第一节 引言 实数系 1
1．1-1 引言 1
1．1-2 实数 1
第一章 实数与复数 初等代数 1
1．1-3 相等关系 2
1．1-4 恒等关系 2
1．1-5 不等式 2
1．1-6 绝对值 2
1．2-2 分母有理化公式 3
1．2-3 对数 3
1．2-1 幂与根 3
第二节 幂、根 对数和阶乘 和与积的表示法 3
1．2-4 阶乘 4
1．2-5 和与积的表示法 4
1．2-6 算术级数 4
1．2-7 几何级数 5
第三节 复数 5
1．3-1 引言 5
1．3-3 加法、乘法和除法的表示 幂和根 6
1．3-2 用点或向量表示复数 极分解 6
第四节 其它各种公式 7
1．4-1 二项式定理和有关公式 7
1．4-2 比例 8
1．4-3 多项式 对称函数 8
第五节 行列式 8
1．5-1 定义 8
1．5-5 各种定理 9
1．5-4 互余子式 拉普拉斯展开式 9
1．5-3 二阶和三阶行列式 9
1．5-2 子式和代数余子式 按行或列的展开式 9
1．5-6 行列式的乘法 10
1．5-7 行列式阶的改变 11
第六节 代数方程：一般定理 11
1．6-1 引言 11
1．6-2 方程的解：根 11
1．6-3 代数方程 11
1．6-5 代数方程的判别式 12
1．6-6 实代数方程和它们的根 12
1．6-4 根与系数的关系 12
第七节 多项式的因式分解和多项式的商 部分分式 14
1．7-1 多项式的因式分解 14
1．7-2 多项式的商 余数 长除法 14
1．7-3 两个多项式的公因子和公共根 15
1．7-4 展成部分分式 16
第八节 线性方程 二次、三次和四次方程 16
1．8-1 线性方程的解 16
1．8-4 三次方程的三角学解法 17
1．8-3 三次方程的卡尔丹解 17
1．8-2 二次方程的解 17
1．8-5 四次方程的笛卡儿-欧拉解 18
1．8-6 四次方程的费拉里解 18
第九节 方程组 19
1．9-1 方程组 19
1．9-2 线性方程组：克莱姆法则 19
1．9-3 线性无关性 19
1．9-4 线性方程组的一般理论 20
1．9-5 线性方程组 n个n元齐次方程 20
1．11-2 参考文献 21
第十节 有关课题 参考文献 21
1．10-1 有关课题 21
第二章 平面解析几何 23
第一节 引言和基本概念 23
2．1-1 引言 23
2．1-2 笛卡儿坐标系 23
2．1-3 右手笛卡儿直角坐标系 23
2．1-4 笛卡儿直角坐标系中的基本关系 24
2．1-6 坐标轴的旋转 25
2．1-7 同时作坐标轴的平移和旋转 25
2．1-5 坐标轴的平移 25
2．1-8 极坐标 26
2．1-9 曲线的表示 27
第二节 直线 27
2．2-1 直线的方程 27
2．2-2 直线的其它表示 29
第三节 点与直线的关系 29
2．3-1 点与直线 29
2．3-2 两条或多条直线 29
2．4-3 二次曲线的分类 31
2．4-2 不变量 31
2．3-3 线坐标 31
2．4-1 一般二次方程 31
第四节 二次曲线(圆锥曲线) 31
2．4-4 常态二次曲线的相似性 32
2．4-5 特征二次型和特征方程 32
2．4-6 圆锥曲线的直径和中心 32
2．4-7 主轴 33
2．4-8 化二次曲线方程为标准型的变换 33
2．4-9 用焦点定义常态二次曲线 33
2．4-10 二次曲线的切线和法线 极线和极点 34
2．4-11 二次曲线的其它表示 35
第五节 圆、椭圆、双曲线和抛物线的性质 36
2．5-1 关于圆的特殊公式和定理 36
2．5-2 关于椭圆和双曲线的特殊公式 37
2．5-3 椭圆和双曲线的构作和它们的切线及法线 38
2．5-4 抛物线的构作及其切线、法线 39
第六节 高次平面曲线 39
2．6-1 代数曲线的例 39
2．6-2 超越曲线的例 41
3．1-1 引言 42
2．7-2 参考文献 42
第七节 有关课题 参考文献 42
2．7-1 有关课题 42
第一节 引言和基本概念 43
3．1-2 笛卡儿坐标系 43
3．1-3 右手系 43
第三章 立体解析几何 43
3．1-6 柱面坐标系和球面坐标系 44
3．1-7 笛卡儿直角坐标系和位置向量的基本关系 44
3．1-5 位置向量 44
3．1-4 右手笛卡儿直角坐标系 44
3．1-8 方向余弦和方向数 45
3．1-9 投影 46
3．1-10 面积的向量表示 46
3．1-11 体积的计算 46
3．1-12 笛卡儿直角坐标系的平移和旋转 46
3．1-13 曲线的解析表示 48
3．1-14 曲面的表示 48
3．1-16 曲面和曲线 49
3．1-15 特殊类型的曲面 49
第二节 平面 50
3．2-1 平面的方程 50
3．2-2 平面的参数表示 51
第三节 直线 51
3．3-1 直线的方程 51
3．3-2 直线的参数表示 52
第四节 点、平面和直线间的关系 52
3．4-1 角 52
3．4-2 距离 53
3．4-3 特殊条件 54
3．4-4 平面坐标和对偶原理 55
3．4-5 其他各种关系 55
第五节 二次曲面 55
3．5-1 一般二次方程 55
3．5-2 不变量 56
3．5-3 二次曲面的分类 57
3．5-5 二次曲面的径面、直径和中心 58
3．5-6 主平面和主轴 58
3．5-4 特征二次型和特征方程 58
3．5-7 化二次曲面方程为标准型的变换 60
3．5-8 二次曲面的切平面和法线 极面和极点 60
3．5-9 各种其他公式和关于二次曲面的定理 60
3．5-10 二次曲面的参数表示 61
第六节 有关课题 参考文献 61
3．6-1 有关课题 61
3．6-2 参考文献 62
第二节 函数 63
4．2-1 函数和变量 63
第一节 引言 63
4．1-1 概述 63
第四章 函数和极限 微分学和积分学 63
4．2-2 具有特殊性质的函数 64
第三节 点集 区间和区域 64
4．3-1 引言 64
4．3-2 集合的性质 65
4．3-3 界 65
4．3-6 开集和闭集 区域 66
4．3-5 邻域的定义 66
4．3-4 区间 66
第四节 极限 连续函数 有关课题 67
4．4-1 函数和序列的极限 67
4．4-2 极限运算 67
4．4-3 两个函数之间的渐近关系 67
4．4-4 一致收敛 68
4．4-5 多重极限和累次极限 68
4．4-6 连续函数 69
4．4-7 单侧极限 单侧连续 69
4．5-1 导数和微分 70
4．4-8 单调函数和有界变差函数 70
第五节 微分学 70
4．5-2 偏导数 72
4．5-3 微分 72
4．5-4 微分法则 74
4．5-5 齐次函数 74
4．5-6 雅可比行列式和函数的相关性 75
4．5-7 隐函数 75
4．6-2 广义积分 76
第六节 积分和积分法 76
4．6-1 定积分(黎曼积分) 76
4．6-3 算术平均 78
4．6-4 不定积分 78
4．6-5 积分学的基本定理 78
4．6-6 积分法 79
4．6-7 椭圆积分 80
4．6-8 重积分 80
4．6-9 可求长曲线的弧长 81
4．6-11 面积和体积 82
4．6-10 线积分 82
4．6-12 曲面积分和体积分 83
4．6-13 体积分和曲面积分中的变量替换 83
4．6-14 勒贝格测度 可测函数 84
