第1章 解析函数 1
1 复数 1
1.1 复数的概念 1
1.2 复数的表示 3
1.3 复球面与扩充复平面 8
1.4 复数的乘幂与方根 9
习题1.1 13
2 复变函数 15
2.1 点集与区域 15
2.2 复变函数的定义 18
习题1.2 22
3 解析函数 23
3.1 复变函数的极限与连续性 23
3.2 导数与解析 29
3.3 函数解析的充要条件 32
3.4 调和函数 39
习题1.3 44
4 初等函数 46
4.1 指数函数 47
4.2 对数函数 48
4.3 幂函数 51
4.4 三角函数与双曲函数 53
4.5 反三角函数与反双曲函数 56
习题1.4 58
5 解析函数的应用——平面场的复势 59
5.1 平面场的复变函数表示 59
5.2 流体问题的复势 61
5.3 静电场的复势 68
习题1.5 70
1.1 复变函数积分的概念和性质 72
1 复变函数的积分 72
第2章 柯西积分 72
1.2 复变函数积分的计算 76
习题2.1 79
2 柯西定理 80
2.1 柯西——古萨基本定理 80
2.2 原函数与不定积分 83
2.3 复合闭路定理 87
习题2.2 90
3 柯西积分公式 91
习题2.3 95
4 解析函数的导数 96
习题2.4 99
5 关于解析函数的几个定理 100
习题2.5 105
第3章 级数 106
1 复数项级数 106
习题3.1 110
2 幂级数 111
2.1 复变函数项级数 111
2.2 幂级数 114
2.3 收敛半径的求法 116
2.4 幂级数的运算和性质 119
习题3.2 121
3 解析函数的泰勒展式 122
3.1 泰勒定理 122
3.2 一些初等函数的泰勒展式 125
习题3.3 133
4 罗朗级数 134
4.1 双边幂级数 134
4.2 解析函数的罗朗展式 136
习题3.4 149
1.1 孤立奇点及其分类 151
第4章 留数及其应用 151
1 奇点与零点 151
1.2 零点及其与极点的关系 155
1.3 解析函数在无穷远处的性态 158
习题4.1 160
2 留数 162
2.1 留数的定义与留数定理 162
2.2 留数的计算 164
2.3 函数在无穷远点的留数 168
习题4.2 172
3.1 计算 173
3 留数在积分计算上的应用 173
3.2 计算 175
3.3 计算 178
习题4.3 182
4 辐角原理与儒歇定理 183
4.1 对数留数 183
4.2 辐角原理 185
4.3 儒歇定理 187
习题4.4 190
1.1 解析变换的保域性 191
1 保形映照的概念 191
第5章 保形映照 191
1.2 解析函数的导数的几何意义 192
1.3 保形映照的概念 197
习题5.1 198
2 分式线性函数及其映照性质 199
2.1 分式线性函数 199
2.2 保形性 202
2.3 保圆性 203
2.4 保对称性 205
2.5 保交比性 206
2.6 分式线性映照的应用 210
习题5.2 221
3 某些初等函数所构成的保形映照 224
3.1 幂函数 224
3.2 指数函数 232
3.3 儒可夫斯基函娄 236
3.4 儒可夫斯基截线 242
习题5.3 244
4 关于保形映照的黎曼存在定理和边界对应定理 247
4.1 黎曼存在定理 247
4.2 边界对应定理 249
5 多角形的保形映照、计瓦兹——克里斯托费尔公式 251
5.1 许瓦兹——克里斯托费尔公式 251
习题5.4 251
5.2 退化情况 257
习题5.5 270
6 波松积分公式与狄利克莱问题 271
6.1 波松积分公式 271
6.2 狄利克莱问题 272
习题5.6 278
1 傅立叶变换的概念 280
第6章 傅立叶变换 280
1.1 傅立叶积分定理 281
1.2 傅立叶变换 282
1.3 傅立叶变换的其他情形 286
习题6.1 288
2 δ函数及其傅立叶变换 290
2.1 δ函数的定义 291
2.2 δ函数的性质 292
2.3 δ函数的傅立叶变换 294
习题6.2 297
3 傅立叶变换的性质 298
习题6.3 302
4 卷积与积分性质 303
4.1 卷积 303
4.2 卷积的基本性质 303
4.3 卷积定理 304
4.4 积分性质 305
习题6.4 308
5 频谱与相关函数 309
5.1 频谱 309
5.2 能量谱密度 315
5.3 相关函数 316
习题6.5 320
6 傅立叶变换应用举例 322
习题6.6 325
第7章 拉普拉斯变换 326
1 拉普拉斯变换的概念 326
1.1 问题的提出 326
1.2 拉普拉斯变换的定义 327
1.3 拉普拉斯变换的存在定理 330
习题7.1 332
2 拉普拉斯变换的性质 333
习题7.2 346
3 拉普拉斯逆变换 348
3.1 查表法 348
3.2 反演公式 350
3.3 海维塞展开式 352
3.4 部分分式法 354
习题7.3 354
4 卷积 356
4.1 卷积的概念 356
4.2 卷积定理 357
习题7.4 359
5 拉普拉斯变换的应用 360
5.1 求解常微分方程 360
5.2 求解偏微分方程 364
5.3 线性系统的传递函数 366
习题7.5 368
附录一 区域的映照表 371
附录二 傅立叶变换简表 377
附录三 拉普拉斯变换简表 382
习题答案或提示 389
参考文献 413