第一章 绪论 3
一 数学是什么 3
二 谈谈数学的定义 7
1 描述性定义 8
2 公理性定义 9
第二章 数学史概述 14
一 几个发展阶段 14
1 公元5世纪前--初等数学初期 15
2 公元5至16世纪--数学的幸存和代数的成绩 17
3 公元17、18世纪--高等数学的诞生和崛起 18
4 公元19世纪--纯数学的诞生 21
5 公元20世纪--应用数学的世纪 26
二 数学家创造的数学史 28
第三章 数学的危机史 44
一 线段可公约悖论--第一次数学危机 45
二 芝诺悖论--第二次数学危机 48
三 罗素悖论--第三次数学危机 55
第四章 数学描述对象的深化史 60
一 确定数学--数学的主流和主体 60
二 随机数学--描述客观世界的一次深化 63
三 模糊数学--描述客观世界的又一次深化 70
第五章 数学之树 75
一 演绎数学 76
1 第一支系--几何学 76
2 第二支系--代数学 79
3 第三支系--分析学 83
4 第四支系--概率论与统计学 87
5 第五支系--数论 88
二 计算数学 94
1 计算机科学的根基在数学 95
2 计算机引起的数学革命 95
3 计算机科学的理论焦点 96
第六章 数学之根 103
一 实数 104
1 无理数--认识实数的第一次抽象 104
2 对实数结构的几种描述 111
3 非标准分析 114
4 集合论 117
二 公理化 123
三 数理逻辑 128
1 证明论 129
2 递归论 130
3 模型论 131
4 公理集合论 132
四 数学哲学 133
1 直觉主义学派 133
2 形式主义学派 134
3 逻辑主义学派 135
五 数学发展的动力 137
1 实践的需要 138
2 内在的刺激 138
一 纯数学在本世纪内的继续发展 145
第七章 再谈20世纪数学 145
1 数学基础学科的形成和发展 146
2 纯数学学科体系得到巩固 146
3 本世纪内纯数学的重大突破 147
二 几个概念 150
三 应用数学与纯数学 153
四 应用数学崛起的主观背景--纯数学的困难 155
1 非线性问题的阻滞 155
2 高维空间问题 156
3 大范围分析 157
4 抽象化与抽象化风 158
五 应用数学崛起的客观背景 160
1 自然科学猛然发展对数学的需求 161
2 第二次世界大战的刺激 162
3 计算机科学对应用数学的刺激 162
六 应用数学发展现状 163
第八章 应用数学学科分类 167
一 应用数学基础 167
1 应用数学理论基础 167
2 应用数学方法基础 172
二 应用数学科学(一)--系统科学的崛起 173
1 一般系统论 174
2 信息论 176
3 控制论 177
4 突变论 178
6 协同论 179
5 耗散系统论 179
三 应用数学科学(二)--生物数学的崛起 180
四 应用数学科学(三)--经济数学之崛起 182
第九章 数学的几大特征 188
一 数学的结构特征 188
1 数学对象的宏观结构特征 188
2 布尔巴基结构 190
二 数学的哲学特征 191
三 数学的思维特征 195
1 数学是典型的理解型学科 195
2 关于“数学是发现、不是创造” 197
3 数学是“猜”出来的 198
4 数学家的思维特征 199
1 谈美 200
四 数学之美 200
2 数学美 201
3 数学中的美 204
第十章 数学展望 206
一 下个世纪将是离散数学的世纪 206
1 低性离散问题对应着高维连续问题 207
2 离散对象的空间直观性差，使问题变得更难 208
3 离散数学技巧性更强 208
二 社会数学的崛起、数学的文化化 209
三 下个世纪的纯数学 212
四 关于数学教育 213
1 时代需要普及数学 213
2 数学教育对教师的要求 214
3 课堂里的哲学 221