4．6-15 勒贝格积分 85
4．6-16 收敛定理(连续性定理) 86
4．6-17 斯蒂尔吉斯积分 86
4．6-18 卷积 87
4．7-1 中值定理 88
4．6-19 闵可夫斯基不等式和赫德尔不等式 88
第七节 中值定理 不定型的值 维尔斯特拉斯逼近定理 88
4．7-2 不定型的值 89
4．7-3 维尔斯特拉斯逼近定理 90
第八节 无穷级数 无穷乘积和连分数 90
4．8-1 无穷级数 收敛 90
4．8-2 函数项级数 一致收敛 91
4．8-3 收敛级数的运算 91
4．8-4 函数项无穷级数的运算 92
4．8-5 级数收敛与求和的改进 93
4．8-6 发散的无穷级数 94
4．8-7 无穷乘积 94
4．8-8 连分数 95
第九节 无穷级数和广义积分的收敛和一致收敛判别法 95
4．9-1 无穷级数的收敛判别法 95
4．9-2 无穷级数的一致收敛判别法 96
4．9-3 广义积分的收敛判别法 97
4．10-2 幂级数 98
4．10-1 用无穷级数和积分表示函数 98
第十节 用无穷级数和积分表示函数 幂级数和泰勒展开 98
4．9-4 广义积分的一致收敛判别法 98
4．10-3 阿贝尔定理和陶贝尔定理 99
4．10-4 泰勒展开 99
4．10-5 多重泰勒展式 100
第十一节 傅里叶级数和傅里叶积分 100
4．11-1 引言 100
4．11-2 傅里叶级数 100
4．11-4 某些与其傅里叶级数或傅里叶积分相等的函数 傅里叶分析 102
4．11-3 傅里叶积分和傅里叶变换 102
4．11-5 用傅里叶系数或傅里叶变换表示函数及其运算 104
4．11-6 狄里克雷积分和费叶积分 106
4．11-7 算术平均求和 106
4．11-8 多重傅里叶级数和积分 107
第十二节 有关课题 参考文献 107
4．12-1 有关课题 107
5．2-1 向量加法和向量与(实)数相乘 109
5．1-1 欧几里得向量 109
第二节 向量代数 109
第五章 向量分析 109
4．12-2 参考文献 109
第一节 引言 109
5．2-2 用基向量和分量表示向量 110
5．2-3 向量的笛卡儿直角分量 110
5．2-4 向量和物理的量纲 110
5．2-5 向量的绝对值(大小、模) 111
5．2-6 两个向量的数量积(点积，内积) 111
5．2-7 向量(叉)积 111
5．2-9 多于两个向量的其它乘积 112
5．2-8 数量三重积(框积) 112
5．2-10 用平行与垂直于给定单位向量u的向量和表示一个向量 113
5．2-11 方程的解 113
第三节 向量微积分：一个数量参数的函数 113
5．3-1 向量函数和极限 113
5．3-2 微分 113
5．3-3 积分和常微分方程 114
5．4-4 向量路径元和弧长 115
5．4-3 向量场 115
5．4-1 引言 115
5．4-2 纯量场 115
第四节 纯量和向量场 115
5．4-5 线积分 116
5．4-6 曲面积分 116
5．4-7 体积分 117
第五节 微分算子 118
5．5-1 梯度 散度和旋度：用积分的非坐标定义 118
5．5-2 算子▽ 118
5．5-3 绝对微分 内在导数和方向导数 119
5．5-4 高阶方向导数 泰勒展开 120
5．5-5 拉普拉斯算子 120
5．5-6 迭次运算 121
5．5-7 在特殊函数上的运算 121
5．5-8 两个或多个位置向量的函数 122
第六节 积分定理 122
5．6-1 散度定理和有关定理 122
第七节 依其旋度和散度确定的向量场 123
5．7-1 无旋向量场 123
5．6-2 斯托克斯定理以及有关定理 123
5．6-3 在曲面上不连续的场 123
5．7-2 螺线向量场 124
5．7-3 用其散度和旋度表示向量点函数 124
第八节 有关课题 参考文献 125
5．8-1 有关课题 125
5．8-2 参考文献 125
第二节 曲线坐标系 127
6．2-1 曲线坐标 127
第一节 引言 127
第六章 曲线坐标系 127
6．2-2 坐标曲面和坐标线 128
6．2-3 弧长元素和体积元素 128
第三节 向量的分量表示 128
6．3-1 向量分量和局部基向量 128
6．3-2 向量用物理分量表示 129
6．3-3 向量的反变分量表示和共变分量表示 129
6．4-1 正交坐标 131
6．4-2 向量关系 131
6．3-4 以曲线分量表示的向量关系的求导运算 131
第四节 正交坐标系 用正交分量表示的向量关系 131
6．4-3 线积分 曲面积分和体积分 132
第五节 关于特殊正交坐标系的公式 133
6．5-1 引言 133
第六节 有关课题 参考文献 140
6．6-1 有关课题 140
6．6-2 参考文献 140
第二节 单复变函数 复数平面的区域 142
7．2-2 z平面和ω平面 邻域 无穷远点 142
7．2-1 单复变函数 142
第一节 引言 142
第七章 复变函数 142
7．2-3 曲线和围道 143
7．2-4 边界和区域 144
7．2-5 复围道积分 144
第三节 解析(正则，全纯)函数 144
7．3-1 函数的导数 145
7．3-2 柯西-黎曼方程 145
7．3-3 解析函数 145
7．3-4 解析函数的性质 145
7．4-3 黎曼面 146
7．4-2 支点和分支切割 146
7．4-1 分支 146
7．3-5 最大模原理 146
第四节 多值函数的情形 146
第五节 积分定理和级数展开式 147
7．5-1 积分定理 147
7．5-2 泰勒级数展式 148
7．5-3 罗朗级数展式 149
第六节 零点和孤立奇点 150
7．6-1 零点 150
7．6-2 奇点 150
7．6-6 整函数的乘积展式 151
7．6-7 亚纯函数 151
7．6-3 无穷远的零点和奇点 151
7．6-5 整函数 151
7．6-4 维尔斯特拉斯和皮卡定理 151
7．6-8 亚纯函数的部分分式展开 152
7．6-9 亚纯函数的零点和极点 152
第七节 留数和围道积分 152
7．7-1 留数 152
7．7-3 定积分计算 153
7．7-2 留数定理 153
7．7-4 留数定理应用于级数求和 155
第八节 解析开拓 155
7．8-1 解析开拓和单演解析函数 155
7．8-2 解析开拓的方法 156
第九节 保角映射 156
7．9-1 保角映射 156
7．9-2 双线性变换 157
7．9-4 希瓦尔兹-克里斯托弗尔变换 158
7．9-3 变换ω=(z+(1/z))/2 158
7．9-5 变换表 159
第十节 把指定区域变为单位圆上的变换 166
7．10-1 黎曼映射定理 166
第十一节 有关课题 参考文献 167
7．11-1 有关课题 167
7．11-2 参考文献 167
8．2-3 定义区域的扩张 168
8．2-2 绝对收敛 168
8．2-1 定义 (单边)拉普拉斯变换 168
第二节 拉普拉斯变换 168
第八章 拉普拉斯变换和其它积分变换 168
第一节 引言 168
8．2-4 拉普拉斯变换存在的充分条件 169
8．2-5 逆拉普拉斯变换 169
8．2-6 反演定理 169
8．2-7 逆拉普拉斯变换的存在性 169
8．3-1 对应的运算表 170
