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第1章 函数 1

实数集 1

集合 1

逻辑符号 2

有理数集和实数集 2

区间和邻域 3

不等式 4

数集的界 5

函数 7

函数的概念 7

函数的运算 10

函数的简单性质 14

初等函数 16

双曲函数 21

由隐方程、参数方程或极坐标方程表示的函数 22

函数图形的变换 27

习题1 29

第2章 极限与连续 34

数列的极限 34

数列 34

数列极限的定义 35

无穷小和无穷大 41

数列极限的性质和运算法则 43

数列极限的性质 43

数列极限的运算法则 46

数列极限存在的判别法 50

夹逼定理 50

单调有界数列极限存在定理 52

函数的极限 58

函数极限的定义 58

函数极限的性质、运算法则和判别法 65

两个重要的函数极限 71

无穷小的比较 73

函数的连续性 77

函数连续的定义 77

函数间断点的分类 80

连续函数的运算 83

初等函数的连续性 84

闭区间上连续函数的性质 85

习题2 88

第3章 导数与微分 96

导数的概念 96

典型例子 96

导数的定义 98

可导与连续的关系 103

微分 105

微分的概念 105

微分与导数的关系 107

微分的几何意义 108

微分应用于近似计算及误差估计 108

导数与微分的运算法则 111

导数的四则运算法则 111

复合函数的导数 113

反函数的导数 117

基本导数和微分公式表 120

隐函数与参数方程求导法 121

隐函数的导数 121

由参数方程所确定的函数的导数 122

导数概念在实际问题中的应用 125

一些学科中的变化率问题举例 125

相关变化率 127

高阶导数 129

高阶导数的概念 129

高阶导数运算法则和Leibniz公式 132

隐函数的高阶导数和参数方程表示的函数的高阶导数 133

习题3 135

第4章 微分中值定理与导数的应用 143

微分中值定理 143

Fermat定理 143

Rolle定理 146

Lagrange定理 149

Cauchy定理 153

L’Hospital法则 154

Taylor公式及其应用 161

Taylor定理 162

一些简单函数的Maclaurin公式及其应用 164

利用导数研究函数性态 168

函数的单调性 168

函数的极值和最值 172

函数的凸性与拐点 175

函数图形的描绘 179

平面曲线的曲率 184

曲线弧长概念及其微分 184

曲率和曲率公式 186

方程的近似解 189

二分法 189

Newton切线法 190

习题4 193

第5章 积分 204

定积分的概念 204

典型实例 204

定积分的定义 207

函数可积的条件 209

定积分的性质 213

定积分的运算性质 213

积分中值定理 218

微积分基本定理 220

原函数与变上限积分 221

Newton-Leibniz公式 224

不定积分 227

不定积分的概念和性质 228

基本积分表 229

第一换元法 231

第二换元法 232

分部积分法 235

几类常见函数的不定积分 239

定积分的计算 245

定积分的换元法 245

定积分的分部积分法 250

定积分的综合例题 252

定积分的近似计算 257

定积分的应用 260

微元法 260

定积分的几何应用 261

定积分的物理应用 272

反常积分 276

无穷区间上的反常积分 276

无界函数的反常积分 279

习题5 284

第6章 微分方程 296

微分方程的基本概念 296

一阶微分方程 298

可分离变量方程 299

齐次微分方程和其他可化为可化分离变量形式的方程 302

一阶线性微分方程 306

某些可降阶的高阶微分方程 308

线性微分方程解的结构 312

二阶线性齐次微分方程解的结构 312

二阶线性非齐次方程解的结构 315

常系数线性微分方程 317

常系数线性齐次方程 317

常系数线性非齐次方程 320

Euler方程 326

微分方程的数值解 328

微分方程的应用举例 333

习题6 342

习题参考答案 350