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第一章 多元函数微分学 1

第一节 多元函数的概念 1

一、区域 1

二、多元函数 6

三、多元函数的几何表示 8

习题1-1 8

第二节 多元函数的极限与连续性 9

一、多元函数的极限 9

二、多元函数的连续性 12

三、有界闭区域上连续函数的性质 14

四、二元函数的累次极限 15

一、多元函数的偏导数 18

第三节 偏导数 18

习题1-2 18

二、二元函数偏导数的几何意义 23

三、偏导数与连续的关系 23

习题1-3 25

第四节 全微分 26

一、全微分 26

二、全微分的运算法则 32

三、微分中值定理 33

习题1-4 34

第五节 多元复合函数的求导法则 35

一、链式法则 35

二、全微分的形式不变性 39

一、一个方程的情形 41

习题1-5 41

第六节 隐函数的导数 41

二、方程组的情形 45

习题1-6 49

第七节 高阶偏导数与高阶微分 50

一、高阶偏导数 50

二、高阶微分 57

习题1-7 59

第八节 方向导数与梯度 60

一、方向导数 60

二、梯度 63

习题1-8 65

一、一类数学模型 66

第一节 二重积分 66

第二章 多元函数积分学 66

二、二重积分的概念与性质 68

三、二重积分的计算 71

习题2-1 83

第二节 三重积分 85

一、三重积分的概念与性质 85

二、三重积分的计算 86

习题2-2 97

第三节 广义二重积分 98

一、无界区域上的二重积分 98

二、含瑕点的二重积分 101

一、对弧长的曲线积分的概念 103

第四节 对弧长的曲线积分 103

习题2-3 103

二、对弧长的曲线积分的计算 104

三、对弧长的曲线积分的几何意义 108

习题2-4 109

第五节 对面积的曲面积分 109

一、对面积的曲面积分的概念 109

二、对面积的曲面积分的计算 110

习题2-5 117

第六节 黎曼积分小结 118

一、黎曼积分的概念 118

二、黎曼积分的性质 120

习题2-6 123

第一节 多元函数的泰勒公式 124

第三章 多元函数微积分学的应用 124

习题3-1 128

第二节 曲线的切线与法平面方程 128

习题3-2 132

第三节 曲线的弧长与平面曲线族的包络 132

一、曲线的弧长 132

二、平面曲线族的包络 133

习题3-3 137

第四节 曲面的切平面与法线方程 138

一、曲面的切平面与法线方程 138

二、二元函数全微分的几何意义 141

习题3-4 142

一、无约束极值 143

第五节 无约束极值与有约束极值 143

二、函数的最大值和最小值 146

三、有约束极值 149

习题3-5 155

第六节 平面图形及曲面的面积 156

一、平面图形的面积 156

二、曲面的面积 159

习题3-6 161

第七节 几何体的体积 162

习题3-7 164

第八节 多元函数积分学在物理中的应用 165

一、物体的质量 165

二、质心和形心 168

三、转动惯量 172

四、引力 176

习题3-8 179

第四章 对坐标的曲线积分和曲面积分 180

第一节 对坐标的曲线积分 180

一、对坐标的曲线积分的概念 180

二、对坐标的曲线积分的计算 186

三、两类曲线积分的联系 191

习题4-1 192

第二节 格林公式 193

一、格林公式 193

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 198

三、原函数与全微分方程举例 203

习题4-2 207

一、双侧曲面 208

第三节 对坐标的曲面积分 208

二、对坐标的曲面积分的概念 210

三、对坐标的曲面积分的计算 213

四、两类曲面积分之间的联系 217

习题4-3 218

第四节 高斯公式与斯托克斯公式 218

一、高斯公式 218

二、斯托克斯公式 221

习题4-4 226

第五章 向量函数与场论 228

第一节 向量函数的极限与连续性 228

一、向量函数的概念 228

二、向量函数的极限与连续性 229

习题5-1 231

第二节 向量函数的解析运算 232

一、向量函数的导数和偏导数 232

二、向量函数的微分 237

三、向量函数的积分 239

习题5-2 241

第三节 数量场与其物理量 242

一、数量场 242

二、数量场的方向导数和梯度 243

习题5-3 248

第四节 向量场及其物理量 249

一、向量场 249

二、通量与散度 251

三、环量与旋度 254

习题5-4 256

第五节 几个常见的重要场 257

一、有势场 257

二、无源场 259

三、调和场 260

习题5-5 261

第六章 含参变量的积分 262

第一节 含参变量积分的概念与运算 262

习题6-1 268

第二节 含参变量的无穷积分 268

一、含参变量的无穷积分的敛散性 268

二、含参变量的无穷积分的性质 272

习题6-2 276

第三节 г函数与B函数 277

一、г函数 277

二、B函数 280

习题6-3 283

第四节 含参变量积分应用举例 283

习题6-4 288

第七章 傅立叶分析 289

第一节 周期函数的傅立叶级数 289

一、傅立叶系数和傅立叶级数 289

二、傅立叶级数收敛的充分条件 292

三、正弦级数与余弦级数 293

四、一般周期函数的傅立叶级数 295

一、函数的周期性延拓 298

第二节 非周期函数的傅立叶级数 298

习题7-1 298

二、奇延拓与偶延拓 300

三、任意区间上非周期函数的傅立叶级数 302

习题7-2 303

第三节 傅立叶变换 303

一、傅立叶级数的复形式 304

二、傅立叶积分与傅立叶变换 306

三、δ函数的傅立叶变换 316

习题7-3 318

第四节 拉普拉斯变换 318

一、拉普拉斯变换的定义与存在条件 318

二、拉普拉斯变换的性质 321

三、拉普拉斯逆变换的求法 325

四、拉普拉斯变换的简单应用 326

习题7-4 328

第八章 偏微分方程 329

第一节 三类典型的偏微分方程 329

一、典型方程的建立 329

二、偏微分方程的一些基本概念 334

三、定解条件与定解问题 334

习题8-1 337

第二节 分离变量法 338

一、有界弦的自由振动 338

二、圆域内稳态温度的第一边值问题 341

三、施笃姆—刘维尔固有值理论 343

习题8-2 344

一、非齐次方程的混合问题 345

第三节 分离变量法的进一步应用——非齐次情形 345

二、非齐次边界条件的处理 347

习题8-3 350

第四节 波动方程的达朗贝尔公式 351

一、两个自变量的二阶线性方程的分类与化简 351

二、无界弦的自由横振动——达朗贝尔公式 355

三、无界弦的强迫振动 356

四、半无界弦的混合问题——对称延拓法 358

习题8-4 359

第五节 积分变换法 360

一、傅立叶变换法举例 360

二、拉普拉斯变换法举例 362

习题8-5 363

一、格林公式及其应用 364

第六节 格林函数法 364

二、格林函数 366

习题8-6 369

第七节 差分法 369

一、差商与差分方程 369

二、拉普拉斯方程的差分法 371

三、波动方程的差分法 374

四、热传导方程的差分法 375

习题8-7 376

习题答案 377

附录 388

附表1 傅立叶变换表 388

附表2 拉普拉斯变换表 392