8．3-2 周期函数和调幅正弦函数的拉普拉斯变换 170
第三节 对变换前后的函数所作的运算之间的相应关系 170
8．2-8 拉普拉斯变换及其逆的唯一性 170
8．3-3 乘积的变换(卷积定理) 172
8．3-4 极限定理 172
第四节 拉普拉斯变换表和逆拉普拉斯变换的计算 172
8．4-1 拉普拉斯变换表 172
8．4-2 逆拉普拉斯变换的计算 172
8．4-3 应用围道积分 172
8．8-4 有理代数函数的逆拉普拉斯变换：海维赛特展式 172
8．4-5 有理代数函数的逆拉普拉斯变换：部分分式展开 173
8．4-8 用t的拉盖尔多项式展开 174
8．4-6 展成级数 174
8．4-7 展成t的幂级数 174
8．4-9 展成渐近级数 175
第五节 δ-函数的“形式”拉普拉斯变换 176
8．5-1 δ-函数变换 176
第六节 其它积分变换 176
8．6-1 引言 176
8．6-2 双侧拉普拉斯变换 176
8．6-4 汉克尔变换和傅里叶-贝塞耳变换 178
8．6-3 拉普拉斯变换的斯蒂尔吉斯积分型 178
第七节 有限积分变换 生成函数和Z变换 179
8．7-1 视级数为积分变换 有限傅里叶变换和汉克尔变换 179
8．7-2 生成函数 179
8．7-3 Z变换 定义和逆积分 179
第八节 有关课题 参考文献 182
8．8-1 有关课题 182
8．8-2 参考文献 182
9．1-2 常微分方程 184
9．1-1 概貌 184
第一节 引言 184
第九章 常微分方程 184
9．1-3 微分方程组 185
9．1-4 解的存在性和适定性 185
9．1-5 一般性提示 185
第二节 一阶方程 186
9．2-1 解的存在性和唯一性 186
9．2-2 几何意义 奇解 186
9．2-3 变量替换 187
9．2-4 特殊类型的一阶方程的解 188
9．2-5 求解的一般方法 190
第三节 线性微分方程 190
9．3-1 线性微分方程 叠加定理 190
9．3-2 解的线性无关性和基本解组 191
9．3-3 用常数变易法求解 格林函数 191
9．3-4 两点边值问题化为初值问题 193
9．3-5 线性微分方程的复变理论 泰勒级数解和奇点效应 194
9．3-6 用正则奇点处的级数展式解齐次方程 194
9．3-7 积分变换法 195
9．3-8 二阶线性微分方程 196
9．3-9 高斯超几何微分方程和黎曼微分方程 197
9．3-10 合流超几何函数 198
9．3-11 波克哈默尔记法 200
第四节 常系数线性微分方程 200
9．4-1 常系数线性齐次方程 200
9．4-8 正规坐标和简正振动 200
9．4-2 非齐次方程 正规响应 稳态解和瞬变过程 203
9．4-3 卷积和权函数 203
9．4-4 稳定性 205
9．4-6 周期强制函数及其解 相位法 206
9．4-5 解的拉普拉斯变换法 206
9．4-7 传递函数和频率响应函数 207
第五节 非线性二阶方程 210
9．5-1 引言 210
9．5-2 相平面表示 解的图示法 210
9．5-3 临界点和极限环 210
9．5-4 庞加莱-李雅普诺夫的稳定性理论 213
9．5-5 克雷洛夫和博哥留波夫近似方法 214
9．6-2 可积的情形 216
9．6-1 发费安微分方程 216
第六节 发费安微分方程 216
9．5-6 能量积分解 216
第七节 有关课题 参考文献 217
9．7-1 有关课题 217
9．7-2 参考文献 217
第十章 偏微分方程 219
第一节 引言和概述 219
10．1-1 引言 219
10．1-2 偏微分方程 219
10．2-1 两个独立变量的—阶偏微分方程 几何解释 220
10．1-3 偏微分方程的解：分离变量 220
第二节 一阶偏微分方程 220
10．2-2 初值问题 221
10．2-3 完全积分 通解的导出 特解 奇解和特征方程的解 222
10．2-4 n个独立变量的一阶偏微分方程 223
10．2-5 切(触)变换 225
10．2-6 典型方程和典型变换 225
10．2-7 哈密顿-雅可比方程 典型方程的解 227
10．3-1 两个变量的二阶拟线性偏微分方程 特征 229
第三节 双曲型 抛物型和椭圆型偏微分方程 特征 229
10．3-2 用特征线法解双曲型偏微分方程 230
10．3-3 化双曲型、抛物型和椭圆型微分方程为标准型 231
10．3-4 二阶方程的典型边值问题 232
10．3-5 一维波动方程 233
10．3-6 解线性双曲型方程的黎曼-伏尔泰拉方法 234
10．3-7 具有三个以上的独立变量的方程 235
第四节 物理学中的线性偏微分方程 特解 235
10．4-1 物理背景和概述 235
10．4-2 线性边值问题 236
10．4-3 拉普拉斯微分方程的特解：三维情形 238
10．4-4 三维波动方程的空间形式的特解 240
10．4-5 二维问题的特解 240
10．4-6 类氢波函数的静态薛定锷方程 241
10．4-7 扩散方程的特解 241
10．4-8 波动方程的特解 正弦波 242
10．4-9 用正交级数展开解边值问题：例 243
第五节 积分变换法 245
10．5-1 一般理论 245
10．5-2 时间变量的拉普拉斯变换 245
10．5-3 用积分变换法解边值问题：例 246
10．5-4 杜阿默耳公式 247
第六节 有关课题 参考文献 248
10．6-1 有关课题 248
10．6-2 参考文献 248
第二节 一元实变函数的极大和极小值 250
11．2-1 相对极大和极小值 250
11．2-2 内部极大、极小值的存在条件 250
第一节 引言 250
第十一章 极大值 极小值和最优化问题 250
第三节 多元实变函数的极大和极小值 251
11．3-1 相对极大和极小值 251
11．3-2 △f的展式 251
11．3-3 内部极大和极小值的存在条件 251
11．3-4 带有约束或附加条件的极值问题 拉格朗日乘子法 252
11．3-5 数值方法 253
第四节 线性规划 对策论及有关课题 253
11．4-1 线性规划问题 253
11．4-2 单纯形法 255
11．4-3 非线性规划 昆-塔克尔定理 257
11．4-4 有限零-和两人对奕介绍 258
第五节 变分法 定积分的极大和极小值 260
11．5-1 变分 260
11．5-2 定积分的极大和极小值 260
11．5-3 变分问题的解 261
第六节 作为微分方程的解的极值曲线：古典理论 261
11．6-1 极大值和极小值存在的必要条件 261
11．6-3 等周问题 264
11．6-2 带有约束或附加条件的变分问题 264
11．6-4 被积式中有较高阶导数的变分问题的解法 265
11．6-5 带有未知边界值及未知积分限的变分问题 265
11．6-6 波尔察和梅耶尔问题 266
11．6-7 带有隅角的极值曲线 折射、反射和边界极值 266
11．6-8 正则方程和哈密顿-雅可比方程 267
11．6-9 含有两个或两个以上自变量的变分问题 多重积分的极大和极小值 268
11．6-10 关于极大和极小值的充分条件 269
第七节 解变分问题的直接方法 269
11．7-1 直接法 269
11．7-2 瑞利-里兹方法 270
