高等数学（数学物理方法）（物理类专业用）（第二版）第四册PDF电子书下载

第一篇 复变函数论 1

第一章 复数与复变函数 2

第一节 复数 2

1.1.1.复数域 2

1.1.2.复平面 3

1.1.3.复数的模与幅角 4

1.1.4.复数的乘幂与方根 6

第二节 复变函数的基本概念 8

1.2.1.区域与约当曲线 8

1.2.2.复变函数的概念 11

1.2.3.复变函数的极限与连续性 12

第三节 复球面与无穷远点 14

1.3.1.复球面 14

1.3.2.闭平面上的几个概念 15

习题 16

2.1.1.导数的定义 19

第二章 解析函数 19

第一节 解析函数的概念及哥西-黎曼条件 19

2.1.2.哥西-黎曼条件 20

2.1.3.解析函数的定义 24

第二节 解析函数与调和函数的关系 24

2.2.1.共轭调和函数的求法 24

2.2.2.共轭调和函数的几何意义 26

第三节 初等解析函数 28

2.3.1.初等单值函数 28

2.3.2.初等多值函数 31

习题 38

第三章 哥西定理 哥西积分 41

第一节 复变积分的概念及其简单性质 41

3.1.1.复变积分的定义及其计算方法 41

3.1.2.复变积分的简单性质 44

3.2.1.哥西积分定理 45

第二节 哥西积分定理及其推广 45

3.2.2.不定积分 46

3.2.3.哥西积分定理推广到复围线的情形 48

第三节 哥西积分公式及其推广 51

3.3.1.哥西积分公式 51

3.3.2.解析函数的无限次可微性 53

3.3.3.模的最大值原理 哥西不等式 刘维尔定理 摩勒纳定理 55

3.4.1.什么叫平面场 57

第四节 解析函数在平面场中的应用 57

3.4.2.复位势 58

3.4.3.举例 60

习题 64

第四章 解析函数的幂级数表示 66

第一节 函数项级数的基本性质 66

4.1.1.数项级数 66

4.1.2.一致收敛的函数项级数 68

4.2.1.幂级数的敛散性 72

第二节 幂级数与解析函数 72

4.2.2.解析函数的幂级数表示 76

第三节 罗朗级数 81

4.3.1.双边幂级数的收敛圆环 81

4.3.2.解析函数的罗朗展式 82

4.3.3.罗朗展式举例 85

第四节 单值函数的孤立奇点 89

4.4.1.孤立奇点的三种类型 89

4.4.2.可去奇点 90

4.4.3.极点 91

4.4.4.本性奇点 93

4.4.5.解析函数在无穷远点的性质 93

习题 96

第五章 残数及其应用 99

第一节 残数 99

5.1.1.残数的定义及残数定理 100

5.1.2.残数的求法 101

5.1.3.无穷远点的残数 104

第二节 利用残数计算实积分 106

5.2.1.∫2π0 R(cosθ，sinθ)dθ 的计算 106

5.2.2.∫∞(-∞)f(x)dx 的计算 109

5.2.3.实轴上有奇点的情形 113

5.2.4.其他例子 115

习题 120

第六章 保角变换 123

第一节 解析变换的特性 123

6.1.1.单叶变换 123

6.1.2.解析函数的保角性 125

6.1.3.拉普拉斯算符的变换 126

第二节 线性变换 128

6.2.1.几种最简单的保角变换 128

6.2.2.线性变换 130

6.2.3.线性变换的保圆周性 132

6.2.4.线性变换的保对称点性 133

6.2.5.线性变换的应用 134

第三节 某些初等函数所构成的变换 137

6.3.1.幂函数与根式函数 137

6.3.2.指数函数与对数函数 139

习题 142

第二篇 数学物理方程 144

第七章 一维波动方程的付氏解 145

第一节 一维波动方程——弦振动方程的建立 145

7.1.1.弦振动方程的建立 145

7.1.2.定解条件的提出 147

第二节 齐次方程混合问题的付里叶解法(分离变量法，驻波法) 149

7.2.1.利用分离变量法求解齐次弦振动方程的混合问题 149

7.2.2.付氏解的物理意义 155

第三节 电报方程 157

