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第一节 引言 实数系 1

1．1-1 引言 1

1．1-2 实数 1

第一章 实数与复数 初等代数 1

1．1-3 相等关系 2

1．1-4 恒等关系 2

1．1-5 不等式 2

1．1-6 绝对值 2

1．2-2 分母有理化公式 3

1．2-3 对数 3

1．2-1 幂与根 3

第二节 幂、根 对数和阶乘 和与积的表示法 3

1．2-4 阶乘 4

1．2-5 和与积的表示法 4

1．2-6 算术级数 4

1．2-7 几何级数 5

第三节 复数 5

1．3-1 引言 5

1．3-3 加法、乘法和除法的表示 幂和根 6

1．3-2 用点或向量表示复数 极分解 6

第四节 其它各种公式 7

1．4-1 二项式定理和有关公式 7

1．4-2 比例 8

1．4-3 多项式 对称函数 8

第五节 行列式 8

1．5-1 定义 8

1．5-5 各种定理 9

1．5-4 互余子式 拉普拉斯展开式 9

1．5-3 二阶和三阶行列式 9

1．5-2 子式和代数余子式 按行或列的展开式 9

1．5-6 行列式的乘法 10

1．5-7 行列式阶的改变 11

第六节 代数方程：一般定理 11

1．6-1 引言 11

1．6-2 方程的解：根 11

1．6-3 代数方程 11

1．6-5 代数方程的判别式 12

1．6-6 实代数方程和它们的根 12

1．6-4 根与系数的关系 12

第七节 多项式的因式分解和多项式的商 部分分式 14

1．7-1 多项式的因式分解 14

1．7-2 多项式的商 余数 长除法 14

1．7-3 两个多项式的公因子和公共根 15

1．7-4 展成部分分式 16

第八节 线性方程 二次、三次和四次方程 16

1．8-1 线性方程的解 16

1．8-4 三次方程的三角学解法 17

1．8-3 三次方程的卡尔丹解 17

1．8-2 二次方程的解 17

1．8-5 四次方程的笛卡儿-欧拉解 18

1．8-6 四次方程的费拉里解 18

第九节 方程组 19

1．9-1 方程组 19

1．9-2 线性方程组：克莱姆法则 19

1．9-3 线性无关性 19

1．9-4 线性方程组的一般理论 20

1．9-5 线性方程组 n个n元齐次方程 20

1．11-2 参考文献 21

第十节 有关课题 参考文献 21

1．10-1 有关课题 21

第二章 平面解析几何 23

第一节 引言和基本概念 23

2．1-1 引言 23

2．1-2 笛卡儿坐标系 23

2．1-3 右手笛卡儿直角坐标系 23

2．1-4 笛卡儿直角坐标系中的基本关系 24

2．1-6 坐标轴的旋转 25

2．1-7 同时作坐标轴的平移和旋转 25

2．1-5 坐标轴的平移 25

2．1-8 极坐标 26

2．1-9 曲线的表示 27

第二节 直线 27

2．2-1 直线的方程 27

2．2-2 直线的其它表示 29

第三节 点与直线的关系 29

2．3-1 点与直线 29

2．3-2 两条或多条直线 29

2．4-3 二次曲线的分类 31

2．4-2 不变量 31

2．3-3 线坐标 31

2．4-1 一般二次方程 31

第四节 二次曲线(圆锥曲线) 31

2．4-4 常态二次曲线的相似性 32

2．4-5 特征二次型和特征方程 32

2．4-6 圆锥曲线的直径和中心 32

2．4-7 主轴 33

2．4-8 化二次曲线方程为标准型的变换 33

2．4-9 用焦点定义常态二次曲线 33

2．4-10 二次曲线的切线和法线 极线和极点 34

2．4-11 二次曲线的其它表示 35

第五节 圆、椭圆、双曲线和抛物线的性质 36

2．5-1 关于圆的特殊公式和定理 36

2．5-2 关于椭圆和双曲线的特殊公式 37

2．5-3 椭圆和双曲线的构作和它们的切线及法线 38

2．5-4 抛物线的构作及其切线、法线 39

第六节 高次平面曲线 39

2．6-1 代数曲线的例 39

2．6-2 超越曲线的例 41

3．1-1 引言 42

2．7-2 参考文献 42

第七节 有关课题 参考文献 42

2．7-1 有关课题 42

第一节 引言和基本概念 43

3．1-2 笛卡儿坐标系 43

3．1-3 右手系 43

第三章 立体解析几何 43

3．1-6 柱面坐标系和球面坐标系 44

3．1-7 笛卡儿直角坐标系和位置向量的基本关系 44

3．1-5 位置向量 44

3．1-4 右手笛卡儿直角坐标系 44

3．1-8 方向余弦和方向数 45

3．1-9 投影 46

3．1-10 面积的向量表示 46

3．1-11 体积的计算 46

3．1-12 笛卡儿直角坐标系的平移和旋转 46

3．1-13 曲线的解析表示 48

3．1-14 曲面的表示 48

3．1-16 曲面和曲线 49

3．1-15 特殊类型的曲面 49

第二节 平面 50

3．2-1 平面的方程 50

3．2-2 平面的参数表示 51

第三节 直线 51

3．3-1 直线的方程 51

3．3-2 直线的参数表示 52

第四节 点、平面和直线间的关系 52

3．4-1 角 52

3．4-2 距离 53

3．4-3 特殊条件 54

3．4-4 平面坐标和对偶原理 55

3．4-5 其他各种关系 55

第五节 二次曲面 55

3．5-1 一般二次方程 55

3．5-2 不变量 56

3．5-3 二次曲面的分类 57

3．5-5 二次曲面的径面、直径和中心 58

3．5-6 主平面和主轴 58

3．5-4 特征二次型和特征方程 58

3．5-7 化二次曲面方程为标准型的变换 60

3．5-8 二次曲面的切平面和法线 极面和极点 60

3．5-9 各种其他公式和关于二次曲面的定理 60

3．5-10 二次曲面的参数表示 61

第六节 有关课题 参考文献 61

3．6-1 有关课题 61

3．6-2 参考文献 62

第二节 函数 63

4．2-1 函数和变量 63

第一节 引言 63

4．1-1 概述 63

第四章 函数和极限 微分学和积分学 63

4．2-2 具有特殊性质的函数 64

第三节 点集 区间和区域 64

4．3-1 引言 64

4．3-2 集合的性质 65

4．3-3 界 65

4．3-6 开集和闭集 区域 66

4．3-5 邻域的定义 66

4．3-4 区间 66

第四节 极限 连续函数 有关课题 67

4．4-1 函数和序列的极限 67

4．4-2 极限运算 67

4．4-3 两个函数之间的渐近关系 67

4．4-4 一致收敛 68

4．4-5 多重极限和累次极限 68

4．4-6 连续函数 69

4．4-7 单侧极限 单侧连续 69

4．5-1 导数和微分 70

4．4-8 单调函数和有界变差函数 70

第五节 微分学 70

4．5-2 偏导数 72

4．5-3 微分 72

4．5-4 微分法则 74

4．5-5 齐次函数 74

4．5-6 雅可比行列式和函数的相关性 75

4．5-7 隐函数 75

4．6-2 广义积分 76

第六节 积分和积分法 76

4．6-1 定积分(黎曼积分) 76

4．6-3 算术平均 78

4．6-4 不定积分 78

4．6-5 积分学的基本定理 78

4．6-6 积分法 79

4．6-7 椭圆积分 80

4．6-8 重积分 80

4．6-9 可求长曲线的弧长 81

4．6-11 面积和体积 82