第八节 最优控制问题和最大值原理 271
11．8-1 问题的陈述 271
11．7-3 用多项式函数逼近y(x) 271
11．8-2 彭特列雅金的最大值原理 273
11．8-3 实例 275
11．8-4 控制问题的矩阵记法 277
11．8-5 状态变量的不等式约束 隅角条件 278
第九节 分段控制问题和动态规划 279
11．9-1 问题的陈述 279
11．8-6 动态规划方法 279
11．9-2 贝尔曼的最优化原理 280
第十节 有关课题 参考文献 280
11．10-1 有关课题 280
11．10-2 参考文献 280
第十二章 数学模型的定义：近世(抽象)代数和抽象空间 282
第一节 引言 282
12．1-1 数学模型 282
12．1-2 概貌 282
12．1-4 变换 函数 运算 283
12．1-3 “相等”和等价关系 283
12．1-5 不变性 284
12．1-6 一个模型借助于其他模型的表示：同态和同构 284
第二节 只有一种运算的模型的代数：群 284
12．2-1 群的定义和基本性质 284
12．2-2 子群 285
12．2-3 循环群 群元素的阶 285
12．2-4 复形的乘积 陪集 285
12．2-7 中心 正规化子 286
12．2-6 正规列 合成列 286
12．2-5 共轭元素和共轭子群 正规子群和商群 286
12．2-8 变换群或算子群 287
12．2-9 群的同态和同构 群的表示 287
12．2-10 加法群 剩余类和同余 287
12．2-11 连续群和混合连续群 287
12．2-12 平均值 288
第三节 具有两种运算的模型的代数：环、体和整区 288
12．3-1 定义和基本定理 288
第四节 包含两类数学对象的模型：线性向量空间和线性代数 289
12．4-1 线性向量空间 289
12．3-3 扩张 289
12．3-2 子环和子体 理想 289
12．4-2 线性代数 290
第五节 可以定义极限过程的模型：拓扑空间 291
12．5-1 拓扑空间 291
12．5-2 度量空间 292
12．5-3 度量空间中的拓扑、邻域和收敛 292
12．5-4 具有特殊性质的度量空间 点集论 292
12．5-5 例：数列空间和函数空间 293
12．5-6 巴拿赫压缩映射定理和逐次逼近 294
第六节 序 294
12．6-1 半序集 294
12．6-2 简单有序集 295
12．6-3 有序域 295
第七节 模型的联合：直积、积空间与直和 295
12．7-1 引言 笛卡儿积 295
12．7-5 直和 296
12．7-4 积空间 296
12．7-3 实向量空间的直积 296
12．7-2 群的直积 296
第八节 布尔代数 297
12．8-1 布尔代数 297
12．8-2 布尔函数 化布尔函数为标准型 298
12．8-3 包含关系 299
12．8-4 类的代数 299
12．8-5 布尔代数的同构 范恩图 299
12．8-6 事件代数和符号逻辑 299
12．8-7 用直值表表示布尔函数 卡诺图 300
12．8-8 完全可加性和测度代数 302
第九节 有关课题 参考文献 302
第十三章 矩阵 二次型和埃尔米特型 305
第一节 引言 305
13．1-1 引言 305
第二节 矩阵代数和矩阵微积分 305
13．2-1 矩阵、模 305
13．2-2 基本运算 307
13．2-3 恒等矩阵和逆矩阵 307
13．2-5 矩阵作为数学模型的基石 308
13．2-6 用特殊矩阵作乘法 置换矩阵 308
13．2-4 方阵的整数幂 308
13．2-7 矩阵的秩、迹和行列式 309
13．2-8 矩阵的分块 309
13．2-9 阶梯矩阵 直和 309
13．2-10 矩阵的直积(外积) 310
13．2-11 收敛和微分 310
13．2-12 矩阵的函数 310
第三节 具有特殊对称性质的矩阵 310
13．3-1 矩阵的转置和埃尔米特共轭 310
13．3-3 组合规则 311
13．3-2 具有特殊对称性质的矩阵 311
13．3-4 分解定理 正规矩阵 312
第四节 等价矩阵、特征值、对角化及有关课题 312
13．4-1 等价矩阵和相似矩阵 312
13．4-2 方阵的特征值和谱 313
13．4-3 化方阵为三角形 一个特征值的代数重数 313
13．4-4 矩阵的对角化 314
13．4-5 有限矩阵的特征值和特征方程 314
13．5-2 二次型 315
13．5-1 双线性型 315
第五节 二次型和埃尔米特型 315
13．4-7 凯莱-哈密顿定理和有关课题 315
13．4-6 阶梯矩阵(直和)的特征值 315
13．5-3 埃尔米特型 316
13．5-4 二次型和埃尔米特型的变换。变为对角型 316
13．5-5 两个二次型或埃尔米特型的同时对角化 318
13．5-6 正定、非负定等的判别法 318
第六节 微分方程组的矩阵记法(状态方程) 摄动和李雅普诺夫稳定性理论 319
13．6-1 常微分方程组、矩阵记法 319
13．6-2 常系数线性微分方程组(时变系统) 319
13．6-3 变系数线性系统 321
13．6-4 摄动法和灵敏度方程 322
13．6-5 解的稳定性：定义 322
13．6-6 李雅普诺夫函数和稳定性 323
14．6-2 线性算子在不同的度量体制中的表示 324
13．6-7 应用和例 325
第七节 有关课题 参考文献 326
13．7-1 有关课题 326
13．7-2 参考文献 326
14．1-3 坐标变换 328
14．1-2 数学模型的数值描述：参考系 328
14．1-1 引言 328
第一节 引言 参考系和坐标变换 328
第十四章 向量空间和线性变换(线性算子) 用矩阵表示数学模型 328
14．2-1 定义 329
14．1-5 度量体制的设计 329
14．1-4 不变量 329
第二节 向量空间 329
14．2-2 V中的线性流形和子空间 330
14．2-3 线性无关向量组和线性相关向量组 330
14．2-4 线性流形成向量空间的维数 基和参考系(坐标系) 330
14．2-5 赋范向量空间 331
14．2-6 酉向量空间 331
14．2-7 赋范向量空间中的距离和收敛 巴拿赫空间和希耳伯特空间 332
14．2-8 投影定理 333
第三节 线性变换 线性算子 333
14．3-1 向量空间中的线性变换 线性算子 333
14．3-2 值域、零空间和线性变换(算子)的秩 333
14．3-3 加法以及与纯量的乘法 零变换 333
14．3-6 算子的整数幂 334
14．4-1 线性变换的界 334
第四节 赋范或酉向量空间到自身的线性变换 埃米尔特和酉变换(算子) 334
14．3-5 非奇异线性变换(算子) 334
14．3-4 两个线性变换(算子)的乘积 恒等变换 334
14．4-3 线性变换(算子)的埃尔米特共轭 335
14．4-2 从赋范向量空间到自身的有界线性变换 335
14．4-4 埃尔米特算子 336
14．4-5 酉变换(算子) 336
14．4-6 实酉向量空间的对称，斜对称和正交变换 336
14．4-7 组合规则 337
14．4-8 分解定理 正规算子 337
14．4-9 共轭(伴随，对偶)向量空间 共轭(伴随)算子的更一般定义 337
