第一篇 复变函数论 1
第一章 复数与复变函数 2
第一节 复数 2
1.1.1.复数域 2
1.1.2.复平面 3
1.1.3.复数的模与幅角 4
1.1.4.复数的乘幂与方根 6
第二节 复变函数的基本概念 8
1.2.1.区域与约当曲线 8
1.2.2.复变函数的概念 11
1.2.3.复变函数的极限与连续性 12
第三节 复球面与无穷远点 14
1.3.1.复球面 14
1.3.2.闭平面上的几个概念 15
习题 16
2.1.1.导数的定义 19
第二章 解析函数 19
第一节 解析函数的概念及哥西-黎曼条件 19
2.1.2.哥西-黎曼条件 20
2.1.3.解析函数的定义 24
第二节 解析函数与调和函数的关系 24
2.2.1.共轭调和函数的求法 24
2.2.2.共轭调和函数的几何意义 26
第三节 初等解析函数 28
2.3.1.初等单值函数 28
2.3.2.初等多值函数 31
习题 38
第三章 哥西定理 哥西积分 41
第一节 复变积分的概念及其简单性质 41
3.1.1.复变积分的定义及其计算方法 41
3.1.2.复变积分的简单性质 44
3.2.1.哥西积分定理 45
第二节 哥西积分定理及其推广 45
3.2.2.不定积分 46
3.2.3.哥西积分定理推广到复围线的情形 48
第三节 哥西积分公式及其推广 51
3.3.1.哥西积分公式 51
3.3.2.解析函数的无限次可微性 53
3.3.3.模的最大值原理 哥西不等式 刘维尔定理 摩勒纳定理 55
3.4.1.什么叫平面场 57
第四节 解析函数在平面场中的应用 57
3.4.2.复位势 58
3.4.3.举例 60
习题 64
第四章 解析函数的幂级数表示 66
第一节 函数项级数的基本性质 66
4.1.1.数项级数 66
4.1.2.一致收敛的函数项级数 68
4.2.1.幂级数的敛散性 72
第二节 幂级数与解析函数 72
4.2.2.解析函数的幂级数表示 76
第三节 罗朗级数 81
4.3.1.双边幂级数的收敛圆环 81
4.3.2.解析函数的罗朗展式 82
4.3.3.罗朗展式举例 85
第四节 单值函数的孤立奇点 89
4.4.1.孤立奇点的三种类型 89
4.4.2.可去奇点 90
4.4.3.极点 91
4.4.4.本性奇点 93
4.4.5.解析函数在无穷远点的性质 93
习题 96
第五章 残数及其应用 99
第一节 残数 99
5.1.1.残数的定义及残数定理 100
5.1.2.残数的求法 101
5.1.3.无穷远点的残数 104
第二节 利用残数计算实积分 106
5.2.1.∫2π0 R(cosθ，sinθ)dθ 的计算 106
5.2.2.∫∞(-∞)f(x)dx 的计算 109
5.2.3.实轴上有奇点的情形 113
5.2.4.其他例子 115
习题 120
第六章 保角变换 123
第一节 解析变换的特性 123
6.1.1.单叶变换 123
6.1.2.解析函数的保角性 125
6.1.3.拉普拉斯算符的变换 126
第二节 线性变换 128
6.2.1.几种最简单的保角变换 128
6.2.2.线性变换 130
6.2.3.线性变换的保圆周性 132
6.2.4.线性变换的保对称点性 133
6.2.5.线性变换的应用 134
第三节 某些初等函数所构成的变换 137
6.3.1.幂函数与根式函数 137
6.3.2.指数函数与对数函数 139
习题 142
第二篇 数学物理方程 144
第七章 一维波动方程的付氏解 145
第一节 一维波动方程——弦振动方程的建立 145
7.1.1.弦振动方程的建立 145
7.1.2.定解条件的提出 147
第二节 齐次方程混合问题的付里叶解法(分离变量法，驻波法) 149
7.2.1.利用分离变量法求解齐次弦振动方程的混合问题 149
7.2.2.付氏解的物理意义 155
第三节 电报方程 157
第四节 强迫振动 非齐次方程的求解 160
习题 163
