科学计算中的偏微分方程数值解法PDF电子书下载

第一章 基础知识 1

1.1 偏微分方程基本概念 1

1.1.1 方程的分类 2

1.1.2 方程的特征线 3

1.1.3 方程组的分类 5

1.1.4 定解条件 7

1.2 矩阵的基本概念 8

1.3 矩阵重要性质与定理 11

1.3.1 三对角矩阵特征值 12

1.3.2 矩阵特征值估计及非奇异性判定 19

1.3.3 Schur定理 26

1.4 向量和矩阵的范数 28

1.4.1 矩阵范数与谱半径的关系 30

1.4.2 矩阵范数的估计 31

1.4.3 矩阵序列的收敛性 35

1.5 常用定理 37

1.5.1 实系数多项式的根 37

1.5.2 Newton-Cotes型数值积分公式 38

1.5.3 Green公式 39

1.6 练习 40

第二章 有限差分近似基础 43

2.1 网格及有限差分记号 43

2.2 空间导数近似 45

2.3 导数的算子表示 48

2.4 任意阶精度差分格式的建立 51

2.4.1 Taylor级数表 51

2.5 非均匀网格 54

2.6 Fourier误差分析 55

2.7 练习 59

第三章 紧致差分格式 60

3.1 差分近似的推广 60

3.2 各阶导数的紧致格式 63

3.2.1 一阶导数近似 63

3.2.2 二阶导数近似 64

3.2.3 三阶导数近似 65

3.2.4 四阶导数近似 65

3.3 交错网格上的紧致格式 66

3.3.1 一阶导数 66

3.3.2 二阶导数 66

3.4 联合一阶和二阶导数的紧致格式 67

3.4.1 系数对称 67

3.4.2 系数非对称 68

3.5 单边格式 69

3.6 练习 69

第四章 差分格式稳定性分析 71

4.1 收敛性 71

4.1.1 初值问题 71

4.1.2 初边值问题 73

4.2 相容性 75

4.2.1 初值问题 75

4.2.2 初边值问题 80

4.3 稳定性 84

4.4 Lax定理 88

4.5 稳定性分析方法 89

4.5.1 Fourier级数法（即von Neumann法） 90

4.5.2 矩阵分析法 100

4.6 练习 108

第五章 抛物型方程 111

5.1 一维常系数扩散方程 111

5.1.1 向前和向后差分格式 111

5.1.2 加权隐式格式 112

5.1.3 三层显式格式 113

5.1.4 三层隐式格式 115

5.1.5 预测-校正格式 116

5.1.6 不对称格式 117

5.2 对流扩散方程 120

5.2.1 FTCS格式 121

5.2.2 单元法 122

5.2.3 混合型格式 122

5.3 二维热传导方程 125

5.3.1 加权差分格式 125

5.3.2 Saul’yev不对称格式 126

5.3.3 Du Fort-Frankel格式 127

5.3.4 交替方向隐式（ADI）格式 128

5.3.5 局部一维（LOD）法 130

5.4 练习 131

第六章 双曲型方程 133

6.1 线性对流方程 133

6.1.1 迎风格式 133

6.1.2 Lax-Friedrichs格式 134

6.1.3 Lax-Wendroff格式 137

6.1.4 MacCormack格式 138

6.1.5 Wendroff隐式格式 139

6.1.6 Crank-Nicolson格式 140

6.2 特征线与差分格式 140

6.3 数值耗散和数值频散 144

6.3.1 偏微分方程的频散和耗散 144

6.3.2 差分格式的频散与耗散 145

6.4 一阶双曲型方程组 152

6.4.1 特征形式 152

6.4.2 差分格式 155

6.5 一阶二维双曲型方程 158

6.5.1 典型差分格式 158

6.5.2 交替方向隐式（ADI）格式 161

6.5.3 非线性方程 165

6.6 波动方程 166

6.6.1 一维波动方程 166

6.6.2 二维波动方程 173

6.7 练习 177

第七章 流体力学方程 179

7.1 流体力学的控制方程 179

7.2 二维非定常可压黏性流方程 183

7.2.1 Lax-Wendroff格式 183

7.2.2 MacCormack格式 184

7.3 二维非定常不可压黏性流 186

7.4 一维守恒律方程的差分格式 189

7.5 高分辨率格式 196

7.5.1 通量限制器法 197

7.5.2 斜率限制器法 200