14．4-10 无穷小线性变换 338
第五节 向量和线性变换(算子)的矩阵表示 339
14．5-1 基向量和向量分量的变换：“主动”型的观点 339
14．5-2 向量和线性变换(算子)的矩阵表示 339
14．5-3 联立线性方程的矩阵记法 340
14．5-4 线性算子的双积表示 340
第六节 参考系的改变 340
14．6-1 基向量和向量分量的变换：“受动”型的观点 340
14．6-3 迭次运算 342
14．7-1 内积的表示 343
14．7-2 参考系的改变 343
第七节 内积的表示 标准正交基 343
14．7-3 正交向量集和规范正交向量集 344
14．7-4 标准正交基(完全的规范正交系) 344
14．7-5 相应于埃尔米特共轭算子的矩阵 345
14．7-6 对偶基 345
第八节 线性算子的特征向量和特征值 346
14．8-1 引言 346
14．7-7 记法的比较 346
14．8-2 不变流形 可分解的线性变换(线性算子)和矩阵 347
14．8-3 特征向量 特征值和谱 347
14．8-4 正规算子和埃尔米特算子的特征向量和特征值 348
14．8-5 特征值和特征向量的确定 有限维的情形 349
14．8-6 矩阵的化简和对角化 主轴变换 350
14．8-7 “广义”特征值问题 351
14．8-8 作为平稳值问题的特征值问题 352
14．8-9 线性算子特征值的界 353
14．9-1 群的表示 354
14．8-10 非齐次线性向量方程 354
第九节 群的表示和有关课题 354
14．9-2 表示的约化 355
14．9-3 群的不可约表示 356
14．9-4 表示的特征标 356
14．9-5 正交关系 356
14．9-6 表示的直积 357
14．9-7 环，域和线性代数 357
14．10-2 旋转角 旋转轴 358
14．10-1 三维欧几里得向量空间中的旋转 358
第十节 旋转的数学描述 358
14．10-3 欧拉参数和吉布斯向量 359
14．10-4 用旋量矩阵和四元数表示向量和旋转 凯莱-克莱茵参数 359
14．10-5 绕坐标轴的旋转 360
14．10-6 欧拉角 361
14．10-7 无穷小旋转 连续旋转和角速度 363
14．10-8 三维旋转群和它的表示 365
第十一节 有关课题 参考文献 366
14．11-1 有关课题 366
14．11-2 参考文献 367
第十五章 线性积分方程 边值问题 特征值问题 369
第一节 引言 泛函分析 369
15．1-1 引言 369
15．1-2 记法 369
第二节 视函数为向量 用正交函数系展开 370
15．2-1 视平方可积函数为向量 内积和规范化 370
15．2-2 L2中的距离和收敛 平均收敛 370
15．2-3 函数的正交和正交函数系 371
15．2-4 完全规范正交函数系(标准正交基) 372
15．2-5 函数系的正交化和规范化 373
15．2-6 用规范正交函数系逼近和展成级数 373
15．2-7 作用于函数上的线性算子 373
第三节 线性积分变换和线性积分方程 374
15．3-1 线性积分变换 374
15．3-2 线性积分方程：概述 375
15．3-3 第二类齐次弗雷德霍姆积分方程：特征函数和特征值 375
15．3-4 展开定理 376
15．3-6 埃尔米特积分型作为变分问题的特征值问题 377
15．3-5 迭次核 377
15．3-7 第二类非齐次弗雷德霍姆方程 378
15．3-8 线性积分方程(16)的解 379
15．3-9 第一类弗雷德霍姆线性积分方程的解 380
15．3-10 伏尔泰拉型积分方程 381
第四节 微分方程的线性边值问题和特征值问题 381
15．4-1 线性边值问题：问题的陈述和记法 381
15．4-2 线性边值问题的辅助齐次微分方程和边界条件 叠加定理 382
15．4-3 埃尔米特共轭和伴随边值问题 埃尔米特算子 383
15．4-4 弗雷德霍姆择一定理 384
15．4-5 线性微分方程的特征值问题 385
15．4-6 埃尔米特特征值问题的特征值和特征函数 完全规范正交特征函数系 385
15．4-7 作为变分问题的埃尔米特特征值问题 386
15．4-8 一维斯图谟-刘维尔型特征值问题 387
15．4-9 二阶偏微分方程的斯图谟-刘维尔问题 388
15．4-10 比较定理 388
15．4-11 解离散特征值问题的摄动方法 389
15．4-12 用特征展开解边值问题 390
第五节 格林函数 边值问题和特征值问题与积分方程的关系 391
15．5-1 带齐次边界条件的边值问题的格林函数 391
15．5-2 边值问题和特征值问题与积分方程的关系 格林预解式 392
15．5-3 格林函数法对初值问题的应用 广义扩散方程 393
15．5-4 非齐次边界条件的格林函数法 393
第六节 位势理论 395
15．6-1 引言 拉普拉斯和泊松微分方程 395
15．6-2 三维位势理论：古典边值问题 395
15．6-3 凯耳文逆定理 395
15．6-4 调和函数的性质 396
15．6-5 拉普拉斯方程和泊松方程的位势解 396
15．6-6 用格林函数求三维边值问题的解 398
15．6-7 二维位势理论 对数位势 399
15．6-8 二维位势理论：共轭调和函数 400
15．6-9 二维边值问题的解 格林函数和保角映射 401
15．6-10 在更一般微分方程上的推广 延迟位势和超前位势 402
第七节 有关课题 参考文献 403
15．7-1 有关课题 403
15．7-2 参考文献 403
16．1-3 用分量描述(表示)抽象函数 哑指标记法 405
16．1-1 绪 405
16．1-2 坐标系和容许变换 405
第一节 引言 405
第十六章 数学模型的表示：张量代数和张量分析 405
16．1-4 度量体制和导出变换 不变量 406
第二节 绝对张量和相对张量 407
16．2-1 用导出变换规则定义绝对张量和相对张量 407
16．2-2 无穷小位移 绝对纯量的梯度 408
16．3-5 混合张量的缩并 409
16．3-4 张量与绝对纯量的乘法 409
16．3-3 张量加法 409
16．3-2 零张量 409
16．3-1 张量的相等 409
第三节 张量代数：基本运算的定义 409
16．3-6 两个张量的(外)积 410
16．3-7 内积 410
16．3-8 张量特征的间接判定 410
第四节 张量代数：张量方程的不变性 411
16．4-1 张量方程的不变性 411
第五节 对称张量和斜对称张量 411
16．5-1 对称和斜对称 411
16．5-3 置换符号 412
16．5-2 克罗内克尔符号δ 412
第六节 局部基向量系 413
16．1-1 用局部基向量表示向量和张量 413
16．6-2 不同度量体制中的局部基向量间的关系 413
16．5-4 两个向量的交错积 413
第七节 在黎曼空间定义的张量 伴随张量 414
16．7-1 黎曼空间和基本张量 414
16．7-3 伴随张量的等价 415
16．7-4 在黎曼空间定义的张量运算 415
16．7-2 伴随张量 指标的升高和降低 415
第八节 数量积与有关课题 416
16．8-1 在黎曼空间定义的两个向量的数量积(内积) 416
16．8-2 局部基向量的数量积 正交坐标系 416
