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第一章 数值计算中的误差 1

1 引言 1

2 误差的种类及其来源 4

2.1 模型误差 4

2.2 观测误差 4

2.3 截断误差 5

2.4 舍入误差 5

3 绝对误差和相对误差 6

3.1 绝对误差和绝对误差限 6

3.2 相对误差和相对误差限 7

4 有效数字及其与误差的关系 9

4.1 有效数字 9

4.2 有效数字与误差的关系 11

5 误差的传播与估计 12

5.1 误差估计的一般公式 12

5.2 误差在算术运算中的传播 16

5.3 对1算例的误差分析 19

6 算法的数值稳定性 20

小结 25

习题一 26

第二章 插值法 29

1 引言 29

1.1 插值问题的提法 29

1.2 插值多项式的存在惟一性 31

2 拉格朗日插值多项式 31

2.1 插值基函数 31

2.2 拉格朗日插值多项式 32

2.3 插值余项 35

2.4 插值误差的事后估计法 39

3 牛顿插值多项式 40

3.1 向前差分与牛顿向前插值公式 40

3.2 向后差分与牛顿向后插值公式 44

3.3 差商与牛顿基本插值多项式 46

4 分段低次插值 50

5 三次样条插值 52

5.1 三次样条插值函数的定义 54

5.2 边界条件问题的提出与类型 54

5.3 三次样条插值函数的求法 55

6 数值微分 64

6.1 利用插值多项式求导数的原理与常用公式 64

6.2 利用三次样条插值函数求导数的原理与公式 66

小结 68

习题二 68

第三章 曲线拟合的最小二乘法 70

1 引言 70

2 什么是最小二乘法 71

3 最小二乘解的求法 72

4 加权最小二乘法 82

5 利用正交函数作最小二乘拟合 85

5.1 利用正交函数作最小二乘拟合的原理 85

5.2 利用正交多项式作多项式拟合 86

小结 88

习题三 89

第四章 数值积分 90

1 引言 90

1.1 讨论数值求积的必要性 90

1.2 构造数值求积公式的基本方法 90

1.3 求积公式的余项 91

1.4 求积公式的代数精度 92

2 牛顿—柯特斯公式 94

2.1 牛顿—柯特斯公式 94

2.2 复合牛顿—柯特斯公式 97

2.3 误差的事后估计与步长的自动选择 103

2.4 复合梯形法的递推算式 105

3 龙贝格算法 108

3.1 龙贝格算法的基本原理 109

3.2 龙贝格算法计算公式的简化 112

4 高斯型求积公式 114

4.1 高斯型求积公式的定义 114

4.2 高斯型求积公式的构造与应用 115

小结 119

习题四 120

第五章 非线性方程的数值解法 121

1 引言 121

2 二分法 123

3 迭代法 127

4 牛顿—雷扶生方法 137

4.1 牛顿法公式及误差分析 137

4.2 牛顿法的局部收敛性 140

4.3 牛顿法例子及框图 141

4.4 牛顿下山法 146

5 正割法和抛物线法 148

5.1 正割法 148

5.2 抛物线法（Muller法） 150

6 迭代法的收敛阶和Aitken加速方法 154

小结 157

习题五 159

第六章 方程组的数值解法 161

1 引言 161

2 高斯消去法 163

3 迭主元素的高斯消去法 169

3.1 完全主元素消去法 170

3.2 列主元素消去法 172

4 矩阵的三角分解 175

5 解三对角线方程组的追赶法 182

6 解对称正定矩阵方程组的平方根法 185

7 向量和矩阵的范数 190

8 解线性方程组的迭代法 194

8.1 雅可比（Jacobi）迭代法 197

8.2 高斯一塞德尔迭代法 198

8.3 解线性方程组的松弛迭代法 200

8.4 迭代法的收敛性 203

9 解非线性方程组的迭代法 212

9.1 解非线性方程组的迭代法 213

9.2 解非线性方程组的牛顿法 216

10 病态方程组和迭代改善法 220

10.1 病态方程组 220

10.2 迭代改善法 223

小结 226

习题六 227

第七章 常微分方程的数值解法 229

1 引言 229

2 欧拉方法 231

2.1 欧拉格式 231

2.2 改进的欧拉格式 236

3 龙格—库塔方法 240

3.1 龙格—库塔公式的导出 240

3.2 高阶龙格—库塔格式 243

3.3 步长的自动选择 248

4 阿达姆斯方法 249

4.1 线性多步方法 249

4.2 显式和隐式阿达姆斯格式 250

4.3 阿达姆斯预测—校正方法 257

4.4 阿达姆斯预测—校正方法的改进 259

5 算法的稳定性及收敛性 261

5.1 稳定性 261

5.2 收敛性 266

6 方程组及高阶方程的数值解法 268

6.1 一阶方程组 268

6.2 高阶方程 269

7 边值问题的数值解法 272

7.1 差分解法 273

7.2 打靶法 276

小结 278

习题七 279

附录 上机实习参考题 281

部分习题参考答案 285

参考文献 289