4．6-10 线积分 82

4．6-12 曲面积分和体积分 83

4．6-13 体积分和曲面积分中的变量替换 83

4．6-14 勒贝格测度 可测函数 84

4．6-15 勒贝格积分 85

4．6-16 收敛定理(连续性定理) 86

4．6-17 斯蒂尔吉斯积分 86

4．6-18 卷积 87

4．7-1 中值定理 88

4．6-19 闵可夫斯基不等式和赫德尔不等式 88

第七节 中值定理 不定型的值 维尔斯特拉斯逼近定理 88

4．7-2 不定型的值 89

4．7-3 维尔斯特拉斯逼近定理 90

第八节 无穷级数 无穷乘积和连分数 90

4．8-1 无穷级数 收敛 90

4．8-2 函数项级数 一致收敛 91

4．8-3 收敛级数的运算 91

4．8-4 函数项无穷级数的运算 92

4．8-5 级数收敛与求和的改进 93

4．8-6 发散的无穷级数 94

4．8-7 无穷乘积 94

4．8-8 连分数 95

第九节 无穷级数和广义积分的收敛和一致收敛判别法 95

4．9-1 无穷级数的收敛判别法 95

4．9-2 无穷级数的一致收敛判别法 96

4．9-3 广义积分的收敛判别法 97

4．10-2 幂级数 98

4．10-1 用无穷级数和积分表示函数 98

第十节 用无穷级数和积分表示函数 幂级数和泰勒展开 98

4．9-4 广义积分的一致收敛判别法 98

4．10-3 阿贝尔定理和陶贝尔定理 99

4．10-4 泰勒展开 99

4．10-5 多重泰勒展式 100

第十一节 傅里叶级数和傅里叶积分 100

4．11-1 引言 100

4．11-2 傅里叶级数 100

4．11-4 某些与其傅里叶级数或傅里叶积分相等的函数 傅里叶分析 102

4．11-3 傅里叶积分和傅里叶变换 102

4．11-5 用傅里叶系数或傅里叶变换表示函数及其运算 104

4．11-6 狄里克雷积分和费叶积分 106

4．11-7 算术平均求和 106

4．11-8 多重傅里叶级数和积分 107

第十二节 有关课题 参考文献 107

4．12-1 有关课题 107

5．2-1 向量加法和向量与(实)数相乘 109

5．1-1 欧几里得向量 109

第二节 向量代数 109

第五章 向量分析 109

4．12-2 参考文献 109

第一节 引言 109

5．2-2 用基向量和分量表示向量 110

5．2-3 向量的笛卡儿直角分量 110

5．2-4 向量和物理的量纲 110

5．2-5 向量的绝对值(大小、模) 111

5．2-6 两个向量的数量积(点积，内积) 111

5．2-7 向量(叉)积 111

5．2-9 多于两个向量的其它乘积 112

5．2-8 数量三重积(框积) 112

5．2-10 用平行与垂直于给定单位向量u的向量和表示一个向量 113

5．2-11 方程的解 113

第三节 向量微积分：一个数量参数的函数 113

5．3-1 向量函数和极限 113

5．3-2 微分 113

5．3-3 积分和常微分方程 114

5．4-4 向量路径元和弧长 115

5．4-3 向量场 115

5．4-1 引言 115

5．4-2 纯量场 115

第四节 纯量和向量场 115

5．4-5 线积分 116

5．4-6 曲面积分 116

5．4-7 体积分 117

第五节 微分算子 118

5．5-1 梯度 散度和旋度：用积分的非坐标定义 118

5．5-2 算子▽ 118

5．5-3 绝对微分 内在导数和方向导数 119

5．5-4 高阶方向导数 泰勒展开 120

5．5-5 拉普拉斯算子 120

5．5-6 迭次运算 121

5．5-7 在特殊函数上的运算 121

5．5-8 两个或多个位置向量的函数 122

第六节 积分定理 122

5．6-1 散度定理和有关定理 122

第七节 依其旋度和散度确定的向量场 123

5．7-1 无旋向量场 123

5．6-2 斯托克斯定理以及有关定理 123

5．6-3 在曲面上不连续的场 123

5．7-2 螺线向量场 124

5．7-3 用其散度和旋度表示向量点函数 124

第八节 有关课题 参考文献 125

5．8-1 有关课题 125

5．8-2 参考文献 125

第二节 曲线坐标系 127

6．2-1 曲线坐标 127

第一节 引言 127

第六章 曲线坐标系 127

6．2-2 坐标曲面和坐标线 128

6．2-3 弧长元素和体积元素 128

第三节 向量的分量表示 128

6．3-1 向量分量和局部基向量 128

6．3-2 向量用物理分量表示 129

6．3-3 向量的反变分量表示和共变分量表示 129

6．4-1 正交坐标 131

6．4-2 向量关系 131

6．3-4 以曲线分量表示的向量关系的求导运算 131

第四节 正交坐标系 用正交分量表示的向量关系 131

6．4-3 线积分 曲面积分和体积分 132

第五节 关于特殊正交坐标系的公式 133

6．5-1 引言 133

第六节 有关课题 参考文献 140

6．6-1 有关课题 140

6．6-2 参考文献 140

第二节 单复变函数 复数平面的区域 142

7．2-2 z平面和ω平面 邻域 无穷远点 142

7．2-1 单复变函数 142

第一节 引言 142

第七章 复变函数 142

7．2-3 曲线和围道 143

7．2-4 边界和区域 144

7．2-5 复围道积分 144

第三节 解析(正则，全纯)函数 144

7．3-1 函数的导数 145

7．3-2 柯西-黎曼方程 145

7．3-3 解析函数 145

7．3-4 解析函数的性质 145

7．4-3 黎曼面 146

7．4-2 支点和分支切割 146

7．4-1 分支 146

7．3-5 最大模原理 146

第四节 多值函数的情形 146

第五节 积分定理和级数展开式 147

7．5-1 积分定理 147

7．5-2 泰勒级数展式 148

7．5-3 罗朗级数展式 149

第六节 零点和孤立奇点 150

7．6-1 零点 150

7．6-2 奇点 150

7．6-6 整函数的乘积展式 151

7．6-7 亚纯函数 151

7．6-3 无穷远的零点和奇点 151

7．6-5 整函数 151

7．6-4 维尔斯特拉斯和皮卡定理 151

7．6-8 亚纯函数的部分分式展开 152

7．6-9 亚纯函数的零点和极点 152

第七节 留数和围道积分 152

7．7-1 留数 152

7．7-3 定积分计算 153

7．7-2 留数定理 153

7．7-4 留数定理应用于级数求和 155

第八节 解析开拓 155

7．8-1 解析开拓和单演解析函数 155

7．8-2 解析开拓的方法 156

第九节 保角映射 156

7．9-1 保角映射 156

7．9-2 双线性变换 157

7．9-4 希瓦尔兹-克里斯托弗尔变换 158

7．9-3 变换ω=(z+(1/z))/2 158

7．9-5 变换表 159

第十节 把指定区域变为单位圆上的变换 166

7．10-1 黎曼映射定理 166

第十一节 有关课题 参考文献 167

7．11-1 有关课题 167

7．11-2 参考文献 167

8．2-3 定义区域的扩张 168

8．2-2 绝对收敛 168

8．2-1 定义 (单边)拉普拉斯变换 168

第二节 拉普拉斯变换 168

第八章 拉普拉斯变换和其它积分变换 168

第一节 引言 168

8．2-4 拉普拉斯变换存在的充分条件 169