16．8-3 张量的物理分量 416
16．8-4 向量积和数量三重积 417
第九节 在黎曼空间定义的二阶张量(并向量式) 417
16．9-1 并向量式 417
第十节 绝对微分运算 共变微分 418
16．10-1 绝对微分 418
16．9-3 特征值问题 418
16．9-2 内积记法 418
16．10-2 相对张量的绝对微分 420
16．10-3 克里斯托弗尔三指标符号 420
16．10-4 共变微分 421
16．10-5 共变微分法则 422
16．10-6 高阶共变导数 422
16．10-7 微分算子和微分不变量 423
16．10-8 绝对(内蕴)导数和方向导数 423
16．10-11 微分不变量和并向量式的积分定理 424
16．10-10 张量的积分 体积元素 424
16．10-9 沿曲线的张量常量 平行方程 424
第十一节 有关课题 参考文献 425
16．11-1 有关课题 425
16．11-2 参考文献 425
第十七章 微分几何 426
第一节 欧几里得平面中的曲线 426
17．1-1 平面曲线的切线 426
17．1-2 平面曲线的法线 426
17．1-3 奇点 426
17．1-5 密切点 427
17．1-4 平面曲线的曲率 427
17．1-7 平面曲线族的色络 428
17．1-8 等角轨线 428
第二节 三维欧几里得空间中的曲线 428
17．2-1 引言 428
17．2-2 动标三面形 428
17．1-6 渐近线 428
17．2-3 雪列-弗莱纳公式 空间曲线的曲率和挠率 429
17．2-4 切线、主法线和副法线的方程 密切面、法平面和从切面的方程 430
第三节 三维欧几里得空间中的曲面 431
17．3-1 引言 431
17．2-5 其他课题 431
17．2-6 密切点 431
17．3-2 切平面和曲面的法线 432
17．3-3 曲面的第一基本齐式 弧长元素和面积元素 432
17．3-4 曲面上曲线的测地曲率和法曲率 梅尼埃定理 433
17．3-5 第二基本齐式 主曲率、高斯曲率和平均曲率 434
17．3-6 曲面上的特殊方向和特殊曲线 极小曲面 435
17．3-8 基本齐式的系数所满足的偏微分方程 高斯定理 436
17．3-7 作为黎曼空间的曲面 三指标符号和贝尔特拉米参数 436
17．3-9 用E、F、G和L、M、N定义曲面 437
17．3-10 映射 437
17．3-11 包络 438
17．3-12 测地线 438
17．3-13 测地正则坐标 曲面上的几何学 438
17．4-1 引言 439
17．4-2 黎曼空间中的曲线、距离和方向 439
第四节 弯曲空间 439
17．3-14 高斯-波恩涅定理 439
17．4-3 测地线 440
17．4-4 不定度量的黎曼空间 零向和零测地线 441
17．4-5 空间曲率 441
17．4-6 空间曲率的各种形式 平坦空间和欧几里得空间 442
17．4-7 特殊坐标系 443
第五节 有关课题 参考文献 443
17．5-1 有关课题 443
17．5-2 参考文献 444
18．2-1 给定试验的事件代数 445
第二节 概率模型的定义和描述 445
第十八章 概率论和随机过程 445
第一节 引言 445
18．2-2 概率的定义 条件概率 446
18．2-3 统计独立性 446
18．2-4 复合试验 独立试验 独立重复试验 446
18．2-5 组合规则 447
18．2-6 贝叶斯定理 447
18．2-8 随机变量 448
18．2-9 用数值随机变量和分布函数描述的概率模型 448
18．2-7 事件表成样本空间中的集合 448
第三节 一维概率分布 449
18．3-1 离散的一维概率分布 449
18．3-2 连续的一维概率分布 449
18．3-3 期望值与方差 一维概率分布的特征参数 450
18．3-4 正则化 451
18．3-5 切比雪夫不等式和有关公式 452
18．3-6 概率分布的改进描述：使用斯蒂尔吉斯积分 452
18．3-7 一维概率分布的矩 452
18．3-8 特征函数和母函数 453
18．3-9 半不变量 454
18．3-10 由xx(q)、Mx(s)和γx(s)计算矩和半不变量 矩和半不变量的关系 455
第四节 多维概率分布 456
18．4-1 联合分布 456
18．4-2 二维概率分布 边缘分布 456
18．4-3 离散的和连续的二维概率分布 456
18．4-4 期望值、矩、协方差和相关系数 457
18．4-5 涉及两个随机变量的条件概率分布 458
18．4-6 回归 459
18．4-7 n维概率分布 460
18．4-8 期望值和矩 461
18．4-9 回归、复相关系数和偏相关系数 462
18．4-10 特征函数 463
18．4-11 统计独立的随机变量 464
18．4-12 概率分布的熵和有关论题 464
第五节 随机变量的函数 变量的替换 465
18．5-1 引言 465
18．5-2 一维随机变量的函数(或变换) 465
18．5-3 一维随机变量的线性函数(或线性变换) 466
18．5-4 多维随机变量的函数和变换 467
18．5-5 线性变换 468
18．5-6 随机变量的和的均值与方差 469
18．5-7 统计独立的随机变量的和 469
18．5-8 复合分布 470
第六节 依概率收敛和极限定理 470
18．6-1 概率分布序列 依概率收敛 470
18．6-5 极限定理 471
18．6-4 渐近正态概率分布 471
18．6-3 平均收敛 471
18．6-2 分布函数、特征函数和母函数的极限 连续性定理 471
第七节 解概率问题的特殊技术 473
18．7-1 引言 473
18．7-2 有关离散概率分布的问题：计数简单事件和组合分析 473
18．7-3 有关离散概率分布的问题：局部试验中的成功与失败 473
18．8-1 离散的一维概率分布 473
第八节 特殊的概率分布 474
18．8-2 离散的多维概率分布 476
18．8-3 连续的概率分布：正态(高斯)分布 477
18．8-4 正态随机变量：相对于均值的偏离的分布 478
18．8-5 其他连续的一维概率分布 480
18．8-6 二维正态分布 480
18．8-7 圆形正态分布 482
18．8-8 n维正态分布 482
18．8-9 一些特殊概率分布的加法定理 483
第九节 随机过程的数学描述 483
18．9-1 随机过程 483
18．9-3 总体均值 484
18．9-2 随机过程的数学描述 484
18．9-4 用随机参数定义的过程 486
18．9-5 正交函数展开 487
第十节 平稳随机过程 相关函数和谱密度 487
18．10-1 平稳随机过程 487
18．10-2 总体相关函数 488
18．10-3 总体谱密度 488
18．10-4 实值过程的相关函数和谱 489
18．10-5 实值过程的平均“功率”的谱分解 489
18．10-6 一些其他的总体谱密度 489
18．10-8 非总体相关函数和谱密度 490
18．10-7 t均值和遍历性过程 490
18．10-9 具有周期分量的函数 491
18．10-10 推广的傅里叶变换和积分谱 493
第十一节 一些特殊的随机过程 494
