第7章 插值法 1
7.1 Lagrange插值 1
7.1.1 插值问题 1
7.1.2 Lagrange插值多项式 3
7.1.3 插值余项的表达式 4
7.2 Newton插值 7
7.2.1 差商的定义及其性质 8
7.2.2 Newton插值公式 9
7.2.3 差分的定义及其性质 12
7.2.4 等距节点的Newton插值公式 14
7.3 Hermite插值与分段插值 17
7.3.1 Hermite插值 17
7.3.2 分段插值 20
7.4 三次样条插值 22
7.4.1 三次样条插值的定义 23
7.4.2 三次样条插值函数的构造方法 24
7.4.3 插值余项 31
习题7 32
第8章 数值积分和数值微分 35
8.1 数值求积公式的一般形式及其代数精度 35
8.1.1 数值求积公式的一般形式 35
8.1.2 求积公式的代数精度 36
8.2 Newton-Cotes公式 38
8.2.1 插值型求积公式 38
8.2.2 Newton-Cotes公式 39
8.2.3 复化求积公式 44
8.3 Romberg算法 47
8.4 Gauss型求积公式 50
8.4.1 一般理论 50
8.4.2 几种Gauss型求积公式 55
8.5 数值微分 61
8.5.1 插值型求导公式 61
8.5.2 利用三次样条插值函数求数值导数 64
习题8 65
第9章 常微分方程的数值解法 67
9.1 概述 67
9.1.1 常微分方程初值问题 67
9.1.2 建立数值解法的基本思想与途径 69
9.1.3 数值方法的截断误差与阶 72
9.2 Runge-Kutta方法 75
9.2.1 二阶Runge-Kutta方法 75
9.2.2 四阶Runge-Kutta方法 77
9.3 收敛性、稳定性与误差控制 79
9.3.1 收敛性 79
9.3.2 稳定性 81
9.3.3 误差控制 83
9.4 一阶方程组与高阶方程 84
9.4.1 一阶方程组 84
9.4.2 高阶方程 86
9.5 边值问题的差分解法 87
9.5.1 线性方程边值问题的差分格式 88
9.5.2 其他边界条件的讨论 95
9.5.3 非线性方程边值问题 95
习题9 96
第10章 数理方程基本概念 98
10.1 二阶线性偏微分方程的分类 98
10.1.1 偏微分方程的基本概念 98
10.1.2 二阶线性偏微分方程的分类 99
10.1.3 二阶线性偏微分方程的标准形式 101
10.1.4 两个自变量时化为标准形式的变换 103
10.2 典型二阶线性偏微分方程的建立 108
10.2.1 振动过程与波动方程 108
10.2.2 热传导方程 113
10.2.3 稳定状态与Laplaee方程、Poisson方程 117
10.3 定解条件与定解问题的提法 118
10.3.1 定解条件的数学表示 118
10.3.2 定解问题的提法 122
10.3.3 定解问题的适定性 124
习题10 124
第11章 定解问题的分离变量解法 126
11.1 一维齐次方程、齐次边界条件混合问题的分离变量解法 127
11.1.1 分离变量法 127
11.1.2 广义解概念 131
11.1.3 级数解的物理意义 133
11.1.4 热传导方程混合问题的分离变量解法 133
11.1.5 各种齐次边界条件下的固有值与固有函数系 135
11.2 非齐次方程及非齐次边界条件的处理 142
11.2.1 固有函数法 142
11.2.2 非齐次边界条件的齐次化 147
11.3 某些区域上二维Laplace方程的分离变量解法 151
11.3.1 矩形域上Laplace方程的边值问题 151
11.3.2 圆域上Laplace方程的边值问题 154
11.4 特殊函数在分离变量法中的应用 157
11.4.1 Legendre多项式的应用 157
11.4.2 Sturm-Liouville方程的固有值问题 161
11.4.3 Bessel函数及其应用 162
习题11 169
第12章 解定解问题的其他方法 173
12.1 波动方程的D'Alembert解法 173
12.1.1 一维波动方程Cauchy问题的解 173
12.1.2 三维波动方程的Poisson公式 180
12.1.3 二维波动方程的Poisson公式 184
12.1.4 高维波动方程解的物理意义 185
12.2 积分变换法 186
12.2.1 积分变换概念 187
12.2.2 Fourier变换及其性质 187
12.2.3 Laplace变换及其性质 190
12.2.4 定解问题的积分变换解法 194
12.3 Green函数法 199
12.3.1 调和函数的性质 199
12.3.2 Laplace方程第一边值问题的Green函数 203
12.3.3 球域的Green函数和Poisson积分公式 205
12.3.4 解半空间上第一边值问题的Green函数法 207
12.3.5 二维情形 209
习题12 210
第13章 偏微分方程的数值解法 213
13.1 椭圆型方程的差分解法 213
13.1.1 差分格式的构成 213
13.1.2 差分方程解的存在惟一性 217
13.1.3 收敛性与误差估计 220
13.1.4 一般二阶椭圆型方程第三边值问题的差分格式 223
13.2 抛物型方程的差分解法 224
13.2.1 古典差分格式的构成 225
13.2.2 差分格式的稳定性 230
13.2.3 差分格式的收敛性 234
13.2.4 二维热传导方程的交替方向格式 234
13.3 双曲型方程的差分解法 237
13.3.1 三层显格式 237
13.3.2 三层隐格式 239
13.4 有限元方法 240
13.4.1 变分原理 240
13.4.2 区域剖分 244
13.4.3 面单元分析 244
13.4.4 线单元分析 249
13.4.5 总体合成与基本方程组 250
习题13 255
附录1 Jn（x）（n=0,1,2,…,5）的正零点μ(n)（i=1,2,…,9）的近似值 257
附录2 Fourier变换与Laplace变换简表 258
附录3 习题参考答案 261
参考文献 270