复变函数教程PDF电子书下载

序言 1

第一章 复变解析函数 1

1.1 虚数的产生，i的引入 1

1.2 复数及其几何表示 3

1°.复数概念 3

2°.复数在平面上的表示 6

3°.无穷远点 11

4°.复数在球面上的表示 12

5°.球极平面投影变换公式 14

习题(1.1) 15

1.3 平面点集 17

1°.邻域和开集合 18

2°.凝聚点、孤立点 18

3°.两集合间的距离、集合的直径 19

4°.B.-W.定理、H.-B.定理 19

5°.Jordan 曲线 21

6°.区域 22

1.4 复变函数 23

1°.函数概念 24

2°.极限 27

3°.连续性 30

4°.一致连续性 32

1°.导数 33

1.5 解析函数与 C.-R.方程 33

2°.解析函数 34

3°.C.-R.方程 35

习题(1.2) 40

第二章 初等复变函数 42

2.1 初等代数函数和初等超越函数 43

1°.代数函数和代数显函数 43

2°.超越函数和初等超越函数 44

2.2 单叶解析函数 45

2.3 幂函数 w=zn 与根式函数 45

1°.幂函数 w=zn，n 为正整数 45

2°.根式函数 w=?，z≠0,n 为大于1的整数 48

3°.函数 w=1/z 51

2.4 函数 w=z2+1/2z及其反函数 54

2.5 指数函数与对数函数 57

1°.指数函数 ez 57

2°.对数函数 Lnz 60

2.6 三角函数和反三角函数 64

1°.三角函数 64

2°.反三角函数 68

3°.双曲函数与反双曲函数 69

2.7 一般的指数函数和幂函数 71

1°.任意指数的幂 71

3°.一般的幂函数 zμ,z≠0,μ 是任意的复数 73

2°.一般的指数函数 az,a≠0 73

习题(2.1) 75

第三章 复变函数积分和 Cauchy 理论 77

3.1 复变函数积分及其基本性质 77

1°.复变函数积分概念和基本性质 77

2°.复变函数积分的计算举例 82

习题(3.1) 85

3.2 Cauchy 积分定理 86

1°.Cauchy 积分定理及其 Goursat 证明 87

2°.Cauchy 定理(复连通区域的情形) 96

3°.不定积分 98

4°.再论对数函数的定义 101

1°.Cauchy 积分公式(边唯一性定理) 104

3.3 Cauchy 积分公式 104

2°.Cauchy 积分公式的推论 107

3°.Cauchy 积分公式的推广 108

4°.最大模原理 109

3.4 高阶导函数的存在 111

1°.解析函数的无穷可微性 111

2°.Morera 定理及 Goursat 定理 114

3°.Cauchy 不等式与 Liouville 定理 115

4°.代数基本定理的证明 116

习题(3.2) 117

1°.常数项级数 120

第四章 解析函数的级数表达式 120

4.1 函数项级数的基本性质 120

2°.函数项级数的一致收敛性 122

3°.Weierstrass 定理 123

4.2 解析函数的幂级数表达式 126

1°.幂级数和 Abel 定理 126

2°.幂级数的收敛半径 127

3°.幂级数和函数的解析性 129

4°.解析函数的幂级数展开式和唯一性 130

5°.解析函数展开成幂级数的方法举例 135

4.3 用多项式逼近函数 138

1°.解析函数用多项式来逼近 139

2°.解析函数的封闭性 141

3°.关于解析函数的等价定义 142

4.4 内部唯一性定理、零点的孤立性 142

1°.解析函数内部唯一性定理 143

2°.解析函数零点的孤立性 146

习题(4.1) 148

4.5 解析函数的 Laurent 级数表达式 151

1°.Laurent 级数 151

2°.解析函数的 Laurent 展开式 153

3°.函数在无穷远点的 Laurent 展开式 157

1°.孤立奇点的分类 158

4.6 解析函数在其孤立奇点邻域内的性质 158

2°.解析函数在孤立奇点邻域的性质 160

3°.有理函数的奇点 165

4.7 整函数与亚纯函数 167

1°.整函数 167

2°.亚纯函数 171

习题(4.2) 173

第五章 留数理论与应用 175

5.1 留数基本定理 175

1°.函数在有限远点的留数 175

2°.留数基本定理 182

3°.函数在无穷远点的留数 184

习题(5.1) 186

5.2 围道积分 187

1°.形如?R(x)ｄx 的积分的计算 188

2°.形如?R(sinx,cosx)ｄx 的积分的计算 192

3°.形如?R(x)eimxｄx(m＞0)的积分的计算 194

5.3 辐角原理、Rouché 定理 198

1°.对数留数 198

2°.辐角原理 200

3°.Rouché 定理 202

4°.Rouché 定理的应用 204

习题(5.2) 206

6.1 共形映射概念 209

第六章 共形映射 209

1°.解析函数的保域性 210

2°.导函数的模与辐角的几何意义 211

3°.共形映射概念 213

4°.共形映射与解析函数之间的关系 214

5°.第二类共形映射 216

6.2 单叶解析函数的映射性质 219

1°.共形保域性 219

2°.反函数的存在及其解析性 220

3°.几个初等函数所构成的共形映射 223

1°.共形映射的基本问题 226

6.3 Riemann 映射定理 226

2°.Riemann 映射定理 227

3°.边界对应定理 228

6.4 分式线性映射 230

1°.分式线性映射的共形性 230

2°.分式线性映射的保圆性和对称点的不变性 233

3°.唯一确定分式线性映射的条件 236

4°.某些典型区域的共形映射 239

1)上半平面到上半平面的共形映射 240

2)上半平面到单位圆内部的映射 240

3)单位圆域到单位圆域的共形映射 241

4)圆域△R={z：|z|＜R}变到单位圆域△1={z：|z|＜1}的共形映射 242

习题(6.1) 245

1°.复合映射 246

6.5 简单区域间的共形映射举例 246

2°.简单区域间的共形映射举例 250

习题(6.2) 255

第七章 解析开拓与初等多值函数 257

7.1 解析开拓 258

1°.解析开拓概念 258

2°.来自实轴上的解析开拓 261

3°.解析开拓的幂级数方法 264

4°.沿连续曲线的解析开拓 266

5°.奇点和自然边界 267

1°.Painlevé 原理 268

7.2 对称原理 268

2°.对称原理 270

7.3 多角形映射 277

1°.Schwarz-Christoffel 公式 277

2°.两种特殊情况 280

3°.Schwarz-Christoffel 公式的证明 282

7.4 初等多值函数 286

1°.多值函数概念 286

2°.支点和支割线 288

7.5 Riemann 面 290

习题(7.1) 296

8.1 调和函数 298

第八章 复变函数理论在其他领域上的应用 298

1°.调和函数与解析函数的关系 299

2°.Poisson 积分与调和函数的基本性质 301

3°.Laplace 方程的边值问题 306

8.2 复变解析函数的物理意义和应用 311

1°.复势 312

1)平面场 312

2)环流量与复速度 313

3)源(汇)点、涡点 315

4)复势 316

2°.共形映射在求流动复势时的作用 317

3°.飞机翼断面的绕流问题及升力的计算 319

附录Ⅰ 多复变函数 326

1°.基本定义 326

2°.多复变解析函数概念 327

3°.Cauchy 积分公式 328

4°.幂级数 329

5°.Taylor 级数 331

附录Ⅱ 复数域的函数逼近 334

Ⅱ.1 解析函数的逼近 336

1°.用有理函数逼近有理函数的逼近 336

2°.Runge 定理 340

Ⅱ.2 多项式插值 347