第一章 基础知识 1
1.1 偏微分方程基本概念 1
1.1.1 方程的分类 2
1.1.2 方程的特征线 3
1.1.3 方程组的分类 5
1.1.4 定解条件 7
1.2 矩阵的基本概念 8
1.3 矩阵重要性质与定理 11
1.3.1 三对角矩阵特征值 12
1.3.2 矩阵特征值估计及非奇异性判定 19
1.3.3 Schur定理 26
1.4 向量和矩阵的范数 28
1.4.1 矩阵范数与谱半径的关系 30
1.4.2 矩阵范数的估计 31
1.4.3 矩阵序列的收敛性 35
1.5 常用定理 37
1.5.1 实系数多项式的根 37
1.5.2 Newton-Cotes型数值积分公式 38
1.5.3 Green公式 39
1.6 练习 40
第二章 有限差分近似基础 43
2.1 网格及有限差分记号 43
2.2 空间导数近似 45
2.3 导数的算子表示 48
2.4 任意阶精度差分格式的建立 51
2.4.1 Taylor级数表 51
2.5 非均匀网格 54
2.6 Fourier误差分析 55
2.7 练习 59
第三章 紧致差分格式 60
3.1 差分近似的推广 60
3.2 各阶导数的紧致格式 63
3.2.1 一阶导数近似 63
3.2.2 二阶导数近似 64
3.2.3 三阶导数近似 65
3.2.4 四阶导数近似 65
3.3 交错网格上的紧致格式 66
3.3.1 一阶导数 66
3.3.2 二阶导数 66
3.4 联合一阶和二阶导数的紧致格式 67
3.4.1 系数对称 67
3.4.2 系数非对称 68
3.5 单边格式 69
3.6 练习 69
第四章 差分格式稳定性分析 71
4.1 收敛性 71
4.1.1 初值问题 71
4.1.2 初边值问题 73
4.2 相容性 75
4.2.1 初值问题 75
4.2.2 初边值问题 80
4.3 稳定性 84
4.4 Lax定理 88
4.5 稳定性分析方法 89
4.5.1 Fourier级数法（即von Neumann法） 90
4.5.2 矩阵分析法 100
4.6 练习 108
第五章 抛物型方程 111
5.1 一维常系数扩散方程 111
5.1.1 向前和向后差分格式 111
5.1.2 加权隐式格式 112
5.1.3 三层显式格式 113
5.1.4 三层隐式格式 115
5.1.5 预测-校正格式 116
5.1.6 不对称格式 117
5.2 对流扩散方程 120
5.2.1 FTCS格式 121
5.2.2 单元法 122
5.2.3 混合型格式 122
5.3 二维热传导方程 125
5.3.1 加权差分格式 125
5.3.2 Saul’yev不对称格式 126
5.3.3 Du Fort-Frankel格式 127
5.3.4 交替方向隐式（ADI）格式 128
5.3.5 局部一维（LOD）法 130
5.4 练习 131
第六章 双曲型方程 133
6.1 线性对流方程 133
6.1.1 迎风格式 133
6.1.2 Lax-Friedrichs格式 134
6.1.3 Lax-Wendroff格式 137
6.1.4 MacCormack格式 138
6.1.5 Wendroff隐式格式 139
6.1.6 Crank-Nicolson格式 140
6.2 特征线与差分格式 140
6.3 数值耗散和数值频散 144
6.3.1 偏微分方程的频散和耗散 144
6.3.2 差分格式的频散与耗散 145
6.4 一阶双曲型方程组 152
6.4.1 特征形式 152
6.4.2 差分格式 155
6.5 一阶二维双曲型方程 158
6.5.1 典型差分格式 158
6.5.2 交替方向隐式（ADI）格式 161
6.5.3 非线性方程 165
6.6 波动方程 166
6.6.1 一维波动方程 166
6.6.2 二维波动方程 173
6.7 练习 177
第七章 流体力学方程 179
7.1 流体力学的控制方程 179
7.2 二维非定常可压黏性流方程 183
7.2.1 Lax-Wendroff格式 183
7.2.2 MacCormack格式 184
7.3 二维非定常不可压黏性流 186
7.4 一维守恒律方程的差分格式 189
7.5 高分辨率格式 196
7.5.1 通量限制器法 197
7.5.2 斜率限制器法 200
7.6 守恒形式方程的矢通量分裂法 201
