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第7章 多元函数微分法及其应用 1

7.1 多元函数 1

7.1.1 多元函数的基本概念 1

7.1.2 多元函数的极限 3

7.1.3 多元函数连续性 5

习题7.1 6

7.2 偏导数 8

7.2.1 偏导数的定义及计算方法 8

7.2.2 高阶偏导数 11

习题7.2 12

7.3 全微分 13

7.3.1 全微分的概念 13

7.3.2 多元函数可微、可导与连续的关系 15

7.3.3 全微分在近似计算中的应用 15

习题7.3 16

7.4 多元复合函数的求导 17

7.4.1 多元复合函数求导法则 17

7.4.2 全微分的形式不变性 21

习题7.4 22

7.5 隐函数求导公式 22

7.5.1 一个方程的情形 22

7.5.2 方程组的情形 24

7.5.3 隐函数存在定理 26

习题7.5 27

7.6 多元函数微分学的应用 28

7.6.1 微分法的几何应用 28

7.6.2 方向导数与梯度 33

7.6.3 多元函数极值及其应用 37

7.6.4 最小二乘法 44

习题7.6 46

本章小结 48

总习题七 52

第8章 重积分 54

8.1 利用微元法解决不均匀量的求和问题 54

习题8.1 58

8.2 二重积分的概念和性质 58

8.2.1 二重积分的概念 58

8.2.2 二重积分的性质 59

习题8.2 60

8.3 直角坐标系下二重积分的计算 61

习题8.3 68

8.4 极坐标系下二重积分计算 69

8.4.1 极坐标系 69

8.4.2 直角坐标系和极坐标系间的关系 69

8.4.3 几种常见曲线的极坐标方程 70

8.4.4 利用极坐标计算二重积分 71

习题8.4 74

8.5 三重积分 75

8.5.1 三重积分的概念 75

8.5.2 三重积分的计算 76

习题8.5 82

本章小结 83

总习题八 84

第9章 曲线积分与曲面积分 86

9.1 对弧长的曲线积分 86

9.1.1 对弧长曲线积分的概念 86

9.1.2 对弧长曲线积分的性质 87

9.1.3 对弧长曲线积分的计算法 87

习题9.1 90

9.2 对坐标的曲线积分 91

9.2.1 对坐标曲线积分的概念 91

9.2.2 对坐标曲线积分的性质 92

9.2.3 对坐标曲线积分的计算法 93

习题9.2 97

9.3 对面积的曲面积分 97

9.3.1 对面积曲面积分的概念 98

9.3.2 对面积曲面积分的性质 98

9.3.3 对面积曲面积分的计算法 99

习题9.3 101

9.4 对坐标的曲面积分 101

9.4.1 对坐标曲面积分的概念 101

9.4.2 对坐标曲面积分的性质 103

9.4.3 对坐标曲面积分的计算法 104

习题9.4 106

本章小结 106

总习题九 110

第10章 各种积分之间的联系 112

10.1 两类曲线积分之间的联系 112

10.2 两类曲面积分之间的联系 113

10.3 格林公式及其应用 114

10.3.1 格林公式 114

10.3.2 曲线积分与路径无关的条件 116

习题10.3 118

10.4 斯托克斯公式与旋度 119

10.4.1 斯托克斯公式 119

10.4.2 旋度 120

习题10.4 121

10.5 高斯公式与散度 121

10.5.1 Gauss公式 121

10.5.2 通量与散度 123

习题10.5 124

本章小结 124

总习题十 126

第11章 无穷级数 128

11.1 常数项级数的概念和性质 128

11.1.1 引例 128

11.1.2 常数项级数的概念 129

11.1.3 收敛级数的基本性质 133

习题11.1 134

11.2 正项级数的审敛法 135

11.2.1 比较审敛法 136

11.2.2 比值审敛法 139

11.2.3 根值审敛法 140

习题11.2 141

11.3 绝对收敛与条件收敛 142

11.3.1 交错级数及其审敛法 142

11.3.2 绝对收敛及条件收敛 143

习题11.3 145

11.4 幂级数 146

