第一章 实分析基础 1
1 集合与映射 1
1.1 集合及其运算 1
1.2 映射 4
1.3 可数集与不可数集 8
2 实数与连续函数的某些性质 13
2.1 实数的完备性 13
2.2 开集与闭集 19
2.3 函数的一致连续与函数列的一致收敛性 24
3 可测集与可测函数 31
3.1 直线上集合的勒贝格测度 31
3.2 可测函数及其性质 39
3.3 可测函数与连续函数的关系 依测度收敛 43
4 勒贝格积分 48
4.1 勒贝格积分的定义 48
4.2 勒贝格积分的性质 54
4.3 函数序列积分的收敛定理 57
5 几具常用不等式 65
第二章 度量空间 72
1 度量空间的定义 72
2 度量空间的拓扑性质 79
2.1 开集、闭集与邻域 79
2.2 度量空间中点列的收敛性 83
2.3 映射的连续与一致连续性 83
3 完备性 93
3.1 完备性概念 94
3.2 常见的完备空间 96
3.3 完备性等价命题 度量空间的完备化 99
4 列紧性与紧性 104
4.1 紧性 104
4.2 列紧性与全有界性 109
4.3 紧集上连续泛函的性质 115
5 可分性 118
第三章 赋范线性空间及其上的线性算子 125
1 赋范线性空间与Banach空间 125
1.1 线性空间、线性算子与线性泛函 125
1.2 赋范线性空间与Banach空间 131
1.3 赋范线性空间的基本性质 134
1.4 有限维赋范线性空间的性质与特征 136
2 有界线性算子 144
2.1 有界线性算子及其范数 144
2.2 有界线性算子的空间 153
2.3 紧算子 157
3 有界线性泛函 163
3.1 有界线性泛函与共轭空间 163
3.2 某些具体空间上有界线性泛函的表示 166
4 泛函分析的几个基本定理简介 172
5 共轭空间与伴随算子 182
5.1 二次共轭空间与自反空间 182
5.2 伴随算子及其性质 183
6 弱收敛与弱＊收敛 188
6.1 点列的强收敛与弱收敛 188
6.2 泛函序列的强收敛与弱＊收敛 191
7 有界线性算子谱理论初步 195
7.1 谱的概念及基本性质 195
7.2 Riesz-Schauder理论简介 203
第四章 Hilbert空间及其上的线性算子 208
1 Hilbert空间的几何学 208
1.1 定义与基本性质 208
1.2 正交分解与投影定理 216
1.3 内积空间中的正交系 220
1.4 可分Hilbert空间的模型 228
2 Hilbert空间上的有界线性泛函 231
3 Hilbert空间上的伴随算子和自伴算子 236
3.1 伴随算子 236
3.2 自伴算子 241
4 Hilbert空间上的几种算子 245
4.1 投影算子 245
4.2 西算子 248
4.3 正常算子 251
5 Hilbert空间上自伴算子的谱性质 255
第五章 泛函分析的一些应用 265
1 压缩映射原理及其应用 265
1.1 压缩映射原理 266
1.2 应用举例 268
2 不动点定理及其应用 277
2.1 Brouwer与Schauder不动点定理 277
2.2 应用举例 278
3 第二型Fredholm积分方程 287
3.1 正则值与解核 287
3.2 Fredholm定理 290
3.3 Hilbert-Schmidt定理 294
4 最佳逼近与投影定理的应用 298
4.1 最佳逼近的存在性与惟一性 298
4.2 C[α, b]中最佳逼近的惟一性与Chebyshev多项式 302
4.3 投影定理的应用举例 305
4.4 最小二乘法 308
答案与提示 311
参考书目 326
后记 327