第一章 向量空间与空间解析几何 1
§1．向量及其运算 1
习题1-1 5
§2．向量组的线性相关性 5
一、向量组的线性相关与线性无关 5
二、向量组的最大无关组 10
习题1-2 11
一、向量空间及向量空间的基和维数 12
§3．向量空间、向量的内积 12
二、向量的内积 14
三、向量的正交规范基 15
习题1-3 18
§4．三维空间的直角坐标系及向量 18
一、空间直角坐标系 19
§5．平面及其方程 20
二、空间两点间的距离 21
三、数量积、向量积 22
习题1-4 29
一、平面的点法式方程 30
二、平面的一般方程 31
三、两平面的夹角 33
习题1-5 35
§6．空间直线及其方程 35
一、空间直线的一般方程 35
二、空间直线的对称式方程与参数方程 36
三、两直线的夹角 39
四、直线与平面的夹角 39
习题1-6 42
§7．曲面和空间曲线 42
一、曲面及其方程 42
二、空间曲线及其方程 46
三、二次曲面 49
习题1-7 53
一、n阶行列式 54
§1．行列式 54
第二章 矩阵与线性方程组 54
二、行列式的性质 56
三、克莱姆法则 61
习题2-1 62
§2．矩阵及运算 63
一、矩阵的定义 63
二、矩阵的代数运算 65
三、矩阵的秩 67
四、矩阵的逆 68
习题2-2 70
§3．矩阵的初等变换 71
一、矩阵的初等行变换 71
二、用初等行变换求矩阵的秩 72
三、初等矩阵 73
四、用初等行变换求逆矩阵 75
五、矩阵的初等列变换 76
六、矩阵与向量组 77
习题2-3 82
§4．矩阵的分块 83
一、分块矩阵的定义 83
二、分块矩阵的加法 83
三、分块矩阵的乘法 84
四、准对角矩阵 86
习题2-4 88
§5．线性方程组 89
一、高斯消元法 89
二、线性方程组的相容性定理 94
三、线性方程组解的结构 95
习题2-5 97
第三章 多元函数微分学 99
§1．多元函数的概念 99
一、区域 99
二、二元函数的概念 101
三、二元函数的几何表示 102
一、二元函数的极限 103
习题3-1 103
§2．多元函数的极限与连续性 103
二、二元函数的连续性 105
习题3-2 106
§3．多元函数的导数 107
一、多元函数的变化率 107
二、偏导数的定义 108
三、偏导数的几何意义 110
四、方向导数 111
习题3-3 112
§4．多元函数的微分 113
一、全微分 113
二、全微分的运算法则 116
三、方向导数的计算 116
习题3-4 118
§5．多元复合函数的导数 118
一、链导法则 118
二、全微分的形式不变性 121
习题3-5 122
§6．隐函数的导数 123
一、一个方程的情形 123
二、方程组的情形 125
习题3-6 127
§7．高阶偏导数及泰勒公式 128
一、高阶偏导数 128
三、多元泰勒公式 132
二、高阶微分 132
习题3-7 135
第四章 多元函数微分学的应用 136
§1．曲线的切线和法平面方程 136
习题4-1 139
§2．曲面的切平面和法线方程 139
一、曲面的切平面与法线 139
二、二函数全微分的几何意义 143
习题4-2 143
§3．平面曲线族的包络 144
习题4-3 148
§4、二次型 148
一、二次型的概念 148
二、二次型相对称矩阵的有定性 151
习题4-4 152
§5．多元函数的极值 153
一、极值 153
二、最大值和最小值 155
三、条件极值 158
习题4-5 162
第五章 多元函数积分学 163
§1．R″(n≤3)中的黎曼积分 163
—、R″(n≤3)中的一类数学模型 163
二、黎曼积分的概念 167
二、黎曼积分的性质 169
习题5-1 173
一、直角坐际系下的二重积分 174
§2．二重积分的计算 174
二、二重积分的换元法 180
三、利用极坐标计算二重积分 184
习题5-2 186
§3．二重积分的计算 188
一、直角坐标系下的二重积分 188
二、三重积分的换元法 192
三、柱面坐标系下的三重积分 194
四、球面坐标系—F的三重积分 196
习题5-3 199
§4．广义重积分 200
一、无界区域上的二重积分 200
二、含瑕点的二重积分 203
习题5-4 204
§5．对弧长的曲线积分和对面积的曲面积分的计算 204
一、对弧长的曲线积分的计算 204
二、对面积的曲面积分的计算 207
习题5-5 212
§6．多元函数积分学在几何和物理中的应用 213
一、面积 214
二、体积 221
三、弧长 225
四、质量 227
五、重心 229