18．11-1 具有常量和周期样本函数的过程 494
18．11-2 有限带宽函数和过程 抽样定理 497
18．11-3 高斯随机过程 498
18．11-4 马尔科夫过程和泊松过程 498
18．11-5 由泊松过程产生的一些随机过程 500
18．11-6 由周期抽样产生的随机过程 501
第十二节 有关随机过程的运算 502
18．12-1 和的相关函数及其谱 502
18．12-2 线性系统的输入-输出关系 502
18．12-3 平稳的情形 503
18．12-4 t相关函数和非总体谱的关系 504
18．12-5 非线性运算 504
18．12-6 高斯过程的非线性运算 504
18．13-2 参考文献 505
18．13-1 有关课题 505
第十三节 有关课题 参考文献 505
第十九章 数理统计 507
第一节 统计方法简介 507
19．1-1 统计 507
19．1-2 古典概率模型：随机样本统计 总体的概念 507
19．1-3 概率模型和现实的关系：估计和检验 508
第二节 统计的描述、随机样本统计量的定义和计算 509
19．2-1 统计相对频率 509
19．2-2 样本的分布 分群资料 509
19．2-3 样本平均值 510
19．2-4 样本方差和矩 511
19．2-5 样本平均值和方差的简化 数值计算方法 对分群资料的修正 512
19．2-6 样本极差 513
第三节 常用的概率分布 513
19．3-1 引言 513
19．3-2 理论分布的埃奇沃思-凯普廷表示 513
19．3-3 格兰姆-查利埃和埃奇沃思级数近似 514
19．3-4 截尾正态分布和帕雷图分布 514
19．4-1 估计的性质 515
第四节 经典参数估计 515
19．3-5 皮尔生通用分布 515
19．4-2 用于估计的统计量的性质 516
19．4-3 估计量的获得：矩法 517
19．4-4 极大似然法 517
19．4-5 其他的估计方法 517
第五节 样本分布 518
19．5-1 引言 518
19．5-2 渐近正态样本分布 518
19．5-3 正态总体的样本x2、t和F分布 518
19．5-5 来自有限总体的样本 522
19．5-4 样本极差的分布 522
第六节 经典统计检验 523
19．6-1 统计假设 523
19．6-2 固定样本检验：定义 523
19．6-3 显著性水平 选择简单假设的检验的奈曼-皮尔生准则 524
19．6-4 显著性检验 525
19．6-5 置信区域 525
19．6-6 比较正态总体的检验方差分析 527
19．6-7 拟合优度的x2检验 529
19．7-1 引言 530
第七节 多元分布的一些统计量，样本分布和检验 530
19．6-8 比较两个总体的非参数方法：符号检验 530
19．6-9 推广 530
19．7-2 多元样本产生的统计量 531
19．7-3 参数估计 531
19．7-4 正态总体的样本分布 532
19．7-5 样本均方列联 两个随机变量统计独立性的列联表检验 534
19．7-6 斯皮尔曼秩相关、统计相依性的非参数检验 535
第八节 随机过程的统计和测量 535
19．8-1 简单有限时间平均 535
19．8-2 平均滤波器 536
19．8-3 例 537
19．8-4 样本平均值 538
第九节 带有随机参数的检验与估计 539
19．9-1 问题的陈述 539
19．9-2 贝叶斯估计和检验 540
19．9-3 二元状态和决策变量：统计检验或检测 541
19．9-4 估计(信号提取，回归) 542
19．10-2 参考文献 543
第十节 有关课题 参考文献 543
19．10-1 有关课题 543
第二十章 数值计算与有限差分 545
第一节 引言 545
20．1-1 概貌 545
20．1-2 误差 545
第二节 方程的数值解 546
20．2-1 引言 546
20．2-2 迭代法 牛顿-拉普逊方法和试位法 546
20．2-4 代数方程组的解：迭代法 548
20．2-3 代数方程的数值解：多项式值的计算 548
20．2-5 解代数方程的辅助方法 549
20．2-6 方程组和求最大、最小值问题 551
20．2-7 最速下降法(梯度法) 552
20．2-8 牛顿-拉普逊方法和康特罗维奇定理 553
第三节 线性方程组 逆矩阵和矩阵特征值问题 554
20．3-1 解线性方程组的“直接法”(消去法) 554
20．3-2 线性方程组的迭代法 555
20．3-3 矩阵求逆 557
20．3-4 解线性方程组或求逆矩阵的分块方法 558
20．3-5 矩阵的特征值和特征向量 559
第四节 有限差分和差分方程 560
20．4-1 有限差分和中心平均 560
20．4-2 算子符号 561
20．4-3 差分方程 562
20．4-4 线性常差分方程 563
20．4-5 常系数线性常差分方程：待定系数法 564
20．4-6 常系数线性差分方程的变换方法 564
20．4-7 常差分方程组(状态方程) 矩阵记法 565
20．4-8 稳定性 566
第五节 用插值求函数的近似值 567
20．5-1 引言 567
20．5-2 多项式插值的一般公式 567
20．5-3 等距节点的插值公式 棱形图 568
20．5-4 倒插值 570
20．5-5 “最佳间隔”插值 571
20．5-6 多元多项式插值 571
20．5-7 反差分和有理分式插值 571
20．6-2 某一区间上的最佳平方多项式逼近 574
20．6-1 引言 574
第六节 用正交多项式，截断的傅里叶级数和其他方法作近似 574
20．6-3 某一点集上的最佳平方多项式逼近 575
20．6-4 最小-最大绝对误差逼近 577
20．6-5 幂级数的降阶算法 581
20．6-6 数值调和分析和三角插值 581
20．6-7 其他逼近方法 582
第七节 数值微分和积分 584
20．7-1 数值微分 584
20．7-2 等距节点的数值积分 585
20．7-3 高斯和切比雪夫求积公式 587
20．7-4 求积公式的推导和比较 589
20．7-5 重积分的数值计算 589
第八节 常微分方程的数值解 590
20．8-1 引言和记号 590
20．8-2 初值问题的一步法：欧拉法和龙格-库塔型方法 590
20．8-3 初值问题的多步法 591
20．8-4 改进的多步法 592
20．8-5 不同解法的讨论 步长控制和稳定性 593
20．8-5 高于一阶的常微分方程和常微分方程组 594
20．8-7 二阶方程的特殊公式 595
20．8-8 频率响应分析 596
第九节 偏微分方程，积分方程，边值问题的数值解 596
20．9-1 引言 596
20．9-2 解常微分方程的两点边值问题：差分技术 597
20．9-3 广义牛顿-拉普逊方法(拟线性化) 598
20．9-4 含有两个自变量的偏微分方程数值解的有限差分方法 598
20．9-5 二维差分算子 599
20．9-7 包含三个或三个以上自变量的问题 601
20．9-6 边界条件的表示 601
20．9-8 有限差分近似法的有效性 某些稳定性条件 602
20．9-9 边值问题数值解的近似函数法 602
20．9-10 积分方程的数值解 604
第十节 蒙特-卡罗方法 605
20．10-1 蒙特-卡罗方法 605
