第10章 函数序列与函数项级数 1
10.1 函数项级数的基本概念与性质 1
10.1.1 函数项级数的概念 1
10.1.2 研究问题描述 3
10.1.3 函数序列的一致收敛性 5
10.1.4 函数序列一致收敛的典型例题 8
10.1.5 函数项级数的一致收敛性 11
10.1.6 函数项级数一致收敛的典型例题 15
10.1.7 狄利克雷和阿贝尔判别方法 17
10.2 函数项级数和函数的性质 21
10.2.1 和函数的连续性 21
10.2.2 和函数的可积性 25
10.2.3 和函数的可微性 27
10.3 幂级数 32
10.3.1 幂级数的收敛域 32
10.3.2 幂级数和函数的性质 35
10.3.3 泰勒级数 38
10.3.4 泰勒级数的应用 44
10.3.5 幂级数综合例题 46
10.4 综合例题选讲 52
10.5 提高课：伯恩斯坦多项式序列的一致收敛 56
10.6 探索类问题 58
第11章 傅里叶级数与傅里叶变换 61
11.1 傅里叶级数 61
11.1.1 傅里叶级数的基本概念 61
11.1.2 傅里叶级数逐点收敛定理 64
11.1.3 傅里叶级数的性质 69
11.1.4 以2π为周期的函数的傅里叶级数的计算 71
11.1.5 以2ι为周期的函数的傅里叶级数的计算 75
11.1.6 余弦和正弦级数计算 78
11.2 提高课（1）：傅里叶级数的平方逼近 85
11.3 提高课（2） 88
11.3.1 傅里叶积分与傅里叶变换 88
11.3.2 傅里叶变换的计算 91
11.3.3 傅里叶变换的性质 93
11.3.4 离散傅里叶变换 95
11.3.5 快速傅里叶变换 99
11.3.6 快速傅里叶变换应用实例 101
11.4 提高课（3） 104
11.4.1 小波变换初步：信号多分辨分析 105
11.4.2 小波变换应用实例 112
11.5 探索类问题 120
第12章 多变量函数的极限与连续 122
12.1 欧几里得空间 122
12.2 n维欧几里得空间中点集的基本概念和性质 124
12.3 欧几里得空间中点列的极限 130
12.4 多元函数的极限 133
12.4.1 多元函数的定义 133
12.4.2 多元函数极限的定义 136
12.4.3 多元函数极限基本理论 139
12.4.4 多元函数极限典型例题 141
12.4.5 累次极限 144
12.5 多元连续函数 147
12.5.1 多元连续函数的概念 147
12.5.2 多元函数的一致连续 150
12.5.3 偏连续与全连续 153
12.6 有界闭集上多元连续函数的性质 155
12.7 综合例题选讲 156
12.8 探索类问题 160
第13章 多元函数微分学 162
13.1 全微分与偏导数 162
13.1.1 多元函数的微分与偏导数 162
13.1.2 多元复合函数求导 168
13.1.3 方向导数与梯度 173
13.1.4 高阶偏导数 178
13.1.5 高阶微分 184
13.2 中值定理与泰勒公式 186
13.2.1 多变量函数的中值定理 186
13.2.2 多变量函数的泰勒公式 188
13.3 多元函数的极值 195
13.3.1 关于矩阵的几个概念和性质 195
13.3.2 多元函数的无约束极值 196
13.4 隐函数存在定理及应用 204
13.4.1 函数行列式 204
13.4.2 隐函数存在定理 207
13.4.3 隐函数组存在定理 212
13.4.4 隐函数的应用：方程换元 221
13.4.5 隐函数的几何应用 226
13.5 条件极值 234
13.6 提高课 242
13.6.1 离散数据拟合：线性模型最小二乘方法 242
13.6.2 离散数据拟合：非线性模型最小二乘方法 244
13.6.3 数值优化初步 248
13.7 探索类问题 254
第14章 向量函数的微分学 256
14.1 向量函数的极限与连续 256
14.1.1 向量函数 256
14.1.2 向量与矩阵范数 259
14.1.3 向量函数的极限 261
14.1.4 向量函数的连续与一致连续 263
14.2 向量函数的微分 267
14.2.1 向量函数的导数与微分 267
14.2.2 向量函数导数的计算 269
14.2.3 向量函数的中值定理 273
14.2.4 向量函数的应用：开普勒定律的证明 274
14.3 探索类问题 277
第15章 常微分方程与数值解法初步 280
15.1 微分方程与数学建模 280
15.1.1 微分方程基本概念 280
15.1.2 微分方程与数学建模 281
15.2 一阶常微分方程的解法 283
15.2.1 一阶常微分方程的分离变量法 283
15.2.2 齐次方程 284
15.2.3 一阶线性微分方程与伯努利方程 286
