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第10章 函数序列与函数项级数 1

10.1 函数项级数的基本概念与性质 1

10.1.1 函数项级数的概念 1

10.1.2 研究问题描述 3

10.1.3 函数序列的一致收敛性 5

10.1.4 函数序列一致收敛的典型例题 8

10.1.5 函数项级数的一致收敛性 11

10.1.6 函数项级数一致收敛的典型例题 15

10.1.7 狄利克雷和阿贝尔判别方法 17

10.2 函数项级数和函数的性质 21

10.2.1 和函数的连续性 21

10.2.2 和函数的可积性 25

10.2.3 和函数的可微性 27

10.3 幂级数 32

10.3.1 幂级数的收敛域 32

10.3.2 幂级数和函数的性质 35

10.3.3 泰勒级数 38

10.3.4 泰勒级数的应用 44

10.3.5 幂级数综合例题 46

10.4 综合例题选讲 52

10.5 提高课：伯恩斯坦多项式序列的一致收敛 56

10.6 探索类问题 58

第11章 傅里叶级数与傅里叶变换 61

11.1 傅里叶级数 61

11.1.1 傅里叶级数的基本概念 61

11.1.2 傅里叶级数逐点收敛定理 64

11.1.3 傅里叶级数的性质 69

11.1.4 以2π为周期的函数的傅里叶级数的计算 71

11.1.5 以2ι为周期的函数的傅里叶级数的计算 75

11.1.6 余弦和正弦级数计算 78

11.2 提高课（1）：傅里叶级数的平方逼近 85

11.3 提高课（2） 88

11.3.1 傅里叶积分与傅里叶变换 88

11.3.2 傅里叶变换的计算 91

11.3.3 傅里叶变换的性质 93

11.3.4 离散傅里叶变换 95

11.3.5 快速傅里叶变换 99

11.3.6 快速傅里叶变换应用实例 101

11.4 提高课（3） 104

11.4.1 小波变换初步：信号多分辨分析 105

11.4.2 小波变换应用实例 112

11.5 探索类问题 120

第12章 多变量函数的极限与连续 122

12.1 欧几里得空间 122

12.2 n维欧几里得空间中点集的基本概念和性质 124

12.3 欧几里得空间中点列的极限 130

12.4 多元函数的极限 133

12.4.1 多元函数的定义 133

12.4.2 多元函数极限的定义 136

12.4.3 多元函数极限基本理论 139

12.4.4 多元函数极限典型例题 141

12.4.5 累次极限 144

12.5 多元连续函数 147

12.5.1 多元连续函数的概念 147

12.5.2 多元函数的一致连续 150

12.5.3 偏连续与全连续 153

12.6 有界闭集上多元连续函数的性质 155

12.7 综合例题选讲 156

12.8 探索类问题 160

第13章 多元函数微分学 162

13.1 全微分与偏导数 162

13.1.1 多元函数的微分与偏导数 162

13.1.2 多元复合函数求导 168

13.1.3 方向导数与梯度 173

13.1.4 高阶偏导数 178

13.1.5 高阶微分 184

13.2 中值定理与泰勒公式 186

13.2.1 多变量函数的中值定理 186

13.2.2 多变量函数的泰勒公式 188

13.3 多元函数的极值 195

13.3.1 关于矩阵的几个概念和性质 195

13.3.2 多元函数的无约束极值 196

13.4 隐函数存在定理及应用 204

13.4.1 函数行列式 204

13.4.2 隐函数存在定理 207

13.4.3 隐函数组存在定理 212

13.4.4 隐函数的应用：方程换元 221

13.4.5 隐函数的几何应用 226

13.5 条件极值 234

13.6 提高课 242

13.6.1 离散数据拟合：线性模型最小二乘方法 242

13.6.2 离散数据拟合：非线性模型最小二乘方法 244

13.6.3 数值优化初步 248

13.7 探索类问题 254

第14章 向量函数的微分学 256

14.1 向量函数的极限与连续 256

14.1.1 向量函数 256

14.1.2 向量与矩阵范数 259

14.1.3 向量函数的极限 261

14.1.4 向量函数的连续与一致连续 263

14.2 向量函数的微分 267

14.2.1 向量函数的导数与微分 267

14.2.2 向量函数导数的计算 269

14.2.3 向量函数的中值定理 273

14.2.4 向量函数的应用：开普勒定律的证明 274

14.3 探索类问题 277

第15章 常微分方程与数值解法初步 280

15.1 微分方程与数学建模 280

15.1.1 微分方程基本概念 280

15.1.2 微分方程与数学建模 281

15.2 一阶常微分方程的解法 283

15.2.1 一阶常微分方程的分离变量法 283

