序言 1
第一章 复变解析函数 1
1.1 虚数的产生，i的引入 1
1.2 复数及其几何表示 3
1°.复数概念 3
2°.复数在平面上的表示 6
3°.无穷远点 11
4°.复数在球面上的表示 12
5°.球极平面投影变换公式 14
习题(1.1) 15
1.3 平面点集 17
1°.邻域和开集合 18
2°.凝聚点、孤立点 18
3°.两集合间的距离、集合的直径 19
4°.B.-W.定理、H.-B.定理 19
5°.Jordan 曲线 21
6°.区域 22
1.4 复变函数 23
1°.函数概念 24
2°.极限 27
3°.连续性 30
4°.一致连续性 32
1°.导数 33
1.5 解析函数与 C.-R.方程 33
2°.解析函数 34
3°.C.-R.方程 35
习题(1.2) 40
第二章 初等复变函数 42
2.1 初等代数函数和初等超越函数 43
1°.代数函数和代数显函数 43
2°.超越函数和初等超越函数 44
2.2 单叶解析函数 45
2.3 幂函数 w=zn 与根式函数 45
1°.幂函数 w=zn，n 为正整数 45
2°.根式函数 w=?，z≠0,n 为大于1的整数 48
3°.函数 w=1/z 51
2.4 函数 w=z2+1/2z及其反函数 54
2.5 指数函数与对数函数 57
1°.指数函数 ez 57
2°.对数函数 Lnz 60
2.6 三角函数和反三角函数 64
1°.三角函数 64
2°.反三角函数 68
3°.双曲函数与反双曲函数 69
2.7 一般的指数函数和幂函数 71
1°.任意指数的幂 71
3°.一般的幂函数 zμ,z≠0,μ 是任意的复数 73
2°.一般的指数函数 az,a≠0 73
习题(2.1) 75
第三章 复变函数积分和 Cauchy 理论 77
3.1 复变函数积分及其基本性质 77
1°.复变函数积分概念和基本性质 77
2°.复变函数积分的计算举例 82
习题(3.1) 85
3.2 Cauchy 积分定理 86
1°.Cauchy 积分定理及其 Goursat 证明 87
2°.Cauchy 定理(复连通区域的情形) 96
3°.不定积分 98
4°.再论对数函数的定义 101
1°.Cauchy 积分公式(边唯一性定理) 104
3.3 Cauchy 积分公式 104
2°.Cauchy 积分公式的推论 107
3°.Cauchy 积分公式的推广 108
4°.最大模原理 109
3.4 高阶导函数的存在 111
1°.解析函数的无穷可微性 111
2°.Morera 定理及 Goursat 定理 114
3°.Cauchy 不等式与 Liouville 定理 115
4°.代数基本定理的证明 116
习题(3.2) 117
1°.常数项级数 120
第四章 解析函数的级数表达式 120
4.1 函数项级数的基本性质 120
2°.函数项级数的一致收敛性 122
3°.Weierstrass 定理 123
4.2 解析函数的幂级数表达式 126
1°.幂级数和 Abel 定理 126
2°.幂级数的收敛半径 127
3°.幂级数和函数的解析性 129
4°.解析函数的幂级数展开式和唯一性 130
5°.解析函数展开成幂级数的方法举例 135
4.3 用多项式逼近函数 138
1°.解析函数用多项式来逼近 139
2°.解析函数的封闭性 141
3°.关于解析函数的等价定义 142
4.4 内部唯一性定理、零点的孤立性 142
1°.解析函数内部唯一性定理 143
2°.解析函数零点的孤立性 146
习题(4.1) 148
4.5 解析函数的 Laurent 级数表达式 151
1°.Laurent 级数 151
2°.解析函数的 Laurent 展开式 153
3°.函数在无穷远点的 Laurent 展开式 157
1°.孤立奇点的分类 158
4.6 解析函数在其孤立奇点邻域内的性质 158
2°.解析函数在孤立奇点邻域的性质 160
3°.有理函数的奇点 165
4.7 整函数与亚纯函数 167
1°.整函数 167
2°.亚纯函数 171
习题(4.2) 173
第五章 留数理论与应用 175
5.1 留数基本定理 175
1°.函数在有限远点的留数 175
2°.留数基本定理 182
3°.函数在无穷远点的留数 184
习题(5.1) 186
5.2 围道积分 187
1°.形如?R(x)ｄx 的积分的计算 188
2°.形如?R(sinx,cosx)ｄx 的积分的计算 192
3°.形如?R(x)eimxｄx(m＞0)的积分的计算 194
5.3 辐角原理、Rouché 定理 198
1°.对数留数 198
2°.辐角原理 200
3°.Rouché 定理 202
4°.Rouché 定理的应用 204
习题(5.2) 206
6.1 共形映射概念 209
第六章 共形映射 209
1°.解析函数的保域性 210
2°.导函数的模与辐角的几何意义 211
3°.共形映射概念 213
4°.共形映射与解析函数之间的关系 214
5°.第二类共形映射 216
6.2 单叶解析函数的映射性质 219
1°.共形保域性 219
2°.反函数的存在及其解析性 220
3°.几个初等函数所构成的共形映射 223
1°.共形映射的基本问题 226
6.3 Riemann 映射定理 226
2°.Riemann 映射定理 227
3°.边界对应定理 228
6.4 分式线性映射 230
1°.分式线性映射的共形性 230
2°.分式线性映射的保圆性和对称点的不变性 233
3°.唯一确定分式线性映射的条件 236
4°.某些典型区域的共形映射 239
1)上半平面到上半平面的共形映射 240
2)上半平面到单位圆内部的映射 240
3)单位圆域到单位圆域的共形映射 241
4)圆域△R={z：|z|＜R}变到单位圆域△1={z：|z|＜1}的共形映射 242
习题(6.1) 245
1°.复合映射 246
6.5 简单区域间的共形映射举例 246
2°.简单区域间的共形映射举例 250
习题(6.2) 255
第七章 解析开拓与初等多值函数 257
7.1 解析开拓 258
1°.解析开拓概念 258
2°.来自实轴上的解析开拓 261
3°.解析开拓的幂级数方法 264
4°.沿连续曲线的解析开拓 266
5°.奇点和自然边界 267
1°.Painlevé 原理 268
7.2 对称原理 268
2°.对称原理 270
7.3 多角形映射 277
1°.Schwarz-Christoffel 公式 277
2°.两种特殊情况 280
3°.Schwarz-Christoffel 公式的证明 282
7.4 初等多值函数 286
1°.多值函数概念 286
2°.支点和支割线 288
7.5 Riemann 面 290
习题(7.1) 296
8.1 调和函数 298
第八章 复变函数理论在其他领域上的应用 298
1°.调和函数与解析函数的关系 299
2°.Poisson 积分与调和函数的基本性质 301
3°.Laplace 方程的边值问题 306
8.2 复变解析函数的物理意义和应用 311
1°.复势 312
1)平面场 312
2)环流量与复速度 313
3)源(汇)点、涡点 315
4)复势 316
2°.共形映射在求流动复势时的作用 317
3°.飞机翼断面的绕流问题及升力的计算 319
附录Ⅰ 多复变函数 326
1°.基本定义 326
2°.多复变解析函数概念 327
3°.Cauchy 积分公式 328
4°.幂级数 329
5°.Taylor 级数 331
附录Ⅱ 复数域的函数逼近 334
Ⅱ.1 解析函数的逼近 336
1°.用有理函数逼近有理函数的逼近 336
2°.Runge 定理 340
Ⅱ.2 多项式插值 347