第一章 函数与极限 1
§1．1 函数 1
一、区间、绝对值、邻域 1
二、函数定义 2
三、函数的记号 3
四、函数的表示法 4
五、函数的几种特性 4
六、反函数 6
七、基本初等函数 7
八、复合函数与初等函数 11
九、建立函数关系式举例 13
习题1-1 14
§1．2 函数的极限 16
一、数列的极限 16
习题1-2(1) 22
二、函数的极限 23
三、无穷小与无穷大 29
习题1-2(2) 32
一、函数连续性的定义 34
§1．3 函数的连续性 34
二、函数的间断点 35
三、初等函数的连续性 36
四、闭区间上连续函数的性质 38
习题1-3 39
§2．1 导数的概念 40
一、引例 40
第二章 导数与微分 40
二、导数的定义 41
三、用定义求导举例 42
四、导数的几何意义 43
五、函数可导性与连续性的关系 44
习题2-1 45
§2．2 导数的运算法则 45
一、函数和的导数 45
二、函数积的导数 46
三、函数商的导数 47
习题2-(1) 48
四、复古函数的导数 49
五、反函数的导数 50
六、导数公式及求导法则 52
习题2-2(2) 53
七、高阶导数 54
八、隐函数的导数 55
九、参数方程所确定函数的导数 57
习题2-2(3) 58
§2．3 函数的微分 60
一、微分的概念 61
二、微分的几何意义 62
三、微分的求法 63
四、微分形式的不变性，复合函数的微分法 64
五、微分在近似计算中的应用 64
习题2-3 65
第三章 中值定理与导数应用 67
§3．1 微分中值定理 67
习题3-1 71
§3．2 罗必达法则 72
习题3-2 75
§3．3 函数的增减性和极值 76
习题3-3 80
§3．4 函数的最大值与最小值 81
习题3-4 82
§3．5 曲线的凹凸与拐点 83
习题3-5 85
§3．6 函数图形的描绘 85
习题3-6 87
§3．7 曲线的曲率 88
习题3-7 91
§3．8 泰勒公式 92
习题3-8 95
第四章 不定积分 97
§4．1 原函数与不定积分 97
一、原函数与不定积分的概念 97
二、不定积分的性质 99
三、基本积分公式 100
四、直接积分法 101
习题4-1 102
§4．2 换元积分法 103
一、第一类换元法(凑微分法) 103
习题4-2(1) 107
二、第二类换元法 108
习题4-2(2) 112
§4．3 分部积分法 113
习题4-3 115
一、有理函数的积分 116
§4．4 有理函数及三角函数有理式的积分 116
二、三角函数有理式的积分 119
习题4-4 121
第五章 定积分 123
§5．1 定积分的概念 123
一、引例 123
二、定积分的定义 124
三、定积分的几何意义 126
习题5-1 127
§5．2 定积分的性质 128
习题5-2 130
§5．3 牛顿—莱布尼兹(Newton-Leibnlz)公式 131
一、积分上限函数及其导数 131
二、牛顿—莱布尼兹公式 132
习题5-3 133
§5．4 定积分的换元法与分部积分法 134
一、定积分的换元法 134
习题5-4(1) 137
二、定积分的分部积分法 138
习题5-4(2) 140
§5．5 定积分的近似计算 140
一、矩形法 140
二、二梯形法 141
三、抛物线法 141
习题5-5 143
§5．6 广义积分 143
一、无穷区间上的广义积分 143
二、无界函数的广义积分 145
习题5-6 146
§6．1 定积分的元素法 147
第六章 定积分的应用 147
§6．2 平面图形的面积 148
一、直角坐标系中平面图形面积的计算 148
二、极坐标系中平面图形面积的计算 151
习题6-2 153
§6．3 立体的体积 153
一、旋转体的体积 153
二、平行截面面积为已知的立体的体积 155
一、直角坐标系中平面曲线的弧长 156
习题6-3 156
§6．4 平面曲线的弧长 156
二、极坐标系中平面曲线的弧长 157
习题6-4 158
§6．5 定积分在物理上的应用 158
一、变力所作的功 158
二、液体的侧压力 160
习题6-5 161
§7．1 微分方程的基本概念 163
第七章 微分方程 163
习题7-1 165
§7．2 可分离变量的一阶微分方程 166
一、已分离变量的方程 166
二、可分离变量的方程 166
习题7-2 167
§7．3 齐次微分方程 168
习题7-3 171
§7．4 一阶线性微分方程 171
习题7-4 175
§7．5 可降阶的高阶微分方程 176
一、y~(n)=f(x)型 176
二、y~″＝f(x，y′)型 177
三、y″=f(y，y′)型 179
习题7-5 179
§7．6 高阶线性微分方程及其解的结构 180
一、二阶线性微分方程举例 180
二、二阶齐次线性微分方程解的性质及通解结构 181
习题7-6 183
三、二阶非齐次线性微分方程解的性质及解的结构 183
§7．7 二阶常系数齐次线性微分方程 184
习题7-7 188
§7．8 二阶常系数非齐次线性微分方程 188
一、f(x)＝e?P_m(x)型 188
二、f(x)=e?[P_m(x)cosωx+P_(x)sinωx]型 190
习题7-8 192
一、空间点的直角坐标 194
