第1章 引言 1
1.1概述 1
1.2启发例子 1
1.2.1例Ⅰ：复合材料中的稳态热传导问题 1
1.2.2例Ⅱ：对流扩散方程的均匀化 2
1.2.3例Ⅲ：平均化、均匀化及动力系统 4
1.2.4例Ⅳ：动力系统中降维 5
1.3平均化对均匀化 6
1.3.1线性系统的平均化 6
1.3.2线性系统的均匀化 7
1.4讨论和参考 9
第一部分 背景 13
第2章 分析 13
2.1结构 13
2.2记号 13
2.3 Banach空间和Hilbert空间 15
2.3.1 Banach空间 16
2.3.2 Hilbert空间 17
2.4函数空间 18
2.4.1连续函数空间 18
2.4.2 Lp空间 18
2.4.3 Sobolev空间 20
2.4.4 Banach空间值空间 22
2.4.5周期函数的Sobolev空间 23
2.5双尺度收敛 24
2.5.1稳态问题的双尺度收敛 24
2.5.2时变问题的双尺度收敛 27
2.6 Hilbert空间中的方程 28
2.6.1 Lax-Milgram定理 28
2.6.2 Fredholm性质 29
2.7讨论和参考 30
2.8练习 32
第3章 概率论和随机过程 34
3.1格局 34
3.2概率论、期望和条件期望 34
3.3随机过程 37
3.4鞅和随机积分 42
3.4.1鞅 42
3.4.2 Ito随机积分 44
3.4.3 Stratonovich随机积分 45
3.5概率测度的弱收敛 46
3.6讨论和参考 50
3.7练习 51
第4章 常微分方程 53
4.1格局 53
4.2存在性和唯一性 53
4.3生成子 56
4.4遍历性 59
4.5讨论和参考 64
4.6练习 65
第5章Markov链 66
5.1格局 66
5.2离散时间Markov链 66
5.3连续时间Markov链 67
5.4生成子 69
5.5存在唯一性 72
5.6遍历性 73
5.7讨论和参考 75
5.8练习 76
第6章 随机微分方程 77
6.1格局 77
6.2存在唯一性 77
6.3生成子 79
6.4遍历性 84
6.5讨论和参考 90
6.6练习 91
第7章 偏微分方程 93
7.1格局 93
7.2椭圆型偏微分方程 93
7.2.1 Dirichlet问题 94
7.2.2周期问题 96
7.2.3Fredholm性质 96
7.2.4极大值原理 102
7.3抛物型偏微分方程 103
7.3.1有界域 103
7.3.2极大值原理 104
7.3.3无界域：Cauchy问题 106
7.4双曲偏微分方程 106
7.5半群 109
7.6讨论和参考 110
7.7练习 111
第二部分 扰动展开 115
第8章 常微分方程的不变流形 115
8.1引言 115
8.2完全方程 115
8.3简化方程 116
8.4推导 117
8.5应用 118
8.5.1线性快速动力学 118
8.5.2长时间动力学 118
8.5.3中心流形 119
8.6讨论和参考 120
8.7练习 122
第9章Markov链的平均化 123
9.1引言 123
9.2完全方程 123
9.3简化方程 125
9.4推导 125
9.5应用 127
9.6讨论和参考 128
9.7练习 128
第10章 常微分方程和随机微分方程的平均化 130
10.1引言 130
10.2完全方程 130
10.3简化方程 131
10.4推导 131
10.5确定性问题 132
10.6应用 134
10.6.1不对称积随机微分方程 134
10.6.2 Hamiltonian原理 135
10.7讨论和参考 138
10.8练习 139
第11章 常微分方程、随机微分方程的均匀化 141
11.1引言 141
11.2完全方程 141
11.3简化方程 143
11.4推导 144
11.5简化方程的性质 146
11.6确定性问题 146
11.7应用 149
11.7.1快速Ornstein-Uhlenbeck噪声 149
11.7.2快速混沌噪声 152
11.7.3 Stratonovich修正 152
11.7.4 Stokes定理 154
11.7.5 Green-Kubo公式 156
11.7.6非Ito， Stratonovich情形 157
11.7.7 Levy面积修正 159
11.8讨论和参考 160
11.9练习 163
第12章 椭圆型偏微分方程的均匀化 165
12.1引言 165
12.2完全方程 165
12.3简化方程 166
12.4推导 167
12.5简化方程的性质 170
12.6应用 172
12.6.1一维情形 172
12.6.2层状材料 174
12.7讨论和参考 176
12.8练习 180
第13章 抛物型偏微分方程的均匀化 183
13.1引言 183
13.2完全方程 183
13.3简化方程 185
13.4推导 186
13.5简化方程的性质 187
13.6应用 189
13.6.1梯度向量场 189
13.6.2无散场 194
13.7随机微分方程的联系 200
13.8讨论和参考 201
13.9练习 203
第14章 线性双曲型和抛物型偏微分方程的平均化 206
14.1引言 206
14.2完全方程 206
14.3简化方程 207
14.4推导 208
14.5运输方程：D＝0 209
14.5.1一维例子 210
14.5.2无散度速度场 211
14.6常微分方程和随机微分方程的联系 212
14.7讨论和参考 214
14.8练习 214
第三部分 理 论 219
第15章 常微分方程的不变流形：收敛性定理 219
15.1引言 219
15.2定理 219
15.3证明 221
15.4讨论和参考 222
15.5练习 223
第16章Markov链的平均化：收敛性定理 224
16.1引言 224
16.2定理 224
16.3证明 225
16.4讨论和参考 226
16.5练习 226
第17章 随机微分方程的平均化：收敛性定理 228
17.1引言 228
17.2定理 228
17.3证明 229
17.4讨论和参考 231
17.5练习 232
第18章 随机微分方程的均匀化：收敛性定理 233
18.1引言 233
18.2定理 233
18.3证明 235
18.4讨论和参考 238
18.5练习 239
第19章 椭圆型偏微分方程的均匀化：收敛性定理 240
19.1引言 240
19.2定理 240
19.3证明：L2上的强收敛 241
19.4证明：H1上的强收敛 245
19.5讨论和参考 247
19.6练习 248
第20章 抛物型偏微分方程的均匀化：收敛性定理 250
20.1引言 250
20.2定理 250
20.3证明 251
20.4讨论和参考 254
20.5练习 254
第21章 线性双曲方程和抛物型偏微分方程的平均化：收敛性定理 256
21.1引言 256
21.2定理 256
21.3证明：D＞0 257
21.4证明：D＝0 259
21.5讨论和参考 261
21.6练习 261
参考文献 263
《现代数学译丛》已出版书目 284