8．2-5 逆拉普拉斯变换 169

8．2-6 反演定理 169

8．2-7 逆拉普拉斯变换的存在性 169

8．3-1 对应的运算表 170

8．3-2 周期函数和调幅正弦函数的拉普拉斯变换 170

第三节 对变换前后的函数所作的运算之间的相应关系 170

8．2-8 拉普拉斯变换及其逆的唯一性 170

8．3-3 乘积的变换(卷积定理) 172

8．3-4 极限定理 172

第四节 拉普拉斯变换表和逆拉普拉斯变换的计算 172

8．4-1 拉普拉斯变换表 172

8．4-2 逆拉普拉斯变换的计算 172

8．4-3 应用围道积分 172

8．8-4 有理代数函数的逆拉普拉斯变换：海维赛特展式 172

8．4-5 有理代数函数的逆拉普拉斯变换：部分分式展开 173

8．4-8 用t的拉盖尔多项式展开 174

8．4-6 展成级数 174

8．4-7 展成t的幂级数 174

8．4-9 展成渐近级数 175

第五节 δ-函数的“形式”拉普拉斯变换 176

8．5-1 δ-函数变换 176

第六节 其它积分变换 176

8．6-1 引言 176

8．6-2 双侧拉普拉斯变换 176

8．6-4 汉克尔变换和傅里叶-贝塞耳变换 178

8．6-3 拉普拉斯变换的斯蒂尔吉斯积分型 178

第七节 有限积分变换 生成函数和Z变换 179

8．7-1 视级数为积分变换 有限傅里叶变换和汉克尔变换 179

8．7-2 生成函数 179

8．7-3 Z变换 定义和逆积分 179

第八节 有关课题 参考文献 182

8．8-1 有关课题 182

8．8-2 参考文献 182

9．1-2 常微分方程 184

9．1-1 概貌 184

第一节 引言 184

第九章 常微分方程 184

9．1-3 微分方程组 185

9．1-4 解的存在性和适定性 185

9．1-5 一般性提示 185

第二节 一阶方程 186

9．2-1 解的存在性和唯一性 186

9．2-2 几何意义 奇解 186

9．2-3 变量替换 187

9．2-4 特殊类型的一阶方程的解 188

9．2-5 求解的一般方法 190

第三节 线性微分方程 190

9．3-1 线性微分方程 叠加定理 190

9．3-2 解的线性无关性和基本解组 191

9．3-3 用常数变易法求解 格林函数 191

9．3-4 两点边值问题化为初值问题 193

9．3-5 线性微分方程的复变理论 泰勒级数解和奇点效应 194

9．3-6 用正则奇点处的级数展式解齐次方程 194

9．3-7 积分变换法 195

9．3-8 二阶线性微分方程 196

9．3-9 高斯超几何微分方程和黎曼微分方程 197

9．3-10 合流超几何函数 198

9．3-11 波克哈默尔记法 200

第四节 常系数线性微分方程 200

9．4-1 常系数线性齐次方程 200

9．4-8 正规坐标和简正振动 200

9．4-2 非齐次方程 正规响应 稳态解和瞬变过程 203

9．4-3 卷积和权函数 203

9．4-4 稳定性 205

9．4-6 周期强制函数及其解 相位法 206

9．4-5 解的拉普拉斯变换法 206

9．4-7 传递函数和频率响应函数 207

第五节 非线性二阶方程 210

9．5-1 引言 210

9．5-2 相平面表示 解的图示法 210

9．5-3 临界点和极限环 210

9．5-4 庞加莱-李雅普诺夫的稳定性理论 213

9．5-5 克雷洛夫和博哥留波夫近似方法 214

9．6-2 可积的情形 216

9．6-1 发费安微分方程 216

第六节 发费安微分方程 216

9．5-6 能量积分解 216

第七节 有关课题 参考文献 217

9．7-1 有关课题 217

9．7-2 参考文献 217

第十章 偏微分方程 219

第一节 引言和概述 219

10．1-1 引言 219

10．1-2 偏微分方程 219

10．2-1 两个独立变量的—阶偏微分方程 几何解释 220

10．1-3 偏微分方程的解：分离变量 220

第二节 一阶偏微分方程 220

10．2-2 初值问题 221

10．2-3 完全积分 通解的导出 特解 奇解和特征方程的解 222

10．2-4 n个独立变量的一阶偏微分方程 223

10．2-5 切(触)变换 225

10．2-6 典型方程和典型变换 225

10．2-7 哈密顿-雅可比方程 典型方程的解 227

10．3-1 两个变量的二阶拟线性偏微分方程 特征 229

第三节 双曲型 抛物型和椭圆型偏微分方程 特征 229

10．3-2 用特征线法解双曲型偏微分方程 230

10．3-3 化双曲型、抛物型和椭圆型微分方程为标准型 231

10．3-4 二阶方程的典型边值问题 232

10．3-5 一维波动方程 233

10．3-6 解线性双曲型方程的黎曼-伏尔泰拉方法 234

10．3-7 具有三个以上的独立变量的方程 235

第四节 物理学中的线性偏微分方程 特解 235

10．4-1 物理背景和概述 235

10．4-2 线性边值问题 236

10．4-3 拉普拉斯微分方程的特解：三维情形 238

10．4-4 三维波动方程的空间形式的特解 240

10．4-5 二维问题的特解 240

10．4-6 类氢波函数的静态薛定锷方程 241

10．4-7 扩散方程的特解 241

10．4-8 波动方程的特解 正弦波 242

10．4-9 用正交级数展开解边值问题：例 243

第五节 积分变换法 245

10．5-1 一般理论 245

10．5-2 时间变量的拉普拉斯变换 245

10．5-3 用积分变换法解边值问题：例 246

10．5-4 杜阿默耳公式 247

第六节 有关课题 参考文献 248

10．6-1 有关课题 248

10．6-2 参考文献 248

第二节 一元实变函数的极大和极小值 250

11．2-1 相对极大和极小值 250

11．2-2 内部极大、极小值的存在条件 250

第一节 引言 250

第十一章 极大值 极小值和最优化问题 250

第三节 多元实变函数的极大和极小值 251

11．3-1 相对极大和极小值 251

11．3-2 △f的展式 251

11．3-3 内部极大和极小值的存在条件 251

11．3-4 带有约束或附加条件的极值问题 拉格朗日乘子法 252

11．3-5 数值方法 253

第四节 线性规划 对策论及有关课题 253

11．4-1 线性规划问题 253

11．4-2 单纯形法 255

11．4-3 非线性规划 昆-塔克尔定理 257

11．4-4 有限零-和两人对奕介绍 258

第五节 变分法 定积分的极大和极小值 260

11．5-1 变分 260

11．5-2 定积分的极大和极小值 260

11．5-3 变分问题的解 261

第六节 作为微分方程的解的极值曲线：古典理论 261

11．6-1 极大值和极小值存在的必要条件 261

11．6-3 等周问题 264

11．6-2 带有约束或附加条件的变分问题 264

11．6-4 被积式中有较高阶导数的变分问题的解法 265

11．6-5 带有未知边界值及未知积分限的变分问题 265

11．6-6 波尔察和梅耶尔问题 266

11．6-7 带有隅角的极值曲线 折射、反射和边界极值 266

11．6-8 正则方程和哈密顿-雅可比方程 267

11．6-9 含有两个或两个以上自变量的变分问题 多重积分的极大和极小值 268

11．6-10 关于极大和极小值的充分条件 269