第四节 强迫振动 非齐次方程的求解 160

习题 163

8.1.1.热传导方程的建立 166

第一节 热传导方程和扩散方程的建立 166

第八章 热传导方程的付氏解 166

8.1.2.扩散方程的建立 168

8.1.3.定解条件 170

第二节 混合问题的付氏解法 171

第三节 初值问题的付氏解法 173

8.3.1.付氏积分 173

8.3.2.利用付氏积分解热传导方程的初值问题 175

8.3.3.付氏解的物理意义 178

第四节 一端有界的热传导问题 181

8.4.1.定解问题的解 181

8.4.2.举例 183

8.4.3.杜赫美原则 187

习题 191

第九章 拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解 193

第一节 圆的狄利克雷问题 193

9.1.1.定解问题的提法 193

9.1.2.定解问题的付氏解法 194

第二节 δ函数 198

9.2.1.δ函数的引入 198

9.2.2.δ函数的性质 199

9.2.3.把δ函数看作是弱收敛函数序列的弱极限 201

9.2.4.高维空间中的δ函数及δ函数的其他性质 203

习题 205

第十章 波动方程的达朗贝尔解 208

第一节 弦振动方程初值问题的达朗贝尔解法 208

10.1.1.达朗贝尔解的推出 208

10.1.2.达朗贝尔解的物理意义 210

10.1.3.举例 211

10.1.4.依赖区间 决定区域和影响区域 213

第二节 高维波动方程 215

10.2.1.三维波动方程的初值问题 215

10.2.2.降维法 217

10.2.3.解的物理意义 218

10.3.1.非齐次波动方程的初值问题 220

第三节 非齐次波动方程 推迟势 220

10.3.2.非线性方程 222

习题 224

第十一章 数学物理方程的解的积分公式 227

第一节 格林公式 调和函数的基本性质 227

11.1.1.球对称解 227

11.1.2.格林公式 228

11.1.3.调和函数的基本性质 229

第二节 拉普拉斯方程的球的狄利克雷问题 236

11.2.1.边值问题的提法 236

11.2.2.球的狄利克雷问题 236

11.2.3.狄利克雷外问题 240

第三节 格林函数 241

11.3.1.格林函数的定义 241

11.3.2.举例 244

11.3.3.格林函数的对称性 246

11.3.4.保角变换法 248

第四节 泊松方程 249

11.4.1.泊松方程的导出 249

11.4.2.泊松方程的狄利克雷问题 250

习题 252

第十二章 定解问题的适定性 254

第一节 弦振动方程的初值问题的适定性 255

第二节 弦振动方程混合问题的适定性 257

12.2.1.解的存在性 257

12.2.2.能量积分和解的唯一性 259

第三节 狄利克雷问题的适定性 262

12.2.1.解的唯一性 262

12.3.2.解的稳定性 263

第四节 热传导方程混合问题的适定性 264

12.4.1.极值原理 264

12.4.2.解的唯一性 266

12.4.3.解的稳定性 266

12.5.1.解的唯一性和稳定性 267

第五节 热传导方程初值问题的适定性 267

12.5.2.解的存在性 269

第六节 拉普拉斯方程狄利克雷问题的解的唯一性 271

12.6.1.三维空间狄利克雷外问题解的唯一性 271

12.6.2.二维空间狄利克雷外问题解的唯一性 272

第七节 定解问题不适定之例 273

12.7.1.不适定问题举例 273

12.7.2.对不适定问题的研究 275

第八节 三类方程的比较 277

12.8.1.关于定解问题的提法 277

12.8.2.关于解的性质 277

12.8.3.关于时间的反演 279

习题 281

第十三章 付里叶变换 283

第一节 付氏变换的定义及其基本性质 283

13.1.1.付氏变换的定义 283

13.1.2.付氏变换的基本性质 284

