第一章 整数之分解 1
1 整除性 1
2 素数及复合数 2
3 素数 3
4 整数之模 4
5 唯一分解定理 6
6 最大公因数及最小公倍数 7
7 逐步淘汰原则 9
8 一次不定方程之解 11
9 完全数 13
10 Mersenne 数及 Fermat 数 14
11 连乘积中素因数之方次数 15
12 整值多项式 17
13 多项式之分解 19
第二章 同馀式 22
1 定义 22
2 同馀式之基本性质 22
3 缩剩馀系 24
4 p2 可整除2p-1—1否? 25
5 ?(m)之讨论 28
6 同馀方程 30
7 孙子定理 32
8 高次同馀式 34
9 素数乘方为模之高次同馀方程 35
10 Wolstenholme 定理 37
第三章 二次剩馀 38
1 定义及 Euler 判别条件 38
2 计算法则 40
3 互逆定律 42
4 实际算法 46
5 二次同馀式之根数 48
6 Jacobi 符号 49
7 二项同馀式 52
8 原根及指数 54
9 缩系之构造 56
第四章 多项式之性质 66
1 多项式之整除性 66
2 唯一分解定理 68
3 同馀式 70
4 整系数多项式 72
5 以素数为模之多项式 73
6 若干关于分解之定理 75
7 重模同馀式 78
8 Fermat 定理之推广 79
9 对模 Ｐ 之不可化多项式 81
10 原根 82
11 总结 83
第五章 素数分布之概况 85
1 无穷大之阶 85
2 对数函数 86
3 引言 87
4 素数之个数无限 90
5 几乎全部整数皆非素数 93
6 Чебышев定理 94
7 Bertrand 假设 97
8 以积分来估计和之数值 100
9 Чебышев定理之推论 103
10 n 之素因子的个数 108
11 表素数之函数 111
12 等差级数中之素数问题 112
第六章 数论函数 115
1 数论函数举例 115
2 积性函数之性质 117
3 M?bius 反转公式 118
4 M?bius 变换 121
5 除数函数 124
6 关于概率之二定理 127
7 表整数为二平方之和 129
8 分部求和法及分部积分法 135
9 圆内整点问题 137
10 Farey 贯及其应用 140
11 Виноградов 关于函数的分数部分和的估值定理 145
12 Виноградов定理对整点问题之应用 149
13 ？-结果 153
14 Dirichlet 级数 159
15 Lambert 级数 162
第七章 三角和及特征 164
1 剩馀系之表示法 164
2 特征函数 166
3 特征之分类 172
4 特征和 175
5 Gauss 和 178
6 特征和与三角和 185
7 由完整和到不完整和 186
8 特征和 p∑(x=1)((x2+ax+b)/p)之应用举例 190
9 原根之分布问题 193
10 含多项式之三角和 196
1 引言 202
第八章 与椭圆模函数有关的几个数论问题 202
2 整数分拆 203
3 Jacobi 等式 204
4 分式表示法 209
5 分拆之图解法 211
6 p(n)之估值 214
7 平方和问题 220
8 密率 226
9 关于平方和问题之总结 232
第九章 素数定理 234
1 引言 234
2 Riemann? 函数 236
3 若干引理 239
4 Tauber 型定理 242
5 素数定理 246
6 Selberg 渐近公式 248
7 素数定理的初等证明 250
8 Dirichlet 定理 258
第十章 渐近法与连分数 264
1 简单连分数 264
2 连分数展开之唯一性 268
3 最佳渐近分数 271
4 Hurwitz 定理 272
5 实数之相似 275
6 循环连分数 280
7 Legendre 之判断条件 282
8 二次不定方程 284
9 Pell 氏方程 286
10 Чебышев定理及Хинчин定理 289
11 一致分布及n?(m？d1)之一致分布性 293
12 一致分布之判断条件 295
第十一章 不定方程 301
1 引言 301
2 一次不定方程 301
3 二次不定方程 303
4 解 axy2+bxy+cy2=κ 304
5 求解方法 309
6 商高 定理之推广 313
7 Fermat 猜测 318
8 Mapков方程 320
9 解方程 x3+y3+z3+w3=0 322
10 三次曲面之有理点 326
第十二章 二元二次型 334
1 二元二次型之分类 334
2 类数有限 336
3 Kronecker 符号 339
4 二次型表整数之表法数 341
5 二次型的 mod q 相似 343
6 二次型的特征系.族 348
7 级数 K(d)之收敛性 350
8 双曲扇形及椭圆内的整点数 352
9 平均极限 353
10 类数的解析表示法 356
11 基本判别式 356
12 类数公式 357
13 Pell 氏方程的最小解 361
14 若干引理 364
15 Siegel 定理 366
第十三章 模变换 372
1 复虚数平面 372
2 线性变换之性质 373
3 线性变换下之几何性质 376
4 实变换 377
5 模变换 382
6 基域 383
7 基域网 387
8 模群之构造 388
9 二次定正型 389
10 二次不定型 390
11 二次不定型的极小值 393
第十四章 整数矩阵及其应用 398
1 引言 398
2 矩阵之积 404
3 模方阵之演出元素 410
4 左结合 414
5 不变因子.初等因子 416
6 应用 419
7 因子分解.标准素方阵 420
8 最大公约.最小公倍 425
9 线性模 429
第十五章 p-adic 数 435
1 引言 435
2 赋值之定义 438
3 赋值之分类 440
4 亚几米得赋值 442
5 非亚几米得赋值 443
6 有理数之？-扩张 446
7 扩张之完整性 450
8 p-adic 数之表示法 452
9 应用 456
1 代数数 458
第十六章 代数数论介绍 458
2 代数数域 460
3 基底 462
4 整底 466
5 整除性 470
6 理想数 474
7 理想数的唯一分解定理 476
8 理想数的基底 481
9 同馀关系 483
10 素理想数 484
11 单位数 489
12 理想数类 490
13 二次域与二次型 492
14 族 497
15 欧几里得域与单域 499
16 判断 Mersenne 数是否素数之 Lucas 条件 501
17 不定方程 503
18 表 509
第十七章 代数数与超越数 529
1 超越数之存在定理 529
2 Liouville 定理及超越数例子 531
3 代数数的有理逼近定理 533
4 Roth 定理之应用 553
5 Thue 定理之应用 555
6 e 之超越性 558
7 π 之超越性 561
8 Hilbert 第七问题 563
9 Гельфонд之证明 566
2 g(k) 及 G(k) 之下限 569
1 引言 569
第十八章 Waring 问题及 Prouhet-Tarry 问题 569
3 Cauchy 定理 571
4 初等方法示例 574
5 有正负号之较易问题 578
6 等幂和问题 580
7 Prouhet-Tarry 问题 582
8 续 586
第十九章 Шнирельман密率 588
1 密率之定义及其历史 588
2 和集及其密率 589
3 Гольдбах-Шниреман 定理 592
4 Selberg 不等式 593
5 Гольдбах-Шниреман 定理之证明 599
6 Waring-Hilbert 定理 603
7 Waring-Hilbert 定理的证明 605
第二十章 数的几何 609
1 二维空间之情况 609
2 Minkowski 之基本定理 612
3 一次线性式 613
4 二次定正型 615
5 线性型之乘积 617
6 联立渐近法 619
7 Minkowski 不等式 620
8 线性型之乘方平均值 627
9 Чеботарев定理 629
10 在代数数论上的应用 631
11 ？△？的极小值 634
参考书目 639
名词索引 641