§8．1 空间直角坐标系 194
第八章 空间解析几何 194
二、空间两点间的距离 195
习题8-1 196
§8．2 向量的概念与线性运算 196
一、向量的概念 196
二、向量的加减注 197
三、向量与数的乘法 198
§8．3 向量的坐标 199
一、向量在轴上的投影与投影定理 199
习题8-2 199
二、向量的坐标表示与向量的分量 200
三、向量的模和方向余弦的坐标表示 202
习题8-3 204
§8．4 数量积与向量积 204
一、两向量的数量积 204
二、两向量的向量积 206
习题8-4 209
§8．5 平面 209
二、平面的一般方程 210
一、平面的点法式方程 210
三、平面的截距式方程 212
四、两平面的位置关系 212
习题8-5 213
§8．6 直线 214
一、空间直线的一般方程 214
二、空间直线的点向式方程和参数方程 214
三、直线与直线的位置关系 216
四、平面与直线的位置关系 217
习题8-6 219
五、点到平面的距离 219
§8．7 曲面与曲线 221
一、图形和方程 221
二、二次曲面 223
三、空间曲线 226
四、空间曲线在坐标面上的投影 227
习题8-7 228
第九章 多元函数微分学 229
§9．1 多元函数的基本概念 229
一、多元函数概念 229
二、二元函数的极限 231
三、二元函数的连续性 232
习题9-1 232
§9．2 偏导数 233
一、偏导数的定义及其计算法 233
二、高阶偏导数 235
习题9-2 236
§9．3 全微分及其应用 237
一、全微分的定义 237
习题9-3 239
二、全微分在近似计算中的应用 239
§9．4 复合函数的求导法则 240
习题9-4 243
§9．5 隐函数的微分法 243
习题9-5 245
§9．6 微分法在几何上的应用 245
一、空间曲线的切线与法平面 245
二、曲面的切平面与法线 247
一、极值及其求法 249
§9．7 多元函数的极值 249
习题9-6 249
二、函数的最大值与最小值 250
三、条件极值 拉格朗日乘数法 251
习题9-7 253
第十章 重积分 254
§10．1 二重积分的概念与性质 254
一、二重积分的概念 254
习题10-1 256
二、二重积分的性质 256
§10．2 二重积分的计算法 257
一、利用直角坐标计算二重积分 257
习题10-2(1) 261
二、利用极坐标计算二重积分 261
习题10-2(2) 264
§10．3 二重积分的应用 264
一、曲面的面积 265
二、平面薄板的重心 266
三、平面薄板的转动惯量 267
习题10-3 268
§10．4 三重积分的概念及其计算法 268
一、三重积分概念 268
二、利用直角坐标计算三重积分 269
三、利用柱面坐标计算三重积分 270
四、利用球面坐标计算三重积分 271
五、三重积分的应用 272
习题10-4 274
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 275
§11．1 对弧长的曲线积分 275
第十一章 曲线积分与曲面积分 275
二、对弧长的曲线积分的计算法 276
习题11-1 277
§11．2 对坐标的曲线积分 278
一、对坐标的曲线积分的概念与性质 278
二、对坐标的曲线积分的计算法 279
§11．3 格林公式及其应用 282
一、格林公式 282
习题11-2 282
二、平面上曲线积分与路径无关的条件 285
三、二元函数的全微分求积 286
习题11-3 288
§11．4 对面积的曲面积分 289
一、对面积的曲面积分的概念与性质 289
二、对面积的曲积分的计算法 290
习题11-4 291
§11．5 对坐标的曲面积分 292
一、对坐标的曲面积分的概念与性制 292
二、对坐标的曲面积分的计算法 294
§11．6 高斯(Gauss)公式 296
习题11-5 296
习题11-6 298
第十二章 无穷级数 299
§12．1 常数项级数的概念和性质 299
一、常数项级数的概念 299
二、无穷级数的基本性质 301
习题12-1 302
一、正项级数的审敛法 303
§12．2 常数项级数的审敛法 303
二、交错级数及其散性的判别法 307
三、任意项数的敛散性 308
习题12-2 308
§12．3 幂级数 309
一、函数项级数的一般概念 309
二、幂级数及其敛散性 310
三、幂级数的运算 312
习题12-3 313
§12．4 函数展开为幂级数 314
习题12-4 318
§12．5 函数幂级数展开式的应用 319
一、函数值的近似计算 319
二、定积分值的近似计算 319
三、微分方程的幂级数解法 320
四、欧拉公式 320
§12．6 付里叶Fourier级数 321
一、三角级数、三角函数系的正交性 321
习题12-5 321
二、函数的付里叶级数 322
习题12-6 325
§12．7 正弦级数和余弦级数 326
一、奇函数和偶函数的付里叶级数 326
二、函数展开成为正弦级数或余弦级数 327
习题12-7 328
§12．8 周期为2ι的周期函数的付里叶级数 328
习题12-8 329
习题答案 330