第一章 数值计算中的误差 1
1 引言 1
2 误差的种类及其来源 4
2.1 模型误差 4
2.2 观测误差 4
2.3 截断误差 5
2.4 舍入误差 5
3 绝对误差和相对误差 6
3.1 绝对误差和绝对误差限 6
3.2 相对误差和相对误差限 7
4 有效数字及其与误差的关系 9
4.1 有效数字 9
4.2 有效数字与误差的关系 11
5 误差的传播与估计 12
5.1 误差估计的一般公式 12
5.2 误差在算术运算中的传播 16
5.3 对1算例的误差分析 19
6 算法的数值稳定性 20
小结 25
习题一 26
第二章 插值法 29
1 引言 29
1.1 插值问题的提法 29
1.2 插值多项式的存在惟一性 31
2 拉格朗日插值多项式 31
2.1 插值基函数 31
2.2 拉格朗日插值多项式 32
2.3 插值余项 35
2.4 插值误差的事后估计法 39
3 牛顿插值多项式 40
3.1 向前差分与牛顿向前插值公式 40
3.2 向后差分与牛顿向后插值公式 44
3.3 差商与牛顿基本插值多项式 46
4 分段低次插值 50
5 三次样条插值 52
5.1 三次样条插值函数的定义 54
5.2 边界条件问题的提出与类型 54
5.3 三次样条插值函数的求法 55
6 数值微分 64
6.1 利用插值多项式求导数的原理与常用公式 64
6.2 利用三次样条插值函数求导数的原理与公式 66
小结 68
习题二 68
第三章 曲线拟合的最小二乘法 70
1 引言 70
2 什么是最小二乘法 71
3 最小二乘解的求法 72
4 加权最小二乘法 82
5 利用正交函数作最小二乘拟合 85
5.1 利用正交函数作最小二乘拟合的原理 85
5.2 利用正交多项式作多项式拟合 86
小结 88
习题三 89
第四章 数值积分 90
1 引言 90
1.1 讨论数值求积的必要性 90
1.2 构造数值求积公式的基本方法 90
1.3 求积公式的余项 91
1.4 求积公式的代数精度 92
2 牛顿—柯特斯公式 94
2.1 牛顿—柯特斯公式 94
2.2 复合牛顿—柯特斯公式 97
2.3 误差的事后估计与步长的自动选择 103
2.4 复合梯形法的递推算式 105
3 龙贝格算法 108
3.1 龙贝格算法的基本原理 109
3.2 龙贝格算法计算公式的简化 112
4 高斯型求积公式 114
4.1 高斯型求积公式的定义 114
4.2 高斯型求积公式的构造与应用 115
小结 119
习题四 120
第五章 非线性方程的数值解法 121
1 引言 121
2 二分法 123
3 迭代法 127
4 牛顿—雷扶生方法 137
4.1 牛顿法公式及误差分析 137
4.2 牛顿法的局部收敛性 140
4.3 牛顿法例子及框图 141
4.4 牛顿下山法 146
5 正割法和抛物线法 148
5.1 正割法 148
5.2 抛物线法（Muller法） 150
6 迭代法的收敛阶和Aitken加速方法 154
小结 157
习题五 159
第六章 方程组的数值解法 161
1 引言 161
2 高斯消去法 163
3 迭主元素的高斯消去法 169
3.1 完全主元素消去法 170
3.2 列主元素消去法 172
4 矩阵的三角分解 175
5 解三对角线方程组的追赶法 182
6 解对称正定矩阵方程组的平方根法 185
7 向量和矩阵的范数 190
8 解线性方程组的迭代法 194
8.1 雅可比（Jacobi）迭代法 197
8.2 高斯一塞德尔迭代法 198
8.3 解线性方程组的松弛迭代法 200
8.4 迭代法的收敛性 203
9 解非线性方程组的迭代法 212
9.1 解非线性方程组的迭代法 213
9.2 解非线性方程组的牛顿法 216
10 病态方程组和迭代改善法 220
10.1 病态方程组 220
10.2 迭代改善法 223
小结 226
习题六 227
第七章 常微分方程的数值解法 229
1 引言 229
2 欧拉方法 231
2.1 欧拉格式 231
2.2 改进的欧拉格式 236
3 龙格—库塔方法 240
3.1 龙格—库塔公式的导出 240
3.2 高阶龙格—库塔格式 243
3.3 步长的自动选择 248
4 阿达姆斯方法 249
4.1 线性多步方法 249
4.2 显式和隐式阿达姆斯格式 250
4.3 阿达姆斯预测—校正方法 257
4.4 阿达姆斯预测—校正方法的改进 259
5 算法的稳定性及收敛性 261
5.1 稳定性 261
5.2 收敛性 266
6 方程组及高阶方程的数值解法 268
6.1 一阶方程组 268
6.2 高阶方程 269
7 边值问题的数值解法 272
7.1 差分解法 273
7.2 打靶法 276
小结 278
习题七 279
附录 上机实习参考题 281
部分习题参考答案 285
参考文献 289