20．10-2 两类降低方差的技术 605
20．10-3 先验信息的应用：重要性抽样 606
20．10-4 某些随机数的生成 随机性检验 606
20．11-2 参考文献 607
20．11-1 有关课题 607
第十一节 有关课题 参考文献 607
第二十一章 特殊函数 611
第一节 引言 611
第二节 初等超越函数 611
21．2-1 三角函数 611
21．2-2 三角函数之间的关系 613
21．2-3 加法公式和倍角公式 614
21．2-4 反三角函数 615
21．2-5 双曲函数 616
21．2-6 双曲函数之间的关系 617
21．2-7 关于复合角的双曲函数公式 617
21．2-8 反双曲函数 618
21．2-9 指数函数、三角函数和双曲函数之间的关系 618
21．2-10 对数的分解 619
21．2-11 反三角函数、反双曲函数和对数函数之间的关系 620
21．2-12 幂级数展式和其他展式 620
21．2-13 某些有用的不等式 620
21．3-1 正弦积分、余弦积分、指数和对数积分 621
第三节 由某些超越函数积分式定义的函数 621
21．3-2 菲涅耳积分和误差函数 622
第四节 Г(伽马)函数和有关函数 623
21．4-1 Г(伽马)函数 623
21．4-2 Г(z)和n!的斯特林展式 624
21．4-3 双伽马函数 625
21．4-4 β(贝塔)函数 625
21．4-5 不完全Г(伽马)和β(贝塔)函数 625
21．5-2 伯努利多项式和伯努利数 626
21．5-1 二项式系数和阶乘多项式 626
第五节 二项式系数和阶乘多项式 伯努利多项式和伯努利数 626
21．5-3 关于多项式和阶乘多项式的公式 628
21．5-4 (N?)的近似公式 628
第六节 椭圆函数 椭圆积分以及有关课题 628
21．6-1 椭圆函数 一般性质 628
21．6-2 维尔斯特拉斯?函数 629
21．6-3 维尔斯特拉斯ζ和σ函数 630
21．6-4 椭圆积分 631
21．6-5 椭圆积分的简化 631
21．6-6 勒让德正规椭圆积分 633
21．6-7 雅可比椭圆函数 638
21．6-8 雅可比θ函数 642
21．6-9 雅可比椭圆函数、维尔斯特拉斯椭圆函数和θ函数之间的关系 643
第七节 正交多项式 644
21．7-1 概述 644
21．7-2 正交多项式的实零点 644
21．7-3 勒让德函数 644
21．7-4 第一和第二类切比雪夫多项式 645
21．7-5 连带的拉盖尔多项式和函数 645
21．7-6 埃米尔特函数 651
21．7-7 若干积分公式 652
21．7-8 雅可比多项式和盖根堡多项式 652
第八节 柱面函数、连带的勒让德函数和球面调和函数 653
21．8-1 贝塞耳函数和其他柱面函数 653
21．8-2 积分公式 654
21．8-3 柱面函数的零点 656
21．8-4 贝塞耳函数J0(z)，J1(z)，J2(z) 656
21．8-5 用柱面函数表示微分方程的解以及有关函数 660
21．8-6 修正贝塞耳和汉克尔函数 660
21．8-8 球面贝塞耳函数 661
21．8-7 函数ber_mz，bei_mz，her_mz，hei_mz，ker_mz，kei_mz 661
21．8-9 柱面函数和球面贝塞耳函数对于较大的绝对值z的渐近展开 662
21．8-10 连带的勒让德函数和多项式 663
21．8-11 包含连带的勒让德多项式的积分公式 664
21．8-12 球面调和函数 正交性 664
21．8-13 加法定理 666
第九节 阶梯函数和符号脉冲函数 667
21．9-1 阶梯函数 667
21．9-2 符号狄拉克δ-函数 668
21．9-3 阶梯函数和脉冲函数的“导数” 669
21．9-4 脉冲函数的逼近 670
21．9-5 傅里叶积分表示 671
21．9-6 非对称脉冲函数 671
21．9-7 高维δ-函数 671
第十节 参考文献 672
附录A 平面图形和立体的公式 673
A-1 梯形 673
A-2 正多边形 673
A-3 圆 673
A-6 五个正多面体 674
A-5 旋转体 674
A-4 棱柱，棱锥，圆柱体和圆锥体 674
附录B 平面三角和球面三角 675
平面三角 675
B-1 引言 675
B-2 直角三角形 675
B-3 平面三角形的性质 675
B-4 三角形计算公式 676
B-5 球面三角形：引言 677
球面三角 677
B-6 球面三角形的性质 678
B-7 球面直角三角形 678
B-8 球面三角形的计算公式 679
B-9 用半正矢函数表示的公式 680
参考文献 681
附录C 排列、组合以及有关课题 681
表C-1 排列和划分 681
表C-2 组合和取样 681
C-1 母函数的应用 682
表C-3 占位 682
C-2 波利亚计数定理 683
参考文献 684
附录D 傅里叶展式和拉普拉斯变换对偶表 684
D-1 概述 684
D-2 傅里叶变换对偶和拉普拉斯变换对偶 684
表D-1 周期函数的傅里叶系数和均方值 685
表D-2 傅里叶变换 686
表D-4 傅里叶正弦变换 688
表D-3 傅里叶余弦变换 688
表D-5 汉克尔变换 689
表D-6 有理代数函数的拉普拉斯变换对偶F(s)=D1(s)/D(s) 690
表D-7 拉普拉斯变换 694
参考文献 700
附录E 积分，求和，无穷级数与无穷乘积，连分数 701
积分表 701
E-1 基本不定积分 701
E-2 不定积分 702
E-3 定积分 732
E-4 某些有限和 738
求和，无穷级数 738
E-5 各种无穷级数 739
E-6 幂级数：二项级数 740
E-7 初等超越函数的幂级数 741
无穷级数和连分数 742
E-8 某些无穷乘积 742
E-9 某些连分数 742
表E-1 级数的运算 743
参考文献 743
附录F 数值表 744
表F-1 平方表 746
表F-2 五位常用对数 749
表F-3 三角函数的真数及其对数 766
表F-4 指数和双曲函数的值及其对数 774
表F-5 自然对数或双曲对数 781
表F-6a 正弦积分St(x) 782
表F-6b S1(x)和余弦积分C1(x) 783
表F-7 指数积分和有关积分 784
表F-8 完全椭圆积分，K和E 788
表F-9b 二项式展开的系数 789
表F-9a 阶乘和倒数 789
表F-10 伽马函数 790
表F-11a 贝塞耳函数：J0(x)和J1(x) 792
表F-11b 贝塞耳函数：N0(x)和N1(x) 798
表F-11c 贝塞耳函数：I0(x)和I1(x) 804
表F-11d 贝塞耳函数：K0(x)和K1(x) 808
表F-11e 贝塞耳函数的辅助函数 812
表F-12 勒让德多项式 816
表F-13 概率函数或误差积分：erfx 817
表F-14 正态分布面积 818
表F-15 正态曲线的纵坐标 819
表F-16 t-分布 820
表F-17 x2分布 821
表F-18 F分布 822
表F-19 随机数 826
表F-20 正态随机数 831
表F-21 sinx/x 836
表F-22 切比雪夫多项式Tm(x) 845
符号和记法汇编 846
人名英汉对照表 852