15.2.4 可降阶的高阶微分方程 288
15.3 二阶线性常微分方程的解法 291
15.3.1 二阶线性微分方程解的结构 291
15.3.2 参数变异方法 293
15.3.3 常系数二阶线性齐次常微分方程 295
15.3.4 常系数二阶线性非齐次常微分方程 297
15.3.5 二阶线性常微分方程的幂级数解法与欧拉方程 299
15.4 综合应用实例 301
15.5 提高课（1） 306
15.5.1 线性微分方程组的求解 306
15.5.2 常微分方程初值问题的几个基本问题 310
15.5.3 常微分方程数值解初步 313
15.6 提高课（2） 316
15.6.1 三级火箭问题研究 316
15.6.2 人口模型研究 319
15.6.3 微分方程组建模 323
15.7 探索类问题 327
第16章 重积分 329
16.1 二重积分的定义与计算 329
16.1.1 平面图形的面积 329
16.1.2 二重积分的定义 332
16.1.3 直角坐标系下二重积分的计算 335
16.1.4 二重积分的换元公式 342
16.1.5 极坐标系下二重积分的计算 349
16.1.6 二重积分综合例题 357
16.2 三重积分的定义与计算 364
16.2.1 三重积分的定义 364
16.2.2 直角坐标系下三重积分的计算 367
16.2.3 三重积分的换元公式 377
16.2.4 柱坐标系下三重积分的计算 380
16.2.5 球坐标系下三重积分的计算 383
16.2.6 三重积分综合例题 388
16.3 重积分的物理应用 393
16.3.1 重心坐标 393
16.3.2 转动惯量 394
16.3.3 引力 395
16.4 提高课 396
16.4.1 无界区域上的二重积分 396
16.4.2 无界函数的二重积分 401
16.5 探索类问题 402
第17章 曲线积分与格林公式 406
17.1 第一型曲线积分 406
17.1.1 第一型曲线积分的定义 406
17.1.2 第一型曲线积分的计算公式 408
17.1.3 第一型曲线积分的基本性质 410
17.1.4 第一型曲线积分的典型例题 411
17.2 第二型曲线积分 415
17.2.1 第二型曲线积分的定义 415
17.2.2 第二型曲线积分的计算公式 417
17.2.3 第二型曲线积分的典型例题 418
17.3 格林公式 423
17.3.1 格林公式 423
17.3.2 曲线积分与路径的无关性 431
17.4 提高课：格林第一、二、三公式与应用 436
17.5 探索类问题 440
第18章 曲面积分 441
18.1 第一型曲面积分 441
18.1.1 空间曲面的参数方程 441
18.1.2 曲面面积的计算 444
18.1.3 第一型曲面积分的定义与计算 448
18.1.4 第一型曲面积分的典型例题 451
18.2 第二型曲面积分 458
18.2.1 双侧曲面 458
18.2.2 第二型曲面积分的定义 459
18.2.3 第二型曲面积分的计算公式 462
18.2.4 第二型曲面积分的典型例题 464
18.2.5 两型曲面积分的关系 468
18.3 高斯公式 472
18.3.1 高斯公式 472
18.3.2 高斯公式应用例题 474
18.3.3 空间格林第二、第三公式 479
18.4 斯托克斯公式 482
18.4.1 斯托克斯公式 482
18.4.2 斯托克斯公式典型例题 485
18.4.3 空间曲线积分与路径无关性 489
18.5 场论初步 492
18.5.1 数量场的梯度 492
18.5.2 向量场的通量与散度 493
18.5.3 向量场的环量与旋度 496
18.5.4 有势场与势函数 500
18.6 提高课 502
18.6.1 积分的统一定义 502
18.6.2 外微分 503
18.7 探索类问题 506
第19章 含参变量积分 511
19.1 含参变量常义积分的定义与性质 511
19.1.1 含参变量积分的分析性质 511
19.1.2 含参变量积分典型例题 515
19.2 含参变量无穷积分的一致收敛 520
19.2.1 含参变量无穷积分的定义 521
19.2.2 含参变量无穷积分的一致收敛判定定理 521
19.2.3 含参变量无穷积分的连续性定理与应用 529
19.2.4 含参变量无穷积分的可积性定理与应用 533
19.2.5 含参变量无穷积分的可微性定理与应用 537
19.2.6 含参变量瑕积分结论概述与应用 540
19.3 提高课：欧拉积分与应用 545
19.3.1 Γ函数 545
19.3.2 B函数 547
19.3.3 欧拉积分与应用 550
19.4 探索类问题 551
参考文献 554