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第一章 函数与极限 1

§1．1 函数 1

一、区间、绝对值、邻域 1

二、函数定义 2

三、函数的记号 3

四、函数的表示法 4

五、函数的几种特性 4

六、反函数 6

七、基本初等函数 7

八、复合函数与初等函数 11

九、建立函数关系式举例 13

习题1-1 14

§1．2 函数的极限 16

一、数列的极限 16

习题1-2(1) 22

二、函数的极限 23

三、无穷小与无穷大 29

习题1-2(2) 32

一、函数连续性的定义 34

§1．3 函数的连续性 34

二、函数的间断点 35

三、初等函数的连续性 36

四、闭区间上连续函数的性质 38

习题1-3 39

§2．1 导数的概念 40

一、引例 40

第二章 导数与微分 40

二、导数的定义 41

三、用定义求导举例 42

四、导数的几何意义 43

五、函数可导性与连续性的关系 44

习题2-1 45

§2．2 导数的运算法则 45

一、函数和的导数 45

二、函数积的导数 46

三、函数商的导数 47

习题2-(1) 48

四、复古函数的导数 49

五、反函数的导数 50

六、导数公式及求导法则 52

习题2-2(2) 53

七、高阶导数 54

八、隐函数的导数 55

九、参数方程所确定函数的导数 57

习题2-2(3) 58

§2．3 函数的微分 60

一、微分的概念 61

二、微分的几何意义 62

三、微分的求法 63

四、微分形式的不变性，复合函数的微分法 64

五、微分在近似计算中的应用 64

习题2-3 65

第三章 中值定理与导数应用 67

§3．1 微分中值定理 67

习题3-1 71

§3．2 罗必达法则 72

习题3-2 75

§3．3 函数的增减性和极值 76

习题3-3 80

§3．4 函数的最大值与最小值 81

习题3-4 82

§3．5 曲线的凹凸与拐点 83

习题3-5 85

§3．6 函数图形的描绘 85

习题3-6 87

§3．7 曲线的曲率 88

习题3-7 91

§3．8 泰勒公式 92

习题3-8 95

第四章 不定积分 97

§4．1 原函数与不定积分 97

一、原函数与不定积分的概念 97

二、不定积分的性质 99

三、基本积分公式 100

四、直接积分法 101

习题4-1 102

§4．2 换元积分法 103

一、第一类换元法(凑微分法) 103

习题4-2(1) 107

二、第二类换元法 108

习题4-2(2) 112

§4．3 分部积分法 113

习题4-3 115

一、有理函数的积分 116

§4．4 有理函数及三角函数有理式的积分 116

二、三角函数有理式的积分 119

习题4-4 121

第五章 定积分 123

§5．1 定积分的概念 123

一、引例 123

二、定积分的定义 124

三、定积分的几何意义 126

习题5-1 127

§5．2 定积分的性质 128

习题5-2 130

§5．3 牛顿—莱布尼兹(Newton-Leibnlz)公式 131

一、积分上限函数及其导数 131

二、牛顿—莱布尼兹公式 132

习题5-3 133

§5．4 定积分的换元法与分部积分法 134

一、定积分的换元法 134

习题5-4(1) 137

二、定积分的分部积分法 138

习题5-4(2) 140

§5．5 定积分的近似计算 140

一、矩形法 140

二、二梯形法 141

三、抛物线法 141

习题5-5 143

§5．6 广义积分 143

一、无穷区间上的广义积分 143

二、无界函数的广义积分 145

习题5-6 146

§6．1 定积分的元素法 147

第六章 定积分的应用 147

§6．2 平面图形的面积 148

一、直角坐标系中平面图形面积的计算 148

二、极坐标系中平面图形面积的计算 151

习题6-2 153

§6．3 立体的体积 153

一、旋转体的体积 153

二、平行截面面积为已知的立体的体积 155

一、直角坐标系中平面曲线的弧长 156

习题6-3 156

§6．4 平面曲线的弧长 156

二、极坐标系中平面曲线的弧长 157

习题6-4 158

§6．5 定积分在物理上的应用 158

一、变力所作的功 158

二、液体的侧压力 160

习题6-5 161

§7．1 微分方程的基本概念 163

第七章 微分方程 163

习题7-1 165

§7．2 可分离变量的一阶微分方程 166

一、已分离变量的方程 166

二、可分离变量的方程 166

习题7-2 167

§7．3 齐次微分方程 168

习题7-3 171

§7．4 一阶线性微分方程 171

习题7-4 175

§7．5 可降阶的高阶微分方程 176

一、y~(n)=f(x)型 176

二、y~″＝f(x，y′)型 177

三、y″=f(y，y′)型 179

习题7-5 179

§7．6 高阶线性微分方程及其解的结构 180

一、二阶线性微分方程举例 180

二、二阶齐次线性微分方程解的性质及通解结构 181

习题7-6 183

三、二阶非齐次线性微分方程解的性质及解的结构 183

§7．7 二阶常系数齐次线性微分方程 184

习题7-7 188

§7．8 二阶常系数非齐次线性微分方程 188

一、f(x)＝e?P_m(x)型 188

二、f(x)=e?[P_m(x)cosωx+P_(x)sinωx]型 190

习题7-8 192

一、空间点的直角坐标 194