15.2.2 齐次方程 284

15.2.3 一阶线性微分方程与伯努利方程 286

15.2.4 可降阶的高阶微分方程 288

15.3 二阶线性常微分方程的解法 291

15.3.1 二阶线性微分方程解的结构 291

15.3.2 参数变异方法 293

15.3.3 常系数二阶线性齐次常微分方程 295

15.3.4 常系数二阶线性非齐次常微分方程 297

15.3.5 二阶线性常微分方程的幂级数解法与欧拉方程 299

15.4 综合应用实例 301

15.5 提高课（1） 306

15.5.1 线性微分方程组的求解 306

15.5.2 常微分方程初值问题的几个基本问题 310

15.5.3 常微分方程数值解初步 313

15.6 提高课（2） 316

15.6.1 三级火箭问题研究 316

15.6.2 人口模型研究 319

15.6.3 微分方程组建模 323

15.7 探索类问题 327

第16章 重积分 329

16.1 二重积分的定义与计算 329

16.1.1 平面图形的面积 329

16.1.2 二重积分的定义 332

16.1.3 直角坐标系下二重积分的计算 335

16.1.4 二重积分的换元公式 342

16.1.5 极坐标系下二重积分的计算 349

16.1.6 二重积分综合例题 357

16.2 三重积分的定义与计算 364

16.2.1 三重积分的定义 364

16.2.2 直角坐标系下三重积分的计算 367

16.2.3 三重积分的换元公式 377

16.2.4 柱坐标系下三重积分的计算 380

16.2.5 球坐标系下三重积分的计算 383

16.2.6 三重积分综合例题 388

16.3 重积分的物理应用 393

16.3.1 重心坐标 393

16.3.2 转动惯量 394

16.3.3 引力 395

16.4 提高课 396

16.4.1 无界区域上的二重积分 396

16.4.2 无界函数的二重积分 401

16.5 探索类问题 402

第17章 曲线积分与格林公式 406

17.1 第一型曲线积分 406

17.1.1 第一型曲线积分的定义 406

17.1.2 第一型曲线积分的计算公式 408

17.1.3 第一型曲线积分的基本性质 410

17.1.4 第一型曲线积分的典型例题 411

17.2 第二型曲线积分 415

17.2.1 第二型曲线积分的定义 415

17.2.2 第二型曲线积分的计算公式 417

17.2.3 第二型曲线积分的典型例题 418

17.3 格林公式 423

17.3.1 格林公式 423

17.3.2 曲线积分与路径的无关性 431

17.4 提高课：格林第一、二、三公式与应用 436

17.5 探索类问题 440

第18章 曲面积分 441

18.1 第一型曲面积分 441

18.1.1 空间曲面的参数方程 441

18.1.2 曲面面积的计算 444

18.1.3 第一型曲面积分的定义与计算 448

18.1.4 第一型曲面积分的典型例题 451

18.2 第二型曲面积分 458

18.2.1 双侧曲面 458

18.2.2 第二型曲面积分的定义 459

18.2.3 第二型曲面积分的计算公式 462

18.2.4 第二型曲面积分的典型例题 464

18.2.5 两型曲面积分的关系 468

18.3 高斯公式 472

18.3.1 高斯公式 472

18.3.2 高斯公式应用例题 474

18.3.3 空间格林第二、第三公式 479

18.4 斯托克斯公式 482

18.4.1 斯托克斯公式 482

18.4.2 斯托克斯公式典型例题 485

18.4.3 空间曲线积分与路径无关性 489

18.5 场论初步 492

18.5.1 数量场的梯度 492

18.5.2 向量场的通量与散度 493

18.5.3 向量场的环量与旋度 496

18.5.4 有势场与势函数 500

18.6 提高课 502

18.6.1 积分的统一定义 502

18.6.2 外微分 503

18.7 探索类问题 506

第19章 含参变量积分 511

19.1 含参变量常义积分的定义与性质 511

19.1.1 含参变量积分的分析性质 511

19.1.2 含参变量积分典型例题 515

19.2 含参变量无穷积分的一致收敛 520

19.2.1 含参变量无穷积分的定义 521

19.2.2 含参变量无穷积分的一致收敛判定定理 521

19.2.3 含参变量无穷积分的连续性定理与应用 529

19.2.4 含参变量无穷积分的可积性定理与应用 533

19.2.5 含参变量无穷积分的可微性定理与应用 537

19.2.6 含参变量瑕积分结论概述与应用 540

19.3 提高课：欧拉积分与应用 545

19.3.1 Γ函数 545

19.3.2 B函数 547

19.3.3 欧拉积分与应用 550

19.4 探索类问题 551

参考文献 554