习题5-6 232
一、向量函数 234
§1．向量函数的极限和连续性 234
第六章 向量函数及场论 234
二、向量函数的极限 235
三、向量函数的连续性 236
四、终端曲线和曲面 236
习题6-1 238
§2．向量函数的导数和积分 238
一、向量函数的导数和偏导数 238
二、向量函数的微分 241
三、一元向量函数的定积分 244
习题6-2 245
§3．向量函数的曲线积分 246
一、对坐际的曲线积分 246
二、对坐际的曲线积分的计算 249
三、对坐标的曲线积分与对弧长的曲线积分之间的联系 253
习题6-3 254
§4．格林公式 255
一、格林公式 255
二、平面曲线积分与路径无关的条件 259
三、原函数与全微分方程 264
习题6-4 267
§5．向量函数的曲面积分 269
一、有向曲面 269
二、对坐际的曲面积分 270
三、对坐标曲面积分的计算 271
四、两类曲面积分之间的联系 275
习题6-5 276
一、高斯公式 277
§6．高斯公式与斯托克斯公式 277
二、斯托克斯公式 281
习题6-6 285
§7．数量场及其物理量 286
一、数量场 286
二、数量场的梯度 287
习题6-7 289
§8．向量场及其物理量 289
一、向量场 289
二、通量与散度 291
三、环量与旋度 294
四、几种重要的向量场 296
习题6-8 298
第七章 多元函数的微积分(续) 300
§1．n元函数的概念 300
一、n维空间R″ 300
二、n元函数的定义 301
三、n元函数的极限和连续性 302
习题7-1 304
§2．n元函数的导数和微分 304
一、n元函数的偏导数 304
二、n元函数的全微分 305
三、复合函数的微分法 307
习题7-2 309
§3．n重积分 309
一、n重积分的概念 309
二、n重积分的计算 310
习题7-3 312
§4．n元函数微积分的应用 312
一、n元函数的极值 312
二、n元函数的最大值、最小值 313
三、拉格朗日乘数法 314
四、n重积分求“体积” 317
习题7-4 318
二、线性变换关于给定基的矩阵 320
一、线性变换的定义 320
第八章 线性变换与二次型 320
§1．线性变换 320
三、线性变换的运算 322
四、线性变换在新基下的矩阵 324
习题8-1 326
§2．特征值与特征向量 327
一、矩阵的特征值与特征向量 327
二、线性变换的特征值与特征向量 329
习题8-2 330
§3．n元二次型的标准化 331
一、二次型及其标准形 331
二、用正交变换化二次型为标准形 332
三、二次型和实对称矩阵的有定性 339
习题8-3 341
第九章 含参变量的积分 342
§1．含参变量的积分 342
习题9-1 348
§2．含参变量的广义积分 349
习题9-2 354
§3．г函数和в函数 355
一、г函数 355
二、в函数 358
习题9-3 360
§4．傅里叶级数 361
一、周期为2π的函数的傅里叶级数展开 361
二、函数的周期性延拓 367
三、周期为T的函数的傅里叶级数展开 370
习题9-4 372
§5．傅里叶变换 373
一、傅里叶积分 373
二、傅里叶变换 376
三、单位脉冲函数 378
四、傅里叶变换的性质 380
习题9-5 382
§6．拉普拉斯变换 383
一、拉普拉斯变换的定义 384
二，拉普拉斯变换的性质 388
二、拉普拉斯逆变换的求法 391
四、常微分方程的拉普拉斯变换解法 393
习题9-6 395
第十章 偏微分方程 397
§1．基本概念和方程的导出 397
一、几个典型方程的导出 397
二、偏微分方程的基本概念及其分类 400
三、方程的定解条件 402
习题10-1 403
§2．分离变量法 404
一、弦振动方程的混合问题 404
二、一维热传导方程的混合问题 408
三、非齐次边界条件 409
四、非齐次方程(齐次边界条件) 410
习题10-2 411
§3．积分变换法 412
一、傅里叶变换在解定解问题中的应用 412
二、拉普拉斯变换在解定解问题中的应用 415
习题10-3 416
§4．达朗贝尔公式 417
一、特征方程和特征线 417
二、无界弦的自由振动、达朗贝尔公式 418
三、半无界弦的自由振动、对称延拓法 419
四、无界弦的强迫振动、齐次化原理 420
习题10-4 421
§5．格林函数 422
一、格林公式与基本解 422
二、格林函数 425
习题10-5 427
附录1 Fourier变换简表 428
附录2 Laplace变换简表 431
习题答案 434