第一章 一般代数初步 1
1 集和 1
1．集合的概念 1
2．集合的运算 4
3．集合的直积 9
2 映象 10
1．映象的概念 10
2．映象之例子 13
3．映象的乘积 15
4．映象的交换图 17
5．映象的分解 18
3 关系 19
1．关系与集的直积 19
2．等价关系与商集 23
4 代数运算 27
5 半群、群、环、域 31
1．半群 31
2．群 33
3．环 37
4．非结合环 43
5．零因子 45
6．整区 46
7．单位元 48
8．体和域 49
9．同构 53
6 子群、子环、商群、商环 55
1．子群 55
2．正则子群与商群 59
3．子环 65
4．理想与商环 66
5．群和环的同态 72
7 由整区扩张成的分式域 77
1．分式域 77
2．算符演算 84
第二章 线性空间 91
1 线性空间概述 91
1．一个例子 91
2．线性空间的定义 93
3．子空间 100
4．直和空间 105
5．商空间 111
6．对偶空间 116
2 线性空间的基与坐标 122
1．向量组的线性相关与线性无关 122
2．线性空间的基与维数 130
3．坐标与坐标变换 137
4．对偶空间的对偶基 145
5．无穷维线性空间、范数 148
3 线性变换 151
1．线性变换的定义 151
2．线性变换与线性泛函 155
3．线性变换的运算 157
4．一些特殊的线性变换 159
5．线性变换的矩阵表示 164
6．坐标变换对变换阵的影响 174
4 不变子空间 180
1．不变子空间的一般性质 180
2．零化多项式与最小多项式 192
3．最小多项式的性质 196
4．有限个向量生成的σ－不变子空间 210
5．<σ丨B>的对偶性质 220
6．空间分解 224
7．线性变换σ的标准形 234
8．(σ,τ)－不变子空间 260
5 欧式空间 270
1．内积与正交性 271
2．标准正交基 280
3．欧氏空间中的线性变换 284
4．欧氏空间的对偶空间 290
第三章 矩阵代数 296
1 矩阵 296
1．矩阵的定义及其运算 296
2．几种特殊形式的矩阵 306
3．矩阵的分块表示 309
4．Kronecker积与Kronecker和 313
2 行列式 315
1．行列式的定义 316
2．行列式的性质 319
3．几种特殊形式的行列式 333
4．子式和代数余子式 338
3 矩阵的秩和迹 340
4 逆矩阵 346
1．定义及其性质 346
2．初等变换矩阵 353
3．广义逆矩阵 363
4．伪逆矩阵 369
5 特征值和特征向量 372
1．特征值 372
2．特征向量 378
3．特征多项式 390
6 标准形 396
1．矩阵的相似 396
2．若唐标准形 402
3．相伴标准形 411
4．对角形 417
7 二次型 423
1．二次型及其标准形 423
2．正定阵和非负定阵 433
3．矩阵的范数 440
4．对称阵的大小关系 449
8 矩阵的分解 451
1．方阵的三角形分解 451
2．矩阵的奇值分解 456
3．矩阵的QR(QL)分解 459
9 函数矩阵的微积分 463
1．一元函数矩阵的微积分 463
2．多元函数矩阵的微分 469
10矩阵函数 479
1．矩阵函数的定义 479
2．指数函数 493
3．矩阵函数的谱分解 503
第四章 多项式矩阵 520
1 多项式 520
1．多项式的概念 520
2．多项式的运算 523
3．多项式的带余除法 527
4．最大公因子 531
5．多项式的互质性 540
6．最小公倍式 549
7．多项式的因子分解 552
8．多项式与微分方程 555
2 多项式矩阵 566
1．基本概念 566
2．多项式矩阵的系数矩阵 571
3．多项式矩阵的运算 579
4．多项式矩阵的秩 583
5．单位模阵 587
3 多项式矩阵的初等变换 592
1．初等变换 592
2．初等变换的实现 597
3．矩阵列的结构算法 606
4．多项式阵的等价性 612
5．多项式阵的Smith标准性 621
4 多项式阵的因子与极大因子 626
1．多项式阵的带余除法 626
2．多项式阵的因子和极大因子 637
3．极大因子的求法 650
5 多项式阵的素性 654
1．多项式阵素性的概念 654
2．多项式阵素性的判别 661
6 有理分式阵 668
1．有理分式阵及其标准形 668
2．多项式矩阵的逆阵 675
3．有理分式阵的分解 679
4．求既约分解的方法 685
5．传递阵C(SI-A)-1B的既约分解 696
6．有理分式阵的逆阵 703
7 多项式阵的广义因子、斜互质 704
1．广义因子 704
2．斜互质 720
第五章 矩阵方程 727
1 预备知识 727
1．线性定常系统 727
2．线性定常系统的能控性与能观测性 728
3．线性定常系统的能稳定性与能检测性 729
2 矩阵线性方程 733
1．4X-XB=C型代数方程 733
2．X(t)=？TX(t)+X(t)A+Q型微分方程 744
3．ATX+XA=-Q型代数方程 751
3 矩阵黎卡提代数方程 760
1．解的结构分析 760
2．实对称解的性质 767
3．矩阵Z的性质 773
4．解的存存条件 781
4 矩阵黎卡提微分方程 791
1．解的一般性质 791
2．解的极限性质 799
3．矩阵黎卡提微分方程的解法 806
4．矩阵黎卡提代数方程的解法 815
5 符号函数法 827
1．符号函数的定义及其性质 827
2．符号函数的计算 830
3．用符号函数解AX-XB=C型方程 832
4．用符号函数解矩阵黎卡提代数方程 835
6 多项式方程与多项式谱分解方程 838
1．多项式方程 838
2．多项式谱分解方程 845
7 多项式矩阵方程 847