259
总习题A4 259
A5 简单数学建模练习题 263
习题答案与提示 264