11.4.1 函数项级数 146

11.4.2 幂级数及其收敛域 148

11.4.3 幂级数的运算与性质 150

习题11.4 154

11.5 函数展开成幂级数 155

11.5.1 泰勒级数 155

11.5.2 函数展开成幂级数 156

11.5.3 利用函数幂级数展开式进行近似计算 158

习题11.5 160

11.6 有关级数收敛性的典型题目 160

11.7 傅里叶级数 168

11.7.1 三角级数及三角函数系的正交性 168

11.7.2 函数展开成傅里叶级数 169

11.7.3 奇函数和偶函数的傅里叶级数 173

11.7.4 函数展开成正弦级数或余弦级数 175

习题11.7 177

11.8 一般周期函数的傅里叶级数 178

习题11.8 179

本章小结 179

总习题十一 184

第12章 微分方程 186

12.1 微分方程的基本概念 186

12.1.1 引例 186

12.1.2 基本概念 188

习题12.1 189

12.2 可分离变量的微分方程 190

习题12.2 193

12.3 齐次方程 194

12.3.1 齐次方程的概念 194

12.3.2 齐次方程的解法 194

习题12.3 197

12.4 一阶线性微分方程 197

12.4.1 一阶线性微分方程的概念 198

12.4.2 一阶齐次线性微分方程的解法 198

12.4.3 一阶线性非齐次微分方程的解法 199

习题12.4 201

12.5 全微分方程 202

12.5.1 全微分方程的概念及条件 202

12.5.2 全微分方程的求解 203

12.5.3 积分因子 206

习题12.5 207

12.6 可降阶的高阶微分方程 207

12.6.1 形如y(n)=f（x）的微分方程 208

12.6.2 形如y″=f（x,y′）的微分方程 208

12.6.3 形如y″=f（y,y′）的微分方程 209

习题12.6 210

12.7 二阶线性微分方程解的结构 211

12.7.1 二阶线性微分方程的概念 211

12.7.2 二阶线性微分方程解的结构 211

习题12.7 213

12.8 二阶常系数齐次线性微分方程 213

12.8.1 引例 214

12.8.2 二阶常系数齐次线性微分方程的概念 214

12.8.3 二阶常系数齐次线性微分方程的通解 214

习题12.8 217

12.9 二阶常系数非齐次线性微分方程 218

12.9.1 f(x)＝Pm(x)eλx型 218

12.9.2 f(x)＝eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型 220

习题12.9 221

12.10 微分方程的应用 222

12.10.1 几何问题 222

12.10.2 冷却问题 225

12.10.3 力学问题 225

12.10.4 R-L电路 228

12.10.5 溶液的混合问题 229

习题12.10 230

本章小结 231

总习题十二 233

附录 236

A4 应用Mathematica软件解决高等数学中的问题（下） 236

A4.1 多元函数的微分学 236

A4.1.1 多元函数的偏导数和全微分问题 236

A4.1.2 偏导数和全微分的应用 238

习题A4.1 241

A4.2 重积分的计算与应用 242

A4.2.1 累次积分的计算 242

A4.2.2 重积分的应用 244

习题A4.2 247

A4.3 曲线积分与曲面积分问题 247

A4.3.1 用Mathematica命令求曲线积分和曲面积分的方法 247

A4.3.2 曲线积分的计算 247

A4.3.3 曲面积分的计算 250

习题A4.3 252

A4.4 无穷级数 253

A4.4.1 常数项级数收敛性的判定 253

A4.4.2 幂级数的收敛与求和问题 254

A4.4.3 函数展开成傅里叶级数 255

习题A4.4 255

A4.5 微分方程求解问题 256

A4.5.1 求解微分方程 256

A4.5.2 求常微分方程的特解问题 258

习题A4.5 259

总习题A4 259

A5 简单数学建模练习题 263

习题答案与提示 264