第1部分 数学游戏与抽象游戏 1
引言 1
生活中的谜题 7
第1章 数学游戏：从欧拉到卢卡斯 11
欧拉与柯尼斯堡的桥 11
欧拉与马的游历问题 15
卢卡斯与数学游戏 20
卢卡斯单人对策游戏的数学计算 23
第2章 四则抽象游戏 26
从杜德尼趣题到戈洛姆游戏 28
九子棋 30
六边形棋 32
国际象棋 36
围棋 42
第3章 数学与游戏：神秘的联系 48
游戏和数学的分析都可以在大脑中进行 49
你能“预见”吗？ 51
一种新型对象 52
它们是抽象的 56
它们很难 57
规则 59
规则限定下的隐藏结构 60
论证与证明 61
确定性、谬误与真理 63
玩家也会犯错 65
推理、想象力和直觉 66
类比的力量 67
简单、优雅和美 68
一起探索科学与游戏 69
第4章 为何国际象棋不是数学 70
竞争 70
问东问西 73
数学与游戏式数学 75
改变解题的观念 76
创造新概念与新对象 77
递增的抽象性 78
寻找共同结构 79
数学与科学的互动 80
第5章 证明与查证 81
数学休闲游戏的局限性 82
抽象游戏与答案验证 83
如何“证明”11是素数？ 84
“5是素数”，这是巧合吗？ 85
证明vs.验证 86
结构、模式与表现形式 87
任意性与不可控性 88
边界附近 90
第2部分 数学：游戏化的、科学的和感性的 95
引言 95
第6章 游戏化的数学 98
引言 98
技巧和策略 100
立方和与其内在关联 103
欧拉的巨作 106
第7章 欧几里得与其几何游戏规则 110
赛瓦定理 114
西蒙线 116
抛物线及其几何特性 117
丹德林球面 120
第8章 新概念与新对象 122
创造“新对象” 124
它是存在的吗？ 126
不得不这么做 127
无穷与无穷级数 128
微积分与切线概念 131
抛物线的形状是什么？ 134
第9章 收敛级数与发散级数 137
先驱者 137
调和级数发散 140
奇异的对象和神秘的情景 142
发散级数的实际用途 145
第10章 数学的游戏化 146
欧拉与多面体 147
群论的发明——发现 150
阿蒂亚－麦克莱恩之争 153
数学与几何 155
第11章 作为一门科学的数学 156
引言 156
三角几何：三角形的欧拉线 158
现代三角几何学 161
七圆定理与其他新的定理 165
第12章 数字与数列 167
平方和 168
简单问题，容易答案 170
素数 171
素数对 173
猜想的局限性 174
波利亚猜想及其驳斥 176
数学实验的局限性 177
证明vs.直觉 181
第13章 计算机与数学 184
霍夫施塔德的“好问题” 186
计算机与数学证明 188
计算机与“证明” 190
结语：公式复公式 192
第14章 数学与科学 193
科学家的抽象 193
数学先于科学与技术 194
数学在科学中的成功应用 196
科学家如何应用数学？ 198
纯数学与应用数学中的方法和技巧 200
积分：求曲线下面积 202
摆线 206
科学激励着数学的发展 210
第15章 最短路径：优美的简洁性 213
似曾相识的智力题 213
赫伦定理的发展 217
极值问题 219
帕普斯与蜂巢 220
第16章 基石：感知、想象和洞察 221
阿基米德引理与用“看”来证明 223
通过剖分进行证明的中国人 224
拿破仑定理 226
多角数 229
分拆问题 233
（再谈）发明还是发现？ 236
第17章 结构 237
毕达哥拉斯定理 239
欧几里得坐标几何学 244
中点问题 247
挠四边形 249
第18章 隐藏结构，共同结构 252
素数与幸运数 252
面纱背后的数学对象 254
证明一致性 257
结构变换，视角转换 259
第19章 数学与美 263
哈代论数学和国际象棋 265
经验与期望 267
国际象棋和数学：美与才华 268
美、类比与结构 269
感知中的美和个体差异 271
“博大派”vs.“精深派” 273
美，形式与理解 275
第20章 起源：日常生活中的形式 277
游戏的心理学意义 280
形式性的起和落 283
宗教仪式、游戏与数学 284
形式性与数学 286
隐藏的数学 288
风格与文化，以及数学风格 290
系统精神vs.问题解决 292
视觉vs.语言：几何vs.代数 294
女性、游戏与数学 296
数学与抽象游戏：内在的紧密联系 298