第七节 解变分问题的直接方法 269

11．7-1 直接法 269

11．7-2 瑞利-里兹方法 270

第八节 最优控制问题和最大值原理 271

11．8-1 问题的陈述 271

11．7-3 用多项式函数逼近y(x) 271

11．8-2 彭特列雅金的最大值原理 273

11．8-3 实例 275

11．8-4 控制问题的矩阵记法 277

11．8-5 状态变量的不等式约束 隅角条件 278

第九节 分段控制问题和动态规划 279

11．9-1 问题的陈述 279

11．8-6 动态规划方法 279

11．9-2 贝尔曼的最优化原理 280

第十节 有关课题 参考文献 280

11．10-1 有关课题 280

11．10-2 参考文献 280

第十二章 数学模型的定义：近世(抽象)代数和抽象空间 282

第一节 引言 282

12．1-1 数学模型 282

12．1-2 概貌 282

12．1-4 变换 函数 运算 283

12．1-3 “相等”和等价关系 283

12．1-5 不变性 284

12．1-6 一个模型借助于其他模型的表示：同态和同构 284

第二节 只有一种运算的模型的代数：群 284

12．2-1 群的定义和基本性质 284

12．2-2 子群 285

12．2-3 循环群 群元素的阶 285

12．2-4 复形的乘积 陪集 285

12．2-7 中心 正规化子 286

12．2-6 正规列 合成列 286

12．2-5 共轭元素和共轭子群 正规子群和商群 286

12．2-8 变换群或算子群 287

12．2-9 群的同态和同构 群的表示 287

12．2-10 加法群 剩余类和同余 287

12．2-11 连续群和混合连续群 287

12．2-12 平均值 288

第三节 具有两种运算的模型的代数：环、体和整区 288

12．3-1 定义和基本定理 288

第四节 包含两类数学对象的模型：线性向量空间和线性代数 289

12．4-1 线性向量空间 289

12．3-3 扩张 289

12．3-2 子环和子体 理想 289

12．4-2 线性代数 290

第五节 可以定义极限过程的模型：拓扑空间 291

12．5-1 拓扑空间 291

12．5-2 度量空间 292

12．5-3 度量空间中的拓扑、邻域和收敛 292

12．5-4 具有特殊性质的度量空间 点集论 292

12．5-5 例：数列空间和函数空间 293

12．5-6 巴拿赫压缩映射定理和逐次逼近 294

第六节 序 294

12．6-1 半序集 294

12．6-2 简单有序集 295

12．6-3 有序域 295

第七节 模型的联合：直积、积空间与直和 295

12．7-1 引言 笛卡儿积 295

12．7-5 直和 296

12．7-4 积空间 296

12．7-3 实向量空间的直积 296

12．7-2 群的直积 296

第八节 布尔代数 297

12．8-1 布尔代数 297

12．8-2 布尔函数 化布尔函数为标准型 298

12．8-3 包含关系 299

12．8-4 类的代数 299

12．8-5 布尔代数的同构 范恩图 299

12．8-6 事件代数和符号逻辑 299

12．8-7 用直值表表示布尔函数 卡诺图 300

12．8-8 完全可加性和测度代数 302

第九节 有关课题 参考文献 302

第十三章 矩阵 二次型和埃尔米特型 305

第一节 引言 305

13．1-1 引言 305

第二节 矩阵代数和矩阵微积分 305

13．2-1 矩阵、模 305

13．2-2 基本运算 307

13．2-3 恒等矩阵和逆矩阵 307

13．2-5 矩阵作为数学模型的基石 308

13．2-6 用特殊矩阵作乘法 置换矩阵 308

13．2-4 方阵的整数幂 308

13．2-7 矩阵的秩、迹和行列式 309

13．2-8 矩阵的分块 309

13．2-9 阶梯矩阵 直和 309

13．2-10 矩阵的直积(外积) 310

13．2-11 收敛和微分 310

13．2-12 矩阵的函数 310

第三节 具有特殊对称性质的矩阵 310

13．3-1 矩阵的转置和埃尔米特共轭 310

13．3-3 组合规则 311

13．3-2 具有特殊对称性质的矩阵 311

13．3-4 分解定理 正规矩阵 312

第四节 等价矩阵、特征值、对角化及有关课题 312

13．4-1 等价矩阵和相似矩阵 312

13．4-2 方阵的特征值和谱 313

13．4-3 化方阵为三角形 一个特征值的代数重数 313

13．4-4 矩阵的对角化 314

13．4-5 有限矩阵的特征值和特征方程 314

13．5-2 二次型 315

13．5-1 双线性型 315

第五节 二次型和埃尔米特型 315

13．4-7 凯莱-哈密顿定理和有关课题 315

13．4-6 阶梯矩阵(直和)的特征值 315

13．5-3 埃尔米特型 316

13．5-4 二次型和埃尔米特型的变换。变为对角型 316

13．5-5 两个二次型或埃尔米特型的同时对角化 318

13．5-6 正定、非负定等的判别法 318

第六节 微分方程组的矩阵记法(状态方程) 摄动和李雅普诺夫稳定性理论 319

13．6-1 常微分方程组、矩阵记法 319

13．6-2 常系数线性微分方程组(时变系统) 319

13．6-3 变系数线性系统 321

13．6-4 摄动法和灵敏度方程 322

13．6-5 解的稳定性：定义 322

13．6-6 李雅普诺夫函数和稳定性 323

14．6-2 线性算子在不同的度量体制中的表示 324

13．6-7 应用和例 325

第七节 有关课题 参考文献 326

13．7-1 有关课题 326

13．7-2 参考文献 326

14．1-3 坐标变换 328

14．1-2 数学模型的数值描述：参考系 328

14．1-1 引言 328

第一节 引言 参考系和坐标变换 328

第十四章 向量空间和线性变换(线性算子) 用矩阵表示数学模型 328

14．2-1 定义 329

14．1-5 度量体制的设计 329

14．1-4 不变量 329

第二节 向量空间 329

14．2-2 V中的线性流形和子空间 330

14．2-3 线性无关向量组和线性相关向量组 330

14．2-4 线性流形成向量空间的维数 基和参考系(坐标系) 330

14．2-5 赋范向量空间 331

14．2-6 酉向量空间 331

14．2-7 赋范向量空间中的距离和收敛 巴拿赫空间和希耳伯特空间 332

14．2-8 投影定理 333

第三节 线性变换 线性算子 333

14．3-1 向量空间中的线性变换 线性算子 333

14．3-2 值域、零空间和线性变换(算子)的秩 333

14．3-3 加法以及与纯量的乘法 零变换 333

14．3-6 算子的整数幂 334

14．4-1 线性变换的界 334

第四节 赋范或酉向量空间到自身的线性变换 埃米尔特和酉变换(算子) 334

14．3-5 非奇异线性变换(算子) 334

14．3-4 两个线性变换(算子)的乘积 恒等变换 334

14．4-3 线性变换(算子)的埃尔米特共轭 335

14．4-2 从赋范向量空间到自身的有界线性变换 335

14．4-4 埃尔米特算子 336

14．4-5 酉变换(算子) 336

14．4-6 实酉向量空间的对称，斜对称和正交变换 336

14．4-7 组合规则 337

14．4-8 分解定理 正规算子 337

