第1章 函数 1
实数集 1
集合 1
逻辑符号 2
有理数集和实数集 2
区间和邻域 3
不等式 4
数集的界 5
函数 7
函数的概念 7
函数的运算 10
函数的简单性质 14
初等函数 16
双曲函数 21
由隐方程、参数方程或极坐标方程表示的函数 22
函数图形的变换 27
习题1 29
第2章 极限与连续 34
数列的极限 34
数列 34
数列极限的定义 35
无穷小和无穷大 41
数列极限的性质和运算法则 43
数列极限的性质 43
数列极限的运算法则 46
数列极限存在的判别法 50
夹逼定理 50
单调有界数列极限存在定理 52
函数的极限 58
函数极限的定义 58
函数极限的性质、运算法则和判别法 65
两个重要的函数极限 71
无穷小的比较 73
函数的连续性 77
函数连续的定义 77
函数间断点的分类 80
连续函数的运算 83
初等函数的连续性 84
闭区间上连续函数的性质 85
习题2 88
第3章 导数与微分 96
导数的概念 96
典型例子 96
导数的定义 98
可导与连续的关系 103
微分 105
微分的概念 105
微分与导数的关系 107
微分的几何意义 108
微分应用于近似计算及误差估计 108
导数与微分的运算法则 111
导数的四则运算法则 111
复合函数的导数 113
反函数的导数 117
基本导数和微分公式表 120
隐函数与参数方程求导法 121
隐函数的导数 121
由参数方程所确定的函数的导数 122
导数概念在实际问题中的应用 125
一些学科中的变化率问题举例 125
相关变化率 127
高阶导数 129
高阶导数的概念 129
高阶导数运算法则和Leibniz公式 132
隐函数的高阶导数和参数方程表示的函数的高阶导数 133
习题3 135
第4章 微分中值定理与导数的应用 143
微分中值定理 143
Fermat定理 143
Rolle定理 146
Lagrange定理 149
Cauchy定理 153
L’Hospital法则 154
Taylor公式及其应用 161
Taylor定理 162
一些简单函数的Maclaurin公式及其应用 164
利用导数研究函数性态 168
函数的单调性 168
函数的极值和最值 172
函数的凸性与拐点 175
函数图形的描绘 179
平面曲线的曲率 184
曲线弧长概念及其微分 184
曲率和曲率公式 186
方程的近似解 189
二分法 189
Newton切线法 190
习题4 193
第5章 积分 204
定积分的概念 204
典型实例 204
定积分的定义 207
函数可积的条件 209
定积分的性质 213
定积分的运算性质 213
积分中值定理 218
微积分基本定理 220
原函数与变上限积分 221
Newton-Leibniz公式 224
不定积分 227
不定积分的概念和性质 228
基本积分表 229
第一换元法 231
第二换元法 232
分部积分法 235
几类常见函数的不定积分 239
定积分的计算 245
定积分的换元法 245
定积分的分部积分法 250
定积分的综合例题 252
定积分的近似计算 257
定积分的应用 260
微元法 260
定积分的几何应用 261
定积分的物理应用 272
反常积分 276
无穷区间上的反常积分 276
无界函数的反常积分 279
习题5 284
第6章 微分方程 296
微分方程的基本概念 296
一阶微分方程 298
可分离变量方程 299
齐次微分方程和其他可化为可化分离变量形式的方程 302
一阶线性微分方程 306
某些可降阶的高阶微分方程 308
线性微分方程解的结构 312
二阶线性齐次微分方程解的结构 312
二阶线性非齐次方程解的结构 315
常系数线性微分方程 317
常系数线性齐次方程 317
常系数线性非齐次方程 320
Euler方程 326
微分方程的数值解 328
微分方程的应用举例 333
习题6 342
习题参考答案 350