7.6 守恒形式方程的矢通量分裂法 201

第八章 椭圆型方程 205

8.1 两点边值问题的差分格式 205

8.1.1 差分近似 206

8.1.2 有限体积法 207

8.2 基于变分原理的差分格式 210

8.2.1 基于Ritz方法的差分近似 213

8.2.2 基于Galerkin方法的差分近似 218

8.3 Laplace方程的五点差分格式 222

8.4 有限体积法 231

8.5 Poisson方程基于Ritz方法的差分格式 232

8.5.1 二维椭圆型边值问题的变分形式 232

8.5.2 差分格式推导 235

8.6 正三角形和正六边形网格 238

8.7 边界条件的处理 240

8.7.1 Dirichlet边界条件 240

8.7.2 Neumann边界条件 242

8.7.3 Robbins边界条件 244

8.8 差分格式的收敛性分析 247

8.9 极坐标下Poisson方程的差分格式 250

8.10 练习 256

第九章 有限元方法 258

9.1 Sobolev空间 258

9.2 迹定理 262

9.3 变分边值问题 264

9.3.1 边值问题的变分形式 264

9.3.2 解的存在性和唯一性 265

9.4 Galerkin方法 268

9.5 Galerkin近似解的误差与收敛性 270

9.6 Rayleigh-Ritz方法 273

9.7 有限元离散 274

9.7.1 一维问题 275

9.7.2 二维问题 278

9.7.3 三维问题 283

9.8 Hermite插值基函数 285

9.9 Gauss求积公式 288

9.9.1 一维求积公式 288

9.9.2 四边形单元求积公式 288

9.9.3 三角形单元求积公式 290

9.10 误差分析 292

9.10.1 二阶问题的误差 298

9.11 等参元和数值积分影响 299

9.11.1 等参变换 299

9.11.2 数值积分影响 301

第十章 边界元方法 302

10.1 位势问题 302

10.2 广义Green公式 303

10.3 Laplace方程的基本解 304

10.4 区域积分方程 306

10.5 边界积分方程 309

10.5.1 推导方法一 309

10.5.2 推导方法二 311

10.6 积分方程的离散 313

10.6.1 常数元 314

10.6.2 线性元 317

10.6.3 等参二次元 320

10.7 三维弹性问题 322

10.7.1 基本方程 322

10.7.2 区域积分方程 323

10.7.3 边界积分方程 325

10.7.4 积分方程的离散 327

第十一章 离散方程的求解 329

11.1 残量校正法 329

11.1.1 迭代格式 329

11.1.2 收敛性分析 330

11.1.3 迭代中止准则 333

11.2 基本迭代法 334

11.2.1 Jacobi迭代格式 335

11.2.2 Gauss-Seidel迭代格式 338

11.2.3 逐次超松弛（SOR）迭代格式 342

11.2.4 对称与反对称超松弛迭代格式 343

11.2.5 其他迭代格式 345

11.3 预条件迭代方法 348

11.3.1 预条件Richardson（PR）法 349

11.3.2 预条件Richardson极小残量（PRMR）法 352

11.3.3 预条件Richardson最速下降（PRSD）法 353

11.3.4 共轭梯度（CG）法 354

11.3.5 预条件共轭梯度（PCG）法 360

11.3.6 预条件子 361

11.4 Krylov子空间迭代方法 363

11.4.1 共轭梯度法方程残量（CGNR）法 363

11.4.2 共轭梯度法方程误差（CGNE）法 364

11.4.3 广义共轭残量（GCR）法 364

11.4.4 Orthodir方法 365

11.4.5 广义极小残量（GMRES）法 366

11.4.6 极小残量（MINRES）法 370

11.4.7 双共轭梯度（Bi-CG）法 374

11.4.8 拟极小残量（QMR）法 377

11.4.9 共轭梯度平方（CGS）法 378

11.4.10 双共轭梯度稳定化（BiCGSTAB）法 379

11.5 多重网格法 381

11.5.1 低频分量与高频分量 381

11.5.2 网格变换 381

11.5.3 粗网格校正 384

11.6 练习 386

参考文献 389

索引 392