14．4-9 共轭(伴随，对偶)向量空间 共轭(伴随)算子的更一般定义 337

14．4-10 无穷小线性变换 338

第五节 向量和线性变换(算子)的矩阵表示 339

14．5-1 基向量和向量分量的变换：“主动”型的观点 339

14．5-2 向量和线性变换(算子)的矩阵表示 339

14．5-3 联立线性方程的矩阵记法 340

14．5-4 线性算子的双积表示 340

第六节 参考系的改变 340

14．6-1 基向量和向量分量的变换：“受动”型的观点 340

14．6-3 迭次运算 342

14．7-1 内积的表示 343

14．7-2 参考系的改变 343

第七节 内积的表示 标准正交基 343

14．7-3 正交向量集和规范正交向量集 344

14．7-4 标准正交基(完全的规范正交系) 344

14．7-5 相应于埃尔米特共轭算子的矩阵 345

14．7-6 对偶基 345

第八节 线性算子的特征向量和特征值 346

14．8-1 引言 346

14．7-7 记法的比较 346

14．8-2 不变流形 可分解的线性变换(线性算子)和矩阵 347

14．8-3 特征向量 特征值和谱 347

14．8-4 正规算子和埃尔米特算子的特征向量和特征值 348

14．8-5 特征值和特征向量的确定 有限维的情形 349

14．8-6 矩阵的化简和对角化 主轴变换 350

14．8-7 “广义”特征值问题 351

14．8-8 作为平稳值问题的特征值问题 352

14．8-9 线性算子特征值的界 353

14．9-1 群的表示 354

14．8-10 非齐次线性向量方程 354

第九节 群的表示和有关课题 354

14．9-2 表示的约化 355

14．9-3 群的不可约表示 356

14．9-4 表示的特征标 356

14．9-5 正交关系 356

14．9-6 表示的直积 357

14．9-7 环，域和线性代数 357

14．10-2 旋转角 旋转轴 358

14．10-1 三维欧几里得向量空间中的旋转 358

第十节 旋转的数学描述 358

14．10-3 欧拉参数和吉布斯向量 359

14．10-4 用旋量矩阵和四元数表示向量和旋转 凯莱-克莱茵参数 359

14．10-5 绕坐标轴的旋转 360

14．10-6 欧拉角 361

14．10-7 无穷小旋转 连续旋转和角速度 363

14．10-8 三维旋转群和它的表示 365

第十一节 有关课题 参考文献 366

14．11-1 有关课题 366

14．11-2 参考文献 367

第十五章 线性积分方程 边值问题 特征值问题 369

第一节 引言 泛函分析 369

15．1-1 引言 369

15．1-2 记法 369

第二节 视函数为向量 用正交函数系展开 370

15．2-1 视平方可积函数为向量 内积和规范化 370

15．2-2 L2中的距离和收敛 平均收敛 370

15．2-3 函数的正交和正交函数系 371

15．2-4 完全规范正交函数系(标准正交基) 372

15．2-5 函数系的正交化和规范化 373

15．2-6 用规范正交函数系逼近和展成级数 373

15．2-7 作用于函数上的线性算子 373

第三节 线性积分变换和线性积分方程 374

15．3-1 线性积分变换 374

15．3-2 线性积分方程：概述 375

15．3-3 第二类齐次弗雷德霍姆积分方程：特征函数和特征值 375

15．3-4 展开定理 376

15．3-6 埃尔米特积分型作为变分问题的特征值问题 377

15．3-5 迭次核 377

15．3-7 第二类非齐次弗雷德霍姆方程 378

15．3-8 线性积分方程(16)的解 379

15．3-9 第一类弗雷德霍姆线性积分方程的解 380

15．3-10 伏尔泰拉型积分方程 381

第四节 微分方程的线性边值问题和特征值问题 381

15．4-1 线性边值问题：问题的陈述和记法 381

15．4-2 线性边值问题的辅助齐次微分方程和边界条件 叠加定理 382

15．4-3 埃尔米特共轭和伴随边值问题 埃尔米特算子 383

15．4-4 弗雷德霍姆择一定理 384

15．4-5 线性微分方程的特征值问题 385

15．4-6 埃尔米特特征值问题的特征值和特征函数 完全规范正交特征函数系 385

15．4-7 作为变分问题的埃尔米特特征值问题 386

15．4-8 一维斯图谟-刘维尔型特征值问题 387

15．4-9 二阶偏微分方程的斯图谟-刘维尔问题 388

15．4-10 比较定理 388

15．4-11 解离散特征值问题的摄动方法 389

15．4-12 用特征展开解边值问题 390

第五节 格林函数 边值问题和特征值问题与积分方程的关系 391

15．5-1 带齐次边界条件的边值问题的格林函数 391

15．5-2 边值问题和特征值问题与积分方程的关系 格林预解式 392

15．5-3 格林函数法对初值问题的应用 广义扩散方程 393

15．5-4 非齐次边界条件的格林函数法 393

第六节 位势理论 395

15．6-1 引言 拉普拉斯和泊松微分方程 395

15．6-2 三维位势理论：古典边值问题 395

15．6-3 凯耳文逆定理 395

15．6-4 调和函数的性质 396

15．6-5 拉普拉斯方程和泊松方程的位势解 396

15．6-6 用格林函数求三维边值问题的解 398

15．6-7 二维位势理论 对数位势 399

15．6-8 二维位势理论：共轭调和函数 400

15．6-9 二维边值问题的解 格林函数和保角映射 401

15．6-10 在更一般微分方程上的推广 延迟位势和超前位势 402

第七节 有关课题 参考文献 403

15．7-1 有关课题 403

15．7-2 参考文献 403

16．1-3 用分量描述(表示)抽象函数 哑指标记法 405

16．1-1 绪 405

16．1-2 坐标系和容许变换 405

第一节 引言 405

第十六章 数学模型的表示：张量代数和张量分析 405

16．1-4 度量体制和导出变换 不变量 406

第二节 绝对张量和相对张量 407

16．2-1 用导出变换规则定义绝对张量和相对张量 407

16．2-2 无穷小位移 绝对纯量的梯度 408

16．3-5 混合张量的缩并 409

16．3-4 张量与绝对纯量的乘法 409

16．3-3 张量加法 409

16．3-2 零张量 409

16．3-1 张量的相等 409

第三节 张量代数：基本运算的定义 409

16．3-6 两个张量的(外)积 410

16．3-7 内积 410

16．3-8 张量特征的间接判定 410

第四节 张量代数：张量方程的不变性 411

16．4-1 张量方程的不变性 411

第五节 对称张量和斜对称张量 411

16．5-1 对称和斜对称 411

16．5-3 置换符号 412

16．5-2 克罗内克尔符号δ 412

第六节 局部基向量系 413

16．1-1 用局部基向量表示向量和张量 413

16．6-2 不同度量体制中的局部基向量间的关系 413

16．5-4 两个向量的交错积 413

第七节 在黎曼空间定义的张量 伴随张量 414

16．7-1 黎曼空间和基本张量 414

16．7-3 伴随张量的等价 415

16．7-4 在黎曼空间定义的张量运算 415

16．7-2 伴随张量 指标的升高和降低 415

第八节 数量积与有关课题 416

16．8-1 在黎曼空间定义的两个向量的数量积(内积) 416

