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第一章 整数之分解 1

1 整除性 1

2 素数及复合数 2

3 素数 3

4 整数之模 4

5 唯一分解定理 6

6 最大公因数及最小公倍数 7

7 逐步淘汰原则 9

8 一次不定方程之解 11

9 完全数 13

10 Mersenne 数及 Fermat 数 14

11 连乘积中素因数之方次数 15

12 整值多项式 17

13 多项式之分解 19

第二章 同馀式 22

1 定义 22

2 同馀式之基本性质 22

3 缩剩馀系 24

4 p2 可整除2p-1—1否? 25

5 ?(m)之讨论 28

6 同馀方程 30

7 孙子定理 32

8 高次同馀式 34

9 素数乘方为模之高次同馀方程 35

10 Wolstenholme 定理 37

第三章 二次剩馀 38

1 定义及 Euler 判别条件 38

2 计算法则 40

3 互逆定律 42

4 实际算法 46

5 二次同馀式之根数 48

6 Jacobi 符号 49

7 二项同馀式 52

8 原根及指数 54

9 缩系之构造 56

第四章 多项式之性质 66

1 多项式之整除性 66

2 唯一分解定理 68

3 同馀式 70

4 整系数多项式 72

5 以素数为模之多项式 73

6 若干关于分解之定理 75

7 重模同馀式 78

8 Fermat 定理之推广 79

9 对模 Ｐ 之不可化多项式 81

10 原根 82

11 总结 83

第五章 素数分布之概况 85

1 无穷大之阶 85

2 对数函数 86

3 引言 87

4 素数之个数无限 90

5 几乎全部整数皆非素数 93

6 Чебышев定理 94

7 Bertrand 假设 97

8 以积分来估计和之数值 100

9 Чебышев定理之推论 103

10 n 之素因子的个数 108

11 表素数之函数 111

12 等差级数中之素数问题 112

第六章 数论函数 115

1 数论函数举例 115

2 积性函数之性质 117

3 M?bius 反转公式 118

4 M?bius 变换 121

5 除数函数 124

6 关于概率之二定理 127

7 表整数为二平方之和 129

8 分部求和法及分部积分法 135

9 圆内整点问题 137

10 Farey 贯及其应用 140

11 Виноградов 关于函数的分数部分和的估值定理 145

12 Виноградов定理对整点问题之应用 149

13 ？-结果 153

14 Dirichlet 级数 159

15 Lambert 级数 162

第七章 三角和及特征 164

1 剩馀系之表示法 164

2 特征函数 166

3 特征之分类 172

4 特征和 175

5 Gauss 和 178

6 特征和与三角和 185

7 由完整和到不完整和 186

8 特征和 p∑(x=1)((x2+ax+b)/p)之应用举例 190

9 原根之分布问题 193

10 含多项式之三角和 196

1 引言 202

第八章 与椭圆模函数有关的几个数论问题 202

2 整数分拆 203

3 Jacobi 等式 204

4 分式表示法 209

5 分拆之图解法 211

6 p(n)之估值 214

7 平方和问题 220

8 密率 226

9 关于平方和问题之总结 232

第九章 素数定理 234

1 引言 234

2 Riemann? 函数 236

3 若干引理 239

4 Tauber 型定理 242

5 素数定理 246

6 Selberg 渐近公式 248

7 素数定理的初等证明 250

8 Dirichlet 定理 258

第十章 渐近法与连分数 264

1 简单连分数 264

2 连分数展开之唯一性 268

3 最佳渐近分数 271

4 Hurwitz 定理 272

5 实数之相似 275

6 循环连分数 280

7 Legendre 之判断条件 282

8 二次不定方程 284

9 Pell 氏方程 286

10 Чебышев定理及Хинчин定理 289

11 一致分布及n?(m？d1)之一致分布性 293

12 一致分布之判断条件 295

第十一章 不定方程 301

1 引言 301

2 一次不定方程 301

3 二次不定方程 303

4 解 axy2+bxy+cy2=κ 304

5 求解方法 309

6 商高 定理之推广 313

7 Fermat 猜测 318

8 Mapков方程 320

9 解方程 x3+y3+z3+w3=0 322

10 三次曲面之有理点 326

第十二章 二元二次型 334

1 二元二次型之分类 334

2 类数有限 336

3 Kronecker 符号 339

4 二次型表整数之表法数 341

5 二次型的 mod q 相似 343

6 二次型的特征系.族 348

7 级数 K(d)之收敛性 350

8 双曲扇形及椭圆内的整点数 352

9 平均极限 353

10 类数的解析表示法 356

11 基本判别式 356

12 类数公式 357

13 Pell 氏方程的最小解 361

14 若干引理 364

15 Siegel 定理 366

第十三章 模变换 372

1 复虚数平面 372

2 线性变换之性质 373

3 线性变换下之几何性质 376

4 实变换 377

5 模变换 382

6 基域 383

7 基域网 387

8 模群之构造 388

9 二次定正型 389

10 二次不定型 390

11 二次不定型的极小值 393

第十四章 整数矩阵及其应用 398

1 引言 398

2 矩阵之积 404

3 模方阵之演出元素 410

4 左结合 414

5 不变因子.初等因子 416

6 应用 419

7 因子分解.标准素方阵 420

8 最大公约.最小公倍 425

9 线性模 429

第十五章 p-adic 数 435

1 引言 435

2 赋值之定义 438

3 赋值之分类 440

4 亚几米得赋值 442

5 非亚几米得赋值 443

6 有理数之？-扩张 446

7 扩张之完整性 450

8 p-adic 数之表示法 452

9 应用 456

1 代数数 458

第十六章 代数数论介绍 458

2 代数数域 460

3 基底 462

4 整底 466

5 整除性 470

6 理想数 474

7 理想数的唯一分解定理 476

8 理想数的基底 481

9 同馀关系 483

10 素理想数 484

11 单位数 489

12 理想数类 490

13 二次域与二次型 492

14 族 497

15 欧几里得域与单域 499

16 判断 Mersenne 数是否素数之 Lucas 条件 501

17 不定方程 503

18 表 509

第十七章 代数数与超越数 529

1 超越数之存在定理 529

2 Liouville 定理及超越数例子 531

3 代数数的有理逼近定理 533

4 Roth 定理之应用 553

5 Thue 定理之应用 555

6 e 之超越性 558

7 π 之超越性 561

8 Hilbert 第七问题 563

9 Гельфонд之证明 566

2 g(k) 及 G(k) 之下限 569

1 引言 569

第十八章 Waring 问题及 Prouhet-Tarry 问题 569

3 Cauchy 定理 571

4 初等方法示例 574

5 有正负号之较易问题 578

6 等幂和问题 580

7 Prouhet-Tarry 问题 582

8 续 586

第十九章 Шнирельман密率 588

1 密率之定义及其历史 588

2 和集及其密率 589

3 Гольдбах-Шниреман 定理 592

4 Selberg 不等式 593

5 Гольдбах-Шниреман 定理之证明 599

6 Waring-Hilbert 定理 603

7 Waring-Hilbert 定理的证明 605

第二十章 数的几何 609

1 二维空间之情况 609

2 Minkowski 之基本定理 612

3 一次线性式 613

4 二次定正型 615

5 线性型之乘积 617

6 联立渐近法 619

7 Minkowski 不等式 620

8 线性型之乘方平均值 627

9 Чеботарев定理 629

10 在代数数论上的应用 631

11 ？△？的极小值 634

参考书目 639

名词索引 641