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第一章 实分析基础 1

1 集合与映射 1

1.1 集合及其运算 1

1.2 映射 4

1.3 可数集与不可数集 8

2 实数与连续函数的某些性质 13

2.1 实数的完备性 13

2.2 开集与闭集 19

2.3 函数的一致连续与函数列的一致收敛性 24

3 可测集与可测函数 31

3.1 直线上集合的勒贝格测度 31

3.2 可测函数及其性质 39

3.3 可测函数与连续函数的关系 依测度收敛 43

4 勒贝格积分 48

4.1 勒贝格积分的定义 48

4.2 勒贝格积分的性质 54

4.3 函数序列积分的收敛定理 57

5 几具常用不等式 65

第二章 度量空间 72

1 度量空间的定义 72

2 度量空间的拓扑性质 79

2.1 开集、闭集与邻域 79

2.2 度量空间中点列的收敛性 83

2.3 映射的连续与一致连续性 83

3 完备性 93

3.1 完备性概念 94

3.2 常见的完备空间 96

3.3 完备性等价命题 度量空间的完备化 99

4 列紧性与紧性 104

4.1 紧性 104

4.2 列紧性与全有界性 109

4.3 紧集上连续泛函的性质 115

5 可分性 118

第三章 赋范线性空间及其上的线性算子 125

1 赋范线性空间与Banach空间 125

1.1 线性空间、线性算子与线性泛函 125

1.2 赋范线性空间与Banach空间 131

1.3 赋范线性空间的基本性质 134

1.4 有限维赋范线性空间的性质与特征 136

2 有界线性算子 144

2.1 有界线性算子及其范数 144

2.2 有界线性算子的空间 153

2.3 紧算子 157

3 有界线性泛函 163

3.1 有界线性泛函与共轭空间 163

3.2 某些具体空间上有界线性泛函的表示 166

4 泛函分析的几个基本定理简介 172

5 共轭空间与伴随算子 182

5.1 二次共轭空间与自反空间 182

5.2 伴随算子及其性质 183

6 弱收敛与弱＊收敛 188

6.1 点列的强收敛与弱收敛 188

6.2 泛函序列的强收敛与弱＊收敛 191

7 有界线性算子谱理论初步 195

7.1 谱的概念及基本性质 195

7.2 Riesz-Schauder理论简介 203

第四章 Hilbert空间及其上的线性算子 208

1 Hilbert空间的几何学 208

1.1 定义与基本性质 208

1.2 正交分解与投影定理 216

1.3 内积空间中的正交系 220

1.4 可分Hilbert空间的模型 228

2 Hilbert空间上的有界线性泛函 231

3 Hilbert空间上的伴随算子和自伴算子 236

3.1 伴随算子 236

3.2 自伴算子 241

4 Hilbert空间上的几种算子 245

4.1 投影算子 245

4.2 西算子 248

4.3 正常算子 251

5 Hilbert空间上自伴算子的谱性质 255

第五章 泛函分析的一些应用 265

1 压缩映射原理及其应用 265

1.1 压缩映射原理 266

1.2 应用举例 268

2 不动点定理及其应用 277

2.1 Brouwer与Schauder不动点定理 277

2.2 应用举例 278

3 第二型Fredholm积分方程 287

3.1 正则值与解核 287

3.2 Fredholm定理 290

3.3 Hilbert-Schmidt定理 294

4 最佳逼近与投影定理的应用 298

4.1 最佳逼近的存在性与惟一性 298

4.2 C[α, b]中最佳逼近的惟一性与Chebyshev多项式 302

4.3 投影定理的应用举例 305

4.4 最小二乘法 308

答案与提示 311

参考书目 326

后记 327