16．8-2 局部基向量的数量积 正交坐标系 416

16．8-3 张量的物理分量 416

16．8-4 向量积和数量三重积 417

第九节 在黎曼空间定义的二阶张量(并向量式) 417

16．9-1 并向量式 417

第十节 绝对微分运算 共变微分 418

16．10-1 绝对微分 418

16．9-3 特征值问题 418

16．9-2 内积记法 418

16．10-2 相对张量的绝对微分 420

16．10-3 克里斯托弗尔三指标符号 420

16．10-4 共变微分 421

16．10-5 共变微分法则 422

16．10-6 高阶共变导数 422

16．10-7 微分算子和微分不变量 423

16．10-8 绝对(内蕴)导数和方向导数 423

16．10-11 微分不变量和并向量式的积分定理 424

16．10-10 张量的积分 体积元素 424

16．10-9 沿曲线的张量常量 平行方程 424

第十一节 有关课题 参考文献 425

16．11-1 有关课题 425

16．11-2 参考文献 425

第十七章 微分几何 426

第一节 欧几里得平面中的曲线 426

17．1-1 平面曲线的切线 426

17．1-2 平面曲线的法线 426

17．1-3 奇点 426

17．1-5 密切点 427

17．1-4 平面曲线的曲率 427

17．1-7 平面曲线族的色络 428

17．1-8 等角轨线 428

第二节 三维欧几里得空间中的曲线 428

17．2-1 引言 428

17．2-2 动标三面形 428

17．1-6 渐近线 428

17．2-3 雪列-弗莱纳公式 空间曲线的曲率和挠率 429

17．2-4 切线、主法线和副法线的方程 密切面、法平面和从切面的方程 430

第三节 三维欧几里得空间中的曲面 431

17．3-1 引言 431

17．2-5 其他课题 431

17．2-6 密切点 431

17．3-2 切平面和曲面的法线 432

17．3-3 曲面的第一基本齐式 弧长元素和面积元素 432

17．3-4 曲面上曲线的测地曲率和法曲率 梅尼埃定理 433

17．3-5 第二基本齐式 主曲率、高斯曲率和平均曲率 434

17．3-6 曲面上的特殊方向和特殊曲线 极小曲面 435

17．3-8 基本齐式的系数所满足的偏微分方程 高斯定理 436

17．3-7 作为黎曼空间的曲面 三指标符号和贝尔特拉米参数 436

17．3-9 用E、F、G和L、M、N定义曲面 437

17．3-10 映射 437

17．3-11 包络 438

17．3-12 测地线 438

17．3-13 测地正则坐标 曲面上的几何学 438

17．4-1 引言 439

17．4-2 黎曼空间中的曲线、距离和方向 439

第四节 弯曲空间 439

17．3-14 高斯-波恩涅定理 439

17．4-3 测地线 440

17．4-4 不定度量的黎曼空间 零向和零测地线 441

17．4-5 空间曲率 441

17．4-6 空间曲率的各种形式 平坦空间和欧几里得空间 442

17．4-7 特殊坐标系 443

第五节 有关课题 参考文献 443

17．5-1 有关课题 443

17．5-2 参考文献 444

18．2-1 给定试验的事件代数 445

第二节 概率模型的定义和描述 445

第十八章 概率论和随机过程 445

第一节 引言 445

18．2-2 概率的定义 条件概率 446

18．2-3 统计独立性 446

18．2-4 复合试验 独立试验 独立重复试验 446

18．2-5 组合规则 447

18．2-6 贝叶斯定理 447

18．2-8 随机变量 448

18．2-9 用数值随机变量和分布函数描述的概率模型 448

18．2-7 事件表成样本空间中的集合 448

第三节 一维概率分布 449

18．3-1 离散的一维概率分布 449

18．3-2 连续的一维概率分布 449

18．3-3 期望值与方差 一维概率分布的特征参数 450

18．3-4 正则化 451

18．3-5 切比雪夫不等式和有关公式 452

18．3-6 概率分布的改进描述：使用斯蒂尔吉斯积分 452

18．3-7 一维概率分布的矩 452

18．3-8 特征函数和母函数 453

18．3-9 半不变量 454

18．3-10 由xx(q)、Mx(s)和γx(s)计算矩和半不变量 矩和半不变量的关系 455

第四节 多维概率分布 456

18．4-1 联合分布 456

18．4-2 二维概率分布 边缘分布 456

18．4-3 离散的和连续的二维概率分布 456

18．4-4 期望值、矩、协方差和相关系数 457

18．4-5 涉及两个随机变量的条件概率分布 458

18．4-6 回归 459

18．4-7 n维概率分布 460

18．4-8 期望值和矩 461

18．4-9 回归、复相关系数和偏相关系数 462

18．4-10 特征函数 463

18．4-11 统计独立的随机变量 464

18．4-12 概率分布的熵和有关论题 464

第五节 随机变量的函数 变量的替换 465

18．5-1 引言 465

18．5-2 一维随机变量的函数(或变换) 465

18．5-3 一维随机变量的线性函数(或线性变换) 466

18．5-4 多维随机变量的函数和变换 467

18．5-5 线性变换 468

18．5-6 随机变量的和的均值与方差 469

18．5-7 统计独立的随机变量的和 469

18．5-8 复合分布 470

第六节 依概率收敛和极限定理 470

18．6-1 概率分布序列 依概率收敛 470

18．6-5 极限定理 471

18．6-4 渐近正态概率分布 471

18．6-3 平均收敛 471

18．6-2 分布函数、特征函数和母函数的极限 连续性定理 471

第七节 解概率问题的特殊技术 473

18．7-1 引言 473

18．7-2 有关离散概率分布的问题：计数简单事件和组合分析 473

18．7-3 有关离散概率分布的问题：局部试验中的成功与失败 473

18．8-1 离散的一维概率分布 473

第八节 特殊的概率分布 474

18．8-2 离散的多维概率分布 476

18．8-3 连续的概率分布：正态(高斯)分布 477

18．8-4 正态随机变量：相对于均值的偏离的分布 478

18．8-5 其他连续的一维概率分布 480

18．8-6 二维正态分布 480

18．8-7 圆形正态分布 482

18．8-8 n维正态分布 482

18．8-9 一些特殊概率分布的加法定理 483

第九节 随机过程的数学描述 483

18．9-1 随机过程 483

18．9-3 总体均值 484

18．9-2 随机过程的数学描述 484

18．9-4 用随机参数定义的过程 486

18．9-5 正交函数展开 487

第十节 平稳随机过程 相关函数和谱密度 487

18．10-1 平稳随机过程 487

18．10-2 总体相关函数 488

18．10-3 总体谱密度 488

18．10-4 实值过程的相关函数和谱 489

18．10-5 实值过程的平均“功率”的谱分解 489

18．10-6 一些其他的总体谱密度 489

18．10-8 非总体相关函数和谱密度 490

18．10-7 t均值和遍历性过程 490

18．10-9 具有周期分量的函数 491

18．10-10 推广的傅里叶变换和积分谱 493