8.1.1.热传导方程的建立 166
第一节 热传导方程和扩散方程的建立 166
第八章 热传导方程的付氏解 166
8.1.2.扩散方程的建立 168
8.1.3.定解条件 170
第二节 混合问题的付氏解法 171
第三节 初值问题的付氏解法 173
8.3.1.付氏积分 173
8.3.2.利用付氏积分解热传导方程的初值问题 175
8.3.3.付氏解的物理意义 178
第四节 一端有界的热传导问题 181
8.4.1.定解问题的解 181
8.4.2.举例 183
8.4.3.杜赫美原则 187
习题 191
第九章 拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解 193
第一节 圆的狄利克雷问题 193
9.1.1.定解问题的提法 193
9.1.2.定解问题的付氏解法 194
第二节 δ函数 198
9.2.1.δ函数的引入 198
9.2.2.δ函数的性质 199
9.2.3.把δ函数看作是弱收敛函数序列的弱极限 201
9.2.4.高维空间中的δ函数及δ函数的其他性质 203
习题 205
第十章 波动方程的达朗贝尔解 208
第一节 弦振动方程初值问题的达朗贝尔解法 208
10.1.1.达朗贝尔解的推出 208
10.1.2.达朗贝尔解的物理意义 210
10.1.3.举例 211
10.1.4.依赖区间 决定区域和影响区域 213
第二节 高维波动方程 215
10.2.1.三维波动方程的初值问题 215
10.2.2.降维法 217
10.2.3.解的物理意义 218
10.3.1.非齐次波动方程的初值问题 220
第三节 非齐次波动方程 推迟势 220
10.3.2.非线性方程 222
习题 224
第十一章 数学物理方程的解的积分公式 227
第一节 格林公式 调和函数的基本性质 227
11.1.1.球对称解 227
11.1.2.格林公式 228
11.1.3.调和函数的基本性质 229
第二节 拉普拉斯方程的球的狄利克雷问题 236
11.2.1.边值问题的提法 236
11.2.2.球的狄利克雷问题 236
11.2.3.狄利克雷外问题 240
第三节 格林函数 241
11.3.1.格林函数的定义 241
11.3.2.举例 244
11.3.3.格林函数的对称性 246
11.3.4.保角变换法 248
第四节 泊松方程 249
11.4.1.泊松方程的导出 249
11.4.2.泊松方程的狄利克雷问题 250
习题 252
第十二章 定解问题的适定性 254
第一节 弦振动方程的初值问题的适定性 255
第二节 弦振动方程混合问题的适定性 257
12.2.1.解的存在性 257
12.2.2.能量积分和解的唯一性 259
第三节 狄利克雷问题的适定性 262
12.2.1.解的唯一性 262
12.3.2.解的稳定性 263
第四节 热传导方程混合问题的适定性 264
12.4.1.极值原理 264
12.4.2.解的唯一性 266
12.4.3.解的稳定性 266
12.5.1.解的唯一性和稳定性 267
第五节 热传导方程初值问题的适定性 267
12.5.2.解的存在性 269
第六节 拉普拉斯方程狄利克雷问题的解的唯一性 271
12.6.1.三维空间狄利克雷外问题解的唯一性 271
12.6.2.二维空间狄利克雷外问题解的唯一性 272
第七节 定解问题不适定之例 273
12.7.1.不适定问题举例 273
12.7.2.对不适定问题的研究 275
第八节 三类方程的比较 277
12.8.1.关于定解问题的提法 277
12.8.2.关于解的性质 277
12.8.3.关于时间的反演 279
习题 281
第十三章 付里叶变换 283
第一节 付氏变换的定义及其基本性质 283
13.1.1.付氏变换的定义 283
13.1.2.付氏变换的基本性质 284
13.1.3.n 维付氏变换 287