§8．1 空间直角坐标系 194

第八章 空间解析几何 194

二、空间两点间的距离 195

习题8-1 196

§8．2 向量的概念与线性运算 196

一、向量的概念 196

二、向量的加减注 197

三、向量与数的乘法 198

§8．3 向量的坐标 199

一、向量在轴上的投影与投影定理 199

习题8-2 199

二、向量的坐标表示与向量的分量 200

三、向量的模和方向余弦的坐标表示 202

习题8-3 204

§8．4 数量积与向量积 204

一、两向量的数量积 204

二、两向量的向量积 206

习题8-4 209

§8．5 平面 209

二、平面的一般方程 210

一、平面的点法式方程 210

三、平面的截距式方程 212

四、两平面的位置关系 212

习题8-5 213

§8．6 直线 214

一、空间直线的一般方程 214

二、空间直线的点向式方程和参数方程 214

三、直线与直线的位置关系 216

四、平面与直线的位置关系 217

习题8-6 219

五、点到平面的距离 219

§8．7 曲面与曲线 221

一、图形和方程 221

二、二次曲面 223

三、空间曲线 226

四、空间曲线在坐标面上的投影 227

习题8-7 228

第九章 多元函数微分学 229

§9．1 多元函数的基本概念 229

一、多元函数概念 229

二、二元函数的极限 231

三、二元函数的连续性 232

习题9-1 232

§9．2 偏导数 233

一、偏导数的定义及其计算法 233

二、高阶偏导数 235

习题9-2 236

§9．3 全微分及其应用 237

一、全微分的定义 237

习题9-3 239

二、全微分在近似计算中的应用 239

§9．4 复合函数的求导法则 240

习题9-4 243

§9．5 隐函数的微分法 243

习题9-5 245

§9．6 微分法在几何上的应用 245

一、空间曲线的切线与法平面 245

二、曲面的切平面与法线 247

一、极值及其求法 249

§9．7 多元函数的极值 249

习题9-6 249

二、函数的最大值与最小值 250

三、条件极值 拉格朗日乘数法 251

习题9-7 253

第十章 重积分 254

§10．1 二重积分的概念与性质 254

一、二重积分的概念 254

习题10-1 256

二、二重积分的性质 256

§10．2 二重积分的计算法 257

一、利用直角坐标计算二重积分 257

习题10-2(1) 261

二、利用极坐标计算二重积分 261

习题10-2(2) 264

§10．3 二重积分的应用 264

一、曲面的面积 265

二、平面薄板的重心 266

三、平面薄板的转动惯量 267

习题10-3 268

§10．4 三重积分的概念及其计算法 268

一、三重积分概念 268

二、利用直角坐标计算三重积分 269

三、利用柱面坐标计算三重积分 270

四、利用球面坐标计算三重积分 271

五、三重积分的应用 272

习题10-4 274

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 275

§11．1 对弧长的曲线积分 275

第十一章 曲线积分与曲面积分 275

二、对弧长的曲线积分的计算法 276

习题11-1 277

§11．2 对坐标的曲线积分 278

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 278

二、对坐标的曲线积分的计算法 279

§11．3 格林公式及其应用 282

一、格林公式 282

习题11-2 282

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 285

三、二元函数的全微分求积 286

习题11-3 288

§11．4 对面积的曲面积分 289

一、对面积的曲面积分的概念与性质 289

二、对面积的曲积分的计算法 290

习题11-4 291

§11．5 对坐标的曲面积分 292

一、对坐标的曲面积分的概念与性制 292

二、对坐标的曲面积分的计算法 294

§11．6 高斯(Gauss)公式 296

习题11-5 296

习题11-6 298

第十二章 无穷级数 299

§12．1 常数项级数的概念和性质 299

一、常数项级数的概念 299

二、无穷级数的基本性质 301

习题12-1 302

一、正项级数的审敛法 303

§12．2 常数项级数的审敛法 303

二、交错级数及其散性的判别法 307

三、任意项数的敛散性 308

习题12-2 308

§12．3 幂级数 309

一、函数项级数的一般概念 309

二、幂级数及其敛散性 310

三、幂级数的运算 312

习题12-3 313

§12．4 函数展开为幂级数 314

习题12-4 318

§12．5 函数幂级数展开式的应用 319

一、函数值的近似计算 319

二、定积分值的近似计算 319

三、微分方程的幂级数解法 320

四、欧拉公式 320

§12．6 付里叶Fourier级数 321

一、三角级数、三角函数系的正交性 321

习题12-5 321

二、函数的付里叶级数 322

习题12-6 325

§12．7 正弦级数和余弦级数 326

一、奇函数和偶函数的付里叶级数 326

二、函数展开成为正弦级数或余弦级数 327

习题12-7 328

§12．8 周期为2ι的周期函数的付里叶级数 328

习题12-8 329

习题答案 330