第十一节 一些特殊的随机过程 494

18．11-1 具有常量和周期样本函数的过程 494

18．11-2 有限带宽函数和过程 抽样定理 497

18．11-3 高斯随机过程 498

18．11-4 马尔科夫过程和泊松过程 498

18．11-5 由泊松过程产生的一些随机过程 500

18．11-6 由周期抽样产生的随机过程 501

第十二节 有关随机过程的运算 502

18．12-1 和的相关函数及其谱 502

18．12-2 线性系统的输入-输出关系 502

18．12-3 平稳的情形 503

18．12-4 t相关函数和非总体谱的关系 504

18．12-5 非线性运算 504

18．12-6 高斯过程的非线性运算 504

18．13-2 参考文献 505

18．13-1 有关课题 505

第十三节 有关课题 参考文献 505

第十九章 数理统计 507

第一节 统计方法简介 507

19．1-1 统计 507

19．1-2 古典概率模型：随机样本统计 总体的概念 507

19．1-3 概率模型和现实的关系：估计和检验 508

第二节 统计的描述、随机样本统计量的定义和计算 509

19．2-1 统计相对频率 509

19．2-2 样本的分布 分群资料 509

19．2-3 样本平均值 510

19．2-4 样本方差和矩 511

19．2-5 样本平均值和方差的简化 数值计算方法 对分群资料的修正 512

19．2-6 样本极差 513

第三节 常用的概率分布 513

19．3-1 引言 513

19．3-2 理论分布的埃奇沃思-凯普廷表示 513

19．3-3 格兰姆-查利埃和埃奇沃思级数近似 514

19．3-4 截尾正态分布和帕雷图分布 514

19．4-1 估计的性质 515

第四节 经典参数估计 515

19．3-5 皮尔生通用分布 515

19．4-2 用于估计的统计量的性质 516

19．4-3 估计量的获得：矩法 517

19．4-4 极大似然法 517

19．4-5 其他的估计方法 517

第五节 样本分布 518

19．5-1 引言 518

19．5-2 渐近正态样本分布 518

19．5-3 正态总体的样本x2、t和F分布 518

19．5-5 来自有限总体的样本 522

19．5-4 样本极差的分布 522

第六节 经典统计检验 523

19．6-1 统计假设 523

19．6-2 固定样本检验：定义 523

19．6-3 显著性水平 选择简单假设的检验的奈曼-皮尔生准则 524

19．6-4 显著性检验 525

19．6-5 置信区域 525

19．6-6 比较正态总体的检验方差分析 527

19．6-7 拟合优度的x2检验 529

19．7-1 引言 530

第七节 多元分布的一些统计量，样本分布和检验 530

19．6-8 比较两个总体的非参数方法：符号检验 530

19．6-9 推广 530

19．7-2 多元样本产生的统计量 531

19．7-3 参数估计 531

19．7-4 正态总体的样本分布 532

19．7-5 样本均方列联 两个随机变量统计独立性的列联表检验 534

19．7-6 斯皮尔曼秩相关、统计相依性的非参数检验 535

第八节 随机过程的统计和测量 535

19．8-1 简单有限时间平均 535

19．8-2 平均滤波器 536

19．8-3 例 537

19．8-4 样本平均值 538

第九节 带有随机参数的检验与估计 539

19．9-1 问题的陈述 539

19．9-2 贝叶斯估计和检验 540

19．9-3 二元状态和决策变量：统计检验或检测 541

19．9-4 估计(信号提取，回归) 542

19．10-2 参考文献 543

第十节 有关课题 参考文献 543

19．10-1 有关课题 543

第二十章 数值计算与有限差分 545

第一节 引言 545

20．1-1 概貌 545

20．1-2 误差 545

第二节 方程的数值解 546

20．2-1 引言 546

20．2-2 迭代法 牛顿-拉普逊方法和试位法 546

20．2-4 代数方程组的解：迭代法 548

20．2-3 代数方程的数值解：多项式值的计算 548

20．2-5 解代数方程的辅助方法 549

20．2-6 方程组和求最大、最小值问题 551

20．2-7 最速下降法(梯度法) 552

20．2-8 牛顿-拉普逊方法和康特罗维奇定理 553

第三节 线性方程组 逆矩阵和矩阵特征值问题 554

20．3-1 解线性方程组的“直接法”(消去法) 554

20．3-2 线性方程组的迭代法 555

20．3-3 矩阵求逆 557

20．3-4 解线性方程组或求逆矩阵的分块方法 558

20．3-5 矩阵的特征值和特征向量 559

第四节 有限差分和差分方程 560

20．4-1 有限差分和中心平均 560

20．4-2 算子符号 561

20．4-3 差分方程 562

20．4-4 线性常差分方程 563

20．4-5 常系数线性常差分方程：待定系数法 564

20．4-6 常系数线性差分方程的变换方法 564

20．4-7 常差分方程组(状态方程) 矩阵记法 565

20．4-8 稳定性 566

第五节 用插值求函数的近似值 567

20．5-1 引言 567

20．5-2 多项式插值的一般公式 567

20．5-3 等距节点的插值公式 棱形图 568

20．5-4 倒插值 570

20．5-5 “最佳间隔”插值 571

20．5-6 多元多项式插值 571

20．5-7 反差分和有理分式插值 571

20．6-2 某一区间上的最佳平方多项式逼近 574

20．6-1 引言 574

第六节 用正交多项式，截断的傅里叶级数和其他方法作近似 574

20．6-3 某一点集上的最佳平方多项式逼近 575

20．6-4 最小-最大绝对误差逼近 577

20．6-5 幂级数的降阶算法 581

20．6-6 数值调和分析和三角插值 581

20．6-7 其他逼近方法 582

第七节 数值微分和积分 584

20．7-1 数值微分 584

20．7-2 等距节点的数值积分 585

20．7-3 高斯和切比雪夫求积公式 587

20．7-4 求积公式的推导和比较 589

20．7-5 重积分的数值计算 589

第八节 常微分方程的数值解 590

20．8-1 引言和记号 590

20．8-2 初值问题的一步法：欧拉法和龙格-库塔型方法 590

20．8-3 初值问题的多步法 591

20．8-4 改进的多步法 592

20．8-5 不同解法的讨论 步长控制和稳定性 593

20．8-5 高于一阶的常微分方程和常微分方程组 594

20．8-7 二阶方程的特殊公式 595

20．8-8 频率响应分析 596

第九节 偏微分方程，积分方程，边值问题的数值解 596

20．9-1 引言 596

20．9-2 解常微分方程的两点边值问题：差分技术 597

20．9-3 广义牛顿-拉普逊方法(拟线性化) 598

20．9-4 含有两个自变量的偏微分方程数值解的有限差分方法 598

20．9-5 二维差分算子 599

20．9-7 包含三个或三个以上自变量的问题 601

20．9-6 边界条件的表示 601

20．9-8 有限差分近似法的有效性 某些稳定性条件 602

20．9-9 边值问题数值解的近似函数法 602

20．9-10 积分方程的数值解 604

第十节 蒙特-卡罗方法 605

20．10-1 蒙特-卡罗方法 605

