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第一章 向量空间与空间解析几何 1

§1．向量及其运算 1

习题1-1 5

§2．向量组的线性相关性 5

一、向量组的线性相关与线性无关 5

二、向量组的最大无关组 10

习题1-2 11

一、向量空间及向量空间的基和维数 12

§3．向量空间、向量的内积 12

二、向量的内积 14

三、向量的正交规范基 15

习题1-3 18

§4．三维空间的直角坐标系及向量 18

一、空间直角坐标系 19

§5．平面及其方程 20

二、空间两点间的距离 21

三、数量积、向量积 22

习题1-4 29

一、平面的点法式方程 30

二、平面的一般方程 31

三、两平面的夹角 33

习题1-5 35

§6．空间直线及其方程 35

一、空间直线的一般方程 35

二、空间直线的对称式方程与参数方程 36

三、两直线的夹角 39

四、直线与平面的夹角 39

习题1-6 42

§7．曲面和空间曲线 42

一、曲面及其方程 42

二、空间曲线及其方程 46

三、二次曲面 49

习题1-7 53

一、n阶行列式 54

§1．行列式 54

第二章 矩阵与线性方程组 54

二、行列式的性质 56

三、克莱姆法则 61

习题2-1 62

§2．矩阵及运算 63

一、矩阵的定义 63

二、矩阵的代数运算 65

三、矩阵的秩 67

四、矩阵的逆 68

习题2-2 70

§3．矩阵的初等变换 71

一、矩阵的初等行变换 71

二、用初等行变换求矩阵的秩 72

三、初等矩阵 73

四、用初等行变换求逆矩阵 75

五、矩阵的初等列变换 76

六、矩阵与向量组 77

习题2-3 82

§4．矩阵的分块 83

一、分块矩阵的定义 83

二、分块矩阵的加法 83

三、分块矩阵的乘法 84

四、准对角矩阵 86

习题2-4 88

§5．线性方程组 89

一、高斯消元法 89

二、线性方程组的相容性定理 94

三、线性方程组解的结构 95

习题2-5 97

第三章 多元函数微分学 99

§1．多元函数的概念 99

一、区域 99

二、二元函数的概念 101

三、二元函数的几何表示 102

一、二元函数的极限 103

习题3-1 103

§2．多元函数的极限与连续性 103

二、二元函数的连续性 105

习题3-2 106

§3．多元函数的导数 107

一、多元函数的变化率 107

二、偏导数的定义 108

三、偏导数的几何意义 110

四、方向导数 111

习题3-3 112

§4．多元函数的微分 113

一、全微分 113

二、全微分的运算法则 116

三、方向导数的计算 116

习题3-4 118

§5．多元复合函数的导数 118

一、链导法则 118

二、全微分的形式不变性 121

习题3-5 122

§6．隐函数的导数 123

一、一个方程的情形 123

二、方程组的情形 125

习题3-6 127

§7．高阶偏导数及泰勒公式 128

一、高阶偏导数 128

三、多元泰勒公式 132

二、高阶微分 132

习题3-7 135

第四章 多元函数微分学的应用 136

§1．曲线的切线和法平面方程 136

习题4-1 139

§2．曲面的切平面和法线方程 139

一、曲面的切平面与法线 139

二、二函数全微分的几何意义 143

习题4-2 143

§3．平面曲线族的包络 144

习题4-3 148

§4、二次型 148

一、二次型的概念 148

二、二次型相对称矩阵的有定性 151

习题4-4 152

§5．多元函数的极值 153

一、极值 153

二、最大值和最小值 155

三、条件极值 158

习题4-5 162

第五章 多元函数积分学 163

§1．R″(n≤3)中的黎曼积分 163

—、R″(n≤3)中的一类数学模型 163

二、黎曼积分的概念 167

二、黎曼积分的性质 169

习题5-1 173

一、直角坐际系下的二重积分 174

§2．二重积分的计算 174

二、二重积分的换元法 180

三、利用极坐标计算二重积分 184

习题5-2 186

§3．二重积分的计算 188

一、直角坐标系下的二重积分 188

二、三重积分的换元法 192

三、柱面坐标系下的三重积分 194

四、球面坐标系—F的三重积分 196

习题5-3 199

§4．广义重积分 200

一、无界区域上的二重积分 200

二、含瑕点的二重积分 203

习题5-4 204

§5．对弧长的曲线积分和对面积的曲面积分的计算 204

一、对弧长的曲线积分的计算 204

二、对面积的曲面积分的计算 207

习题5-5 212

§6．多元函数积分学在几何和物理中的应用 213

一、面积 214

二、体积 221