13.1.4.δ函数的付氏变换 287
第二节 用付氏变换解数理方程举例 288
第三节 基本解 290
13.3.1.基本解的物理意义 290
13.3.2.基本解的定义 292
13.3.3.非定常型非齐次方程的基本解 300
习题 301
第十四章 拉普拉斯变换 303
第一节 拉氏变换的定义和它的逆变换 303
14.1.1.付氏变换与拉氏变换 303
14.1.2.拉氏变换的定义 304
14.1.3.拉氏变换的存在定理和反演定理 305
第二节 拉氏变换的基本性质及其应用举例 308
第三节 展开定理 320
14.3.1.展开定理 320
14.3.2.用反演公式解数理方程举例 322
习题 326
第三篇 特殊函数 329
第十五章 勒让德多项式 球函数 330
第一节 勒让德微分方程及勒让德多项式 330
15.1.1.勒让德微分方程的导出 330
15.1.2.幂级数解和勒让德多项式的定义 332
15.1.3.勒让德多项式的微分表达式——洛德利格公式 338
15.1.4.勒让德多项式的施列夫利积分表达式 339
第二节 勒让德多项式的母函数及其递推公式 340
15.2.1.勒让德多项式的母函数 340
15.2.2.勒让德多项式的递推公式 342
第三节 按勒让德多项式展开 344
15.3.1.勒让德多项式的正交性 344
15.2.2.勒让德多项式的归一性 344
15.3.3.展开定理的叙述 346
15.4.1.连带勒让德多项式的定义 347
第四节 连带勒让德多项式 347
15.4.2.连带勒让德多项式的正交性和归一性 348
第五节 拉普拉斯方程在球形区域上的狄利克雷问题 349
15.5.1.利用连带勒让德多项式 Pmn(x)得出方程(15.1)′的解 350
15.5.2.确定出定解问题(15.1)′和(15.2)′的解 350
公式表 352
习题 353
第十六章 贝塞耳函数 柱函数 355
第一节 贝塞耳微分方程及贝塞耳函数 355
16.1.1.贝塞耳微分方程的导出 355
16.1.2.幂级数解和贝塞耳函数的定义 356
第二节 贝塞耳函数的母函数及其递推公式 360
16.2.1.贝塞耳函数的母函数 360
16.2.2.贝塞耳函数的积分表达式 361
16.2.3.贝塞耳函数的递推公式 362
16.2.4.半奇数阶贝塞耳函数 363
16.3.1.贝塞耳函数的零点 366
第三节 按贝塞耳函数展开 366
16.3.2.贝塞耳函数的正交性 367
16.3.3.贝塞耳函数的归一性 368
16.3.4.展开定理的叙述 369
16.3.5.圆膜振动问题 369
第四节 第二类和第三类贝塞耳函数 371
16.4.1.第二类贝塞耳函数 371
16.4.2.第三类贝塞耳函数 374
16.4.3.球贝塞耳函数 375
第五节 变形(或虚变量)贝塞耳函数和贝塞耳函数的渐近公式 376
16.5.1.变形贝塞耳函数 376
16.5.2.贝塞耳函数的渐近公式 379
16.5.3.可以化为贝塞耳方程的微分方程 382
公式表 382
习题 385
第一节 厄密多项式 388
17.1.1.厄密微分方程的导出 388
第十七章 厄密多项式和拉盖尔多项式 388
17.1.2.幂级数解和厄密多项式的定义 389
17.1.3.厄密多项式的母函数 390
17.1.4.厄密多项式的正交性和归一性 391
第二节 拉盖尔多项式 392
17.2.1.拉盖尔微分方程的导出 392
17.2.2.幂级数解和拉盖尔多项式的定义 393
17.2.3.拉盖尔多项式的母函数 394
17.3.1.特征值和特征函数的概念 396
17.2.4.拉盖尔多项式的正交性和归一性 396
第三节 特征值和特征函数 396
17.3.2.特征值和特征函数的性质 397
17.3.3.斯图谟-刘维尔型微分方程边值问题的例子 398
习题 399
附录 400
付里叶变换表 400
拉普拉斯变换表 401
外国人名表 404