20．10-2 两类降低方差的技术 605

20．10-3 先验信息的应用：重要性抽样 606

20．10-4 某些随机数的生成 随机性检验 606

20．11-2 参考文献 607

20．11-1 有关课题 607

第十一节 有关课题 参考文献 607

第二十一章 特殊函数 611

第一节 引言 611

第二节 初等超越函数 611

21．2-1 三角函数 611

21．2-2 三角函数之间的关系 613

21．2-3 加法公式和倍角公式 614

21．2-4 反三角函数 615

21．2-5 双曲函数 616

21．2-6 双曲函数之间的关系 617

21．2-7 关于复合角的双曲函数公式 617

21．2-8 反双曲函数 618

21．2-9 指数函数、三角函数和双曲函数之间的关系 618

21．2-10 对数的分解 619

21．2-11 反三角函数、反双曲函数和对数函数之间的关系 620

21．2-12 幂级数展式和其他展式 620

21．2-13 某些有用的不等式 620

21．3-1 正弦积分、余弦积分、指数和对数积分 621

第三节 由某些超越函数积分式定义的函数 621

21．3-2 菲涅耳积分和误差函数 622

第四节 Г(伽马)函数和有关函数 623

21．4-1 Г(伽马)函数 623

21．4-2 Г(z)和n!的斯特林展式 624

21．4-3 双伽马函数 625

21．4-4 β(贝塔)函数 625

21．4-5 不完全Г(伽马)和β(贝塔)函数 625

21．5-2 伯努利多项式和伯努利数 626

21．5-1 二项式系数和阶乘多项式 626

第五节 二项式系数和阶乘多项式 伯努利多项式和伯努利数 626

21．5-3 关于多项式和阶乘多项式的公式 628

21．5-4 (N?)的近似公式 628

第六节 椭圆函数 椭圆积分以及有关课题 628

21．6-1 椭圆函数 一般性质 628

21．6-2 维尔斯特拉斯?函数 629

21．6-3 维尔斯特拉斯ζ和σ函数 630

21．6-4 椭圆积分 631

21．6-5 椭圆积分的简化 631

21．6-6 勒让德正规椭圆积分 633

21．6-7 雅可比椭圆函数 638

21．6-8 雅可比θ函数 642

21．6-9 雅可比椭圆函数、维尔斯特拉斯椭圆函数和θ函数之间的关系 643

第七节 正交多项式 644

21．7-1 概述 644

21．7-2 正交多项式的实零点 644

21．7-3 勒让德函数 644

21．7-4 第一和第二类切比雪夫多项式 645

21．7-5 连带的拉盖尔多项式和函数 645

21．7-6 埃米尔特函数 651

21．7-7 若干积分公式 652

21．7-8 雅可比多项式和盖根堡多项式 652

第八节 柱面函数、连带的勒让德函数和球面调和函数 653

21．8-1 贝塞耳函数和其他柱面函数 653

21．8-2 积分公式 654

21．8-3 柱面函数的零点 656

21．8-4 贝塞耳函数J0(z)，J1(z)，J2(z) 656

21．8-5 用柱面函数表示微分方程的解以及有关函数 660

21．8-6 修正贝塞耳和汉克尔函数 660

21．8-8 球面贝塞耳函数 661

21．8-7 函数ber_mz，bei_mz，her_mz，hei_mz，ker_mz，kei_mz 661

21．8-9 柱面函数和球面贝塞耳函数对于较大的绝对值z的渐近展开 662

21．8-10 连带的勒让德函数和多项式 663

21．8-11 包含连带的勒让德多项式的积分公式 664

21．8-12 球面调和函数 正交性 664

21．8-13 加法定理 666

第九节 阶梯函数和符号脉冲函数 667

21．9-1 阶梯函数 667

21．9-2 符号狄拉克δ-函数 668

21．9-3 阶梯函数和脉冲函数的“导数” 669

21．9-4 脉冲函数的逼近 670

21．9-5 傅里叶积分表示 671

21．9-6 非对称脉冲函数 671

21．9-7 高维δ-函数 671

第十节 参考文献 672

附录A 平面图形和立体的公式 673

A-1 梯形 673

A-2 正多边形 673

A-3 圆 673

A-6 五个正多面体 674

A-5 旋转体 674

A-4 棱柱，棱锥，圆柱体和圆锥体 674

附录B 平面三角和球面三角 675

平面三角 675

B-1 引言 675

B-2 直角三角形 675

B-3 平面三角形的性质 675

B-4 三角形计算公式 676

B-5 球面三角形：引言 677

球面三角 677

B-6 球面三角形的性质 678

B-7 球面直角三角形 678

B-8 球面三角形的计算公式 679

B-9 用半正矢函数表示的公式 680

参考文献 681

附录C 排列、组合以及有关课题 681

表C-1 排列和划分 681

表C-2 组合和取样 681

C-1 母函数的应用 682

表C-3 占位 682

C-2 波利亚计数定理 683

参考文献 684

附录D 傅里叶展式和拉普拉斯变换对偶表 684

D-1 概述 684

D-2 傅里叶变换对偶和拉普拉斯变换对偶 684

表D-1 周期函数的傅里叶系数和均方值 685

表D-2 傅里叶变换 686

表D-4 傅里叶正弦变换 688

表D-3 傅里叶余弦变换 688

表D-5 汉克尔变换 689

表D-6 有理代数函数的拉普拉斯变换对偶F(s)=D1(s)/D(s) 690

表D-7 拉普拉斯变换 694

参考文献 700

附录E 积分，求和，无穷级数与无穷乘积，连分数 701

积分表 701

E-1 基本不定积分 701

E-2 不定积分 702

E-3 定积分 732

E-4 某些有限和 738

求和，无穷级数 738

E-5 各种无穷级数 739

E-6 幂级数：二项级数 740

E-7 初等超越函数的幂级数 741

无穷级数和连分数 742

E-8 某些无穷乘积 742

E-9 某些连分数 742

表E-1 级数的运算 743

参考文献 743

附录F 数值表 744

表F-1 平方表 746

表F-2 五位常用对数 749

表F-3 三角函数的真数及其对数 766

表F-4 指数和双曲函数的值及其对数 774

表F-5 自然对数或双曲对数 781

表F-6a 正弦积分St(x) 782

表F-6b S1(x)和余弦积分C1(x) 783

表F-7 指数积分和有关积分 784

表F-8 完全椭圆积分，K和E 788

表F-9b 二项式展开的系数 789

表F-9a 阶乘和倒数 789

表F-10 伽马函数 790

表F-11a 贝塞耳函数：J0(x)和J1(x) 792

表F-11b 贝塞耳函数：N0(x)和N1(x) 798

表F-11c 贝塞耳函数：I0(x)和I1(x) 804

表F-11d 贝塞耳函数：K0(x)和K1(x) 808

表F-11e 贝塞耳函数的辅助函数 812

表F-12 勒让德多项式 816

表F-13 概率函数或误差积分：erfx 817

表F-14 正态分布面积 818

表F-15 正态曲线的纵坐标 819

表F-16 t-分布 820

表F-17 x2分布 821

表F-18 F分布 822

表F-19 随机数 826

表F-20 正态随机数 831

表F-21 sinx/x 836

表F-22 切比雪夫多项式Tm(x) 845

符号和记法汇编 846

人名英汉对照表 852