13.1.3.n 维付氏变换 287

13.1.4.δ函数的付氏变换 287

第二节 用付氏变换解数理方程举例 288

第三节 基本解 290

13.3.1.基本解的物理意义 290

13.3.2.基本解的定义 292

13.3.3.非定常型非齐次方程的基本解 300

习题 301

第十四章 拉普拉斯变换 303

第一节 拉氏变换的定义和它的逆变换 303

14.1.1.付氏变换与拉氏变换 303

14.1.2.拉氏变换的定义 304

14.1.3.拉氏变换的存在定理和反演定理 305

第二节 拉氏变换的基本性质及其应用举例 308

第三节 展开定理 320

14.3.1.展开定理 320

14.3.2.用反演公式解数理方程举例 322

习题 326

第三篇 特殊函数 329

第十五章 勒让德多项式 球函数 330

第一节 勒让德微分方程及勒让德多项式 330

15.1.1.勒让德微分方程的导出 330

15.1.2.幂级数解和勒让德多项式的定义 332

15.1.3.勒让德多项式的微分表达式——洛德利格公式 338

15.1.4.勒让德多项式的施列夫利积分表达式 339

第二节 勒让德多项式的母函数及其递推公式 340

15.2.1.勒让德多项式的母函数 340

15.2.2.勒让德多项式的递推公式 342

第三节 按勒让德多项式展开 344

15.3.1.勒让德多项式的正交性 344

15.2.2.勒让德多项式的归一性 344

15.3.3.展开定理的叙述 346

15.4.1.连带勒让德多项式的定义 347

第四节 连带勒让德多项式 347

15.4.2.连带勒让德多项式的正交性和归一性 348

第五节 拉普拉斯方程在球形区域上的狄利克雷问题 349

15.5.1.利用连带勒让德多项式 Pmn(x)得出方程(15.1)′的解 350

15.5.2.确定出定解问题(15.1)′和(15.2)′的解 350

公式表 352

习题 353

第十六章 贝塞耳函数 柱函数 355

第一节 贝塞耳微分方程及贝塞耳函数 355

16.1.1.贝塞耳微分方程的导出 355

16.1.2.幂级数解和贝塞耳函数的定义 356

第二节 贝塞耳函数的母函数及其递推公式 360

16.2.1.贝塞耳函数的母函数 360

16.2.2.贝塞耳函数的积分表达式 361

16.2.3.贝塞耳函数的递推公式 362

16.2.4.半奇数阶贝塞耳函数 363

16.3.1.贝塞耳函数的零点 366

第三节 按贝塞耳函数展开 366

16.3.2.贝塞耳函数的正交性 367

16.3.3.贝塞耳函数的归一性 368

16.3.4.展开定理的叙述 369

16.3.5.圆膜振动问题 369

第四节 第二类和第三类贝塞耳函数 371

16.4.1.第二类贝塞耳函数 371

16.4.2.第三类贝塞耳函数 374

16.4.3.球贝塞耳函数 375

第五节 变形(或虚变量)贝塞耳函数和贝塞耳函数的渐近公式 376

16.5.1.变形贝塞耳函数 376

16.5.2.贝塞耳函数的渐近公式 379

16.5.3.可以化为贝塞耳方程的微分方程 382

公式表 382

习题 385

第一节 厄密多项式 388

17.1.1.厄密微分方程的导出 388

第十七章 厄密多项式和拉盖尔多项式 388

17.1.2.幂级数解和厄密多项式的定义 389

17.1.3.厄密多项式的母函数 390

17.1.4.厄密多项式的正交性和归一性 391

第二节 拉盖尔多项式 392

17.2.1.拉盖尔微分方程的导出 392

17.2.2.幂级数解和拉盖尔多项式的定义 393

17.2.3.拉盖尔多项式的母函数 394

17.3.1.特征值和特征函数的概念 396

17.2.4.拉盖尔多项式的正交性和归一性 396

第三节 特征值和特征函数 396

17.3.2.特征值和特征函数的性质 397

17.3.3.斯图谟-刘维尔型微分方程边值问题的例子 398

习题 399

附录 400

付里叶变换表 400

拉普拉斯变换表 401

外国人名表 404