第一章 多元函数微分学 1
第一节 多元函数的概念 1
一、区域 1
二、多元函数 6
三、多元函数的几何表示 8
习题1-1 8
第二节 多元函数的极限与连续性 9
一、多元函数的极限 9
二、多元函数的连续性 12
三、有界闭区域上连续函数的性质 14
四、二元函数的累次极限 15
一、多元函数的偏导数 18
第三节 偏导数 18
习题1-2 18
二、二元函数偏导数的几何意义 23
三、偏导数与连续的关系 23
习题1-3 25
第四节 全微分 26
一、全微分 26
二、全微分的运算法则 32
三、微分中值定理 33
习题1-4 34
第五节 多元复合函数的求导法则 35
一、链式法则 35
二、全微分的形式不变性 39
一、一个方程的情形 41
习题1-5 41
第六节 隐函数的导数 41
二、方程组的情形 45
习题1-6 49
第七节 高阶偏导数与高阶微分 50
一、高阶偏导数 50
二、高阶微分 57
习题1-7 59
第八节 方向导数与梯度 60
一、方向导数 60
二、梯度 63
习题1-8 65
一、一类数学模型 66
第一节 二重积分 66
第二章 多元函数积分学 66
二、二重积分的概念与性质 68
三、二重积分的计算 71
习题2-1 83
第二节 三重积分 85
一、三重积分的概念与性质 85
二、三重积分的计算 86
习题2-2 97
第三节 广义二重积分 98
一、无界区域上的二重积分 98
二、含瑕点的二重积分 101
一、对弧长的曲线积分的概念 103
第四节 对弧长的曲线积分 103
习题2-3 103
二、对弧长的曲线积分的计算 104
三、对弧长的曲线积分的几何意义 108
习题2-4 109
第五节 对面积的曲面积分 109
一、对面积的曲面积分的概念 109
二、对面积的曲面积分的计算 110
习题2-5 117
第六节 黎曼积分小结 118
一、黎曼积分的概念 118
二、黎曼积分的性质 120
习题2-6 123
第一节 多元函数的泰勒公式 124
第三章 多元函数微积分学的应用 124
习题3-1 128
第二节 曲线的切线与法平面方程 128
习题3-2 132
第三节 曲线的弧长与平面曲线族的包络 132
一、曲线的弧长 132
二、平面曲线族的包络 133
习题3-3 137
第四节 曲面的切平面与法线方程 138
一、曲面的切平面与法线方程 138
二、二元函数全微分的几何意义 141
习题3-4 142
一、无约束极值 143
第五节 无约束极值与有约束极值 143
二、函数的最大值和最小值 146
三、有约束极值 149
习题3-5 155
第六节 平面图形及曲面的面积 156
一、平面图形的面积 156
二、曲面的面积 159
习题3-6 161
第七节 几何体的体积 162
习题3-7 164
第八节 多元函数积分学在物理中的应用 165
一、物体的质量 165
二、质心和形心 168
三、转动惯量 172
四、引力 176
习题3-8 179
第四章 对坐标的曲线积分和曲面积分 180
第一节 对坐标的曲线积分 180
一、对坐标的曲线积分的概念 180
二、对坐标的曲线积分的计算 186
三、两类曲线积分的联系 191
习题4-1 192
第二节 格林公式 193
一、格林公式 193
二、平面上曲线积分与路径无关的条件 198
三、原函数与全微分方程举例 203
习题4-2 207
一、双侧曲面 208
第三节 对坐标的曲面积分 208
二、对坐标的曲面积分的概念 210
三、对坐标的曲面积分的计算 213
四、两类曲面积分之间的联系 217
习题4-3 218
第四节 高斯公式与斯托克斯公式 218
一、高斯公式 218
二、斯托克斯公式 221
习题4-4 226
第五章 向量函数与场论 228
第一节 向量函数的极限与连续性 228
一、向量函数的概念 228
二、向量函数的极限与连续性 229
习题5-1 231
第二节 向量函数的解析运算 232
一、向量函数的导数和偏导数 232
二、向量函数的微分 237
三、向量函数的积分 239
习题5-2 241
第三节 数量场与其物理量 242
一、数量场 242
二、数量场的方向导数和梯度 243
习题5-3 248
第四节 向量场及其物理量 249
一、向量场 249
二、通量与散度 251
三、环量与旋度 254
习题5-4 256
第五节 几个常见的重要场 257
一、有势场 257
二、无源场 259
三、调和场 260
习题5-5 261
第六章 含参变量的积分 262
第一节 含参变量积分的概念与运算 262
习题6-1 268
第二节 含参变量的无穷积分 268
一、含参变量的无穷积分的敛散性 268
二、含参变量的无穷积分的性质 272
习题6-2 276
第三节 г函数与B函数 277
一、г函数 277
二、B函数 280
习题6-3 283
第四节 含参变量积分应用举例 283
习题6-4 288
第七章 傅立叶分析 289
第一节 周期函数的傅立叶级数 289
一、傅立叶系数和傅立叶级数 289
二、傅立叶级数收敛的充分条件 292
三、正弦级数与余弦级数 293
四、一般周期函数的傅立叶级数 295
一、函数的周期性延拓 298
第二节 非周期函数的傅立叶级数 298
习题7-1 298
二、奇延拓与偶延拓 300
三、任意区间上非周期函数的傅立叶级数 302
习题7-2 303
第三节 傅立叶变换 303
一、傅立叶级数的复形式 304
二、傅立叶积分与傅立叶变换 306
三、δ函数的傅立叶变换 316
习题7-3 318
第四节 拉普拉斯变换 318
一、拉普拉斯变换的定义与存在条件 318
二、拉普拉斯变换的性质 321
三、拉普拉斯逆变换的求法 325
四、拉普拉斯变换的简单应用 326
习题7-4 328
第八章 偏微分方程 329
第一节 三类典型的偏微分方程 329
一、典型方程的建立 329
二、偏微分方程的一些基本概念 334
三、定解条件与定解问题 334
习题8-1 337
第二节 分离变量法 338
一、有界弦的自由振动 338
二、圆域内稳态温度的第一边值问题 341
三、施笃姆—刘维尔固有值理论 343
习题8-2 344
一、非齐次方程的混合问题 345
第三节 分离变量法的进一步应用——非齐次情形 345
二、非齐次边界条件的处理 347
习题8-3 350
第四节 波动方程的达朗贝尔公式 351
一、两个自变量的二阶线性方程的分类与化简 351
二、无界弦的自由横振动——达朗贝尔公式 355
三、无界弦的强迫振动 356
四、半无界弦的混合问题——对称延拓法 358
习题8-4 359
第五节 积分变换法 360
一、傅立叶变换法举例 360
二、拉普拉斯变换法举例 362
习题8-5 363
一、格林公式及其应用 364
第六节 格林函数法 364
二、格林函数 366
习题8-6 369
第七节 差分法 369
一、差商与差分方程 369
二、拉普拉斯方程的差分法 371
三、波动方程的差分法 374
四、热传导方程的差分法 375
习题8-7 376
习题答案 377
附录 388
附表1 傅立叶变换表 388
附表2 拉普拉斯变换表 392