第八章 椭圆型方程 205
8.1 两点边值问题的差分格式 205
8.1.1 差分近似 206
8.1.2 有限体积法 207
8.2 基于变分原理的差分格式 210
8.2.1 基于Ritz方法的差分近似 213
8.2.2 基于Galerkin方法的差分近似 218
8.3 Laplace方程的五点差分格式 222
8.4 有限体积法 231
8.5 Poisson方程基于Ritz方法的差分格式 232
8.5.1 二维椭圆型边值问题的变分形式 232
8.5.2 差分格式推导 235
8.6 正三角形和正六边形网格 238
8.7 边界条件的处理 240
8.7.1 Dirichlet边界条件 240
8.7.2 Neumann边界条件 242
8.7.3 Robbins边界条件 244
8.8 差分格式的收敛性分析 247
8.9 极坐标下Poisson方程的差分格式 250
8.10 练习 256
第九章 有限元方法 258
9.1 Sobolev空间 258
9.2 迹定理 262
9.3 变分边值问题 264
9.3.1 边值问题的变分形式 264
9.3.2 解的存在性和唯一性 265
9.4 Galerkin方法 268
9.5 Galerkin近似解的误差与收敛性 270
9.6 Rayleigh-Ritz方法 273
9.7 有限元离散 274
9.7.1 一维问题 275
9.7.2 二维问题 278
9.7.3 三维问题 283
9.8 Hermite插值基函数 285
9.9 Gauss求积公式 288
9.9.1 一维求积公式 288
9.9.2 四边形单元求积公式 288
9.9.3 三角形单元求积公式 290
9.10 误差分析 292
9.10.1 二阶问题的误差 298
9.11 等参元和数值积分影响 299
9.11.1 等参变换 299
9.11.2 数值积分影响 301
第十章 边界元方法 302
10.1 位势问题 302
10.2 广义Green公式 303
10.3 Laplace方程的基本解 304
10.4 区域积分方程 306
10.5 边界积分方程 309
10.5.1 推导方法一 309
10.5.2 推导方法二 311
10.6 积分方程的离散 313
10.6.1 常数元 314
10.6.2 线性元 317
10.6.3 等参二次元 320
10.7 三维弹性问题 322
10.7.1 基本方程 322
10.7.2 区域积分方程 323
10.7.3 边界积分方程 325
10.7.4 积分方程的离散 327
第十一章 离散方程的求解 329
11.1 残量校正法 329
11.1.1 迭代格式 329
11.1.2 收敛性分析 330
11.1.3 迭代中止准则 333
11.2 基本迭代法 334
11.2.1 Jacobi迭代格式 335
11.2.2 Gauss-Seidel迭代格式 338
11.2.3 逐次超松弛（SOR）迭代格式 342
11.2.4 对称与反对称超松弛迭代格式 343
11.2.5 其他迭代格式 345
11.3 预条件迭代方法 348
11.3.1 预条件Richardson（PR）法 349
11.3.2 预条件Richardson极小残量（PRMR）法 352
11.3.3 预条件Richardson最速下降（PRSD）法 353
11.3.4 共轭梯度（CG）法 354
11.3.5 预条件共轭梯度（PCG）法 360
11.3.6 预条件子 361
11.4 Krylov子空间迭代方法 363
11.4.1 共轭梯度法方程残量（CGNR）法 363
11.4.2 共轭梯度法方程误差（CGNE）法 364
11.4.3 广义共轭残量（GCR）法 364
11.4.4 Orthodir方法 365
11.4.5 广义极小残量（GMRES）法 366
11.4.6 极小残量（MINRES）法 370
11.4.7 双共轭梯度（Bi-CG）法 374
11.4.8 拟极小残量（QMR）法 377
11.4.9 共轭梯度平方（CGS）法 378
11.4.10 双共轭梯度稳定化（BiCGSTAB）法 379
11.5 多重网格法 381
11.5.1 低频分量与高频分量 381
11.5.2 网格变换 381
11.5.3 粗网格校正 384
11.6 练习 386
参考文献 389
索引 392