三、弧长 225

四、质量 227

五、重心 229

习题5-6 232

一、向量函数 234

§1．向量函数的极限和连续性 234

第六章 向量函数及场论 234

二、向量函数的极限 235

三、向量函数的连续性 236

四、终端曲线和曲面 236

习题6-1 238

§2．向量函数的导数和积分 238

一、向量函数的导数和偏导数 238

二、向量函数的微分 241

三、一元向量函数的定积分 244

习题6-2 245

§3．向量函数的曲线积分 246

一、对坐际的曲线积分 246

二、对坐际的曲线积分的计算 249

三、对坐标的曲线积分与对弧长的曲线积分之间的联系 253

习题6-3 254

§4．格林公式 255

一、格林公式 255

二、平面曲线积分与路径无关的条件 259

三、原函数与全微分方程 264

习题6-4 267

§5．向量函数的曲面积分 269

一、有向曲面 269

二、对坐际的曲面积分 270

三、对坐标曲面积分的计算 271

四、两类曲面积分之间的联系 275

习题6-5 276

一、高斯公式 277

§6．高斯公式与斯托克斯公式 277

二、斯托克斯公式 281

习题6-6 285

§7．数量场及其物理量 286

一、数量场 286

二、数量场的梯度 287

习题6-7 289

§8．向量场及其物理量 289

一、向量场 289

二、通量与散度 291

三、环量与旋度 294

四、几种重要的向量场 296

习题6-8 298

第七章 多元函数的微积分(续) 300

§1．n元函数的概念 300

一、n维空间R″ 300

二、n元函数的定义 301

三、n元函数的极限和连续性 302

习题7-1 304

§2．n元函数的导数和微分 304

一、n元函数的偏导数 304

二、n元函数的全微分 305

三、复合函数的微分法 307

习题7-2 309

§3．n重积分 309

一、n重积分的概念 309

二、n重积分的计算 310

习题7-3 312

§4．n元函数微积分的应用 312

一、n元函数的极值 312

二、n元函数的最大值、最小值 313

三、拉格朗日乘数法 314

四、n重积分求“体积” 317

习题7-4 318

二、线性变换关于给定基的矩阵 320

一、线性变换的定义 320

第八章 线性变换与二次型 320

§1．线性变换 320

三、线性变换的运算 322

四、线性变换在新基下的矩阵 324

习题8-1 326

§2．特征值与特征向量 327

一、矩阵的特征值与特征向量 327

二、线性变换的特征值与特征向量 329

习题8-2 330

§3．n元二次型的标准化 331

一、二次型及其标准形 331

二、用正交变换化二次型为标准形 332

三、二次型和实对称矩阵的有定性 339

习题8-3 341

第九章 含参变量的积分 342

§1．含参变量的积分 342

习题9-1 348

§2．含参变量的广义积分 349

习题9-2 354

§3．г函数和в函数 355

一、г函数 355

二、в函数 358

习题9-3 360

§4．傅里叶级数 361

一、周期为2π的函数的傅里叶级数展开 361

二、函数的周期性延拓 367

三、周期为T的函数的傅里叶级数展开 370

习题9-4 372

§5．傅里叶变换 373

一、傅里叶积分 373

二、傅里叶变换 376

三、单位脉冲函数 378

四、傅里叶变换的性质 380

习题9-5 382

§6．拉普拉斯变换 383

一、拉普拉斯变换的定义 384

二，拉普拉斯变换的性质 388

二、拉普拉斯逆变换的求法 391

四、常微分方程的拉普拉斯变换解法 393

习题9-6 395

第十章 偏微分方程 397

§1．基本概念和方程的导出 397

一、几个典型方程的导出 397

二、偏微分方程的基本概念及其分类 400

三、方程的定解条件 402

习题10-1 403

§2．分离变量法 404

一、弦振动方程的混合问题 404

二、一维热传导方程的混合问题 408

三、非齐次边界条件 409

四、非齐次方程(齐次边界条件) 410

习题10-2 411

§3．积分变换法 412

一、傅里叶变换在解定解问题中的应用 412

二、拉普拉斯变换在解定解问题中的应用 415

习题10-3 416

§4．达朗贝尔公式 417

一、特征方程和特征线 417

二、无界弦的自由振动、达朗贝尔公式 418

三、半无界弦的自由振动、对称延拓法 419

四、无界弦的强迫振动、齐次化原理 420

习题10-4 421

§5．格林函数 422

一、格林公式与基本解 422

二、格林函数 425

习题10-5 427

附录1 Fourier变换简表 428

附录2 Laplace变换简表 431

习题答案 434