第1章 数值计算原理与计算精确度 1
1 数值计算的一般原理 1
1-1 数学问题与数值计算 1
1-2 数值问题与算法 2
1-3 数值计算的共同思想和方法 4
2 数值计算中的精确度分析 9
2-1 误差来源与误差估计问题 9
2-2 算法的数值稳定性 11
2-3 病态问题与条件数 14
3 并行算法及其基本概念 16
3-1 并行算法及其分类 16
3-2 并行算法基本概念 19
3-3 并行算法设计与二分技术 21
评注 25
习题 26
数值实验题 28
第2章 数值逼近与数值积分 37
1 函数逼近的基本概念 37
1-1 数值逼近与函数空间 37
1-2 范数与赋范空间 39
1-3 函数逼近与插值 40
1-4 内积与正交多项式 42
2-1 最佳平方逼近与勒让德展开 50
2 多项式逼近 50
2-2 曲线拟合的最小二乘法 56
2-3 最佳一致逼近与切比雪夫展开 60
3 多项式插值与样条插值 66
3-1 多项式插值及其病态性质 66
3-2 三次样条插值 72
3-3 B-样条函数 77
4 有理逼近 82
4-1 有理逼近与连分式 82
4-2 有理插值 84
4-3 帕德逼近 88
5-1 代数精确度与高斯型求积公式 95
5 高斯型求积公式 95
5-2 高斯-勒让德求积公式 102
5-3 高斯-切比雪夫求积公式 104
5-4 固定部分节点的高斯型求积公式 105
6 积分方程数值解 107
7 奇异积分与振荡函数积分计算 109
7-1 反常积分的计算 109
7-2 无穷区间积分 113
7-3 振荡函数积分 115
8-1 蒙特卡罗方法及其收敛性 118
8 计算多重积分的蒙特卡罗方法 118
8-2 误差估计 122
8-3 方差缩减法 123
8-4 分层抽样法 125
8-5 等分布序列 127
评注 128
习题 129
数值实验题 134
1 引言、线性代数的一些基础知识 140
1-1 引言 140
第3章 线性代数方程组的数值解法 140
1-2 向量空间和内积 141
1-3 矩阵空间和矩阵的一些性质 143
1-4 向量的范数 145
1-5 矩阵的范数 146
1-6 初等矩阵 151
2 Gauss消去法和矩阵的三角分解 153
2-1 Gauss顺序消去法 154
2-2 矩阵的三角分解、直接三角分解解法 156
2-3 选主元的消去法和三角分解 160
2-4 对称正定方程组 163
3-1 矩阵的条件数与扰动方程组的误差界 165
3 矩阵的条件数与病态方程组 165
3-2 病态方程组的解法 170
4 大型稀疏方程组的直接方法 171
4-1 稀疏矩阵及其存储 171
4-2 稀疏方程组的直接方法介绍 177
4-3 带状方程组的三角分解方法 181
4-4 三对角和块三对角方程组的追赶法和循环约化方法 185
5 迭代法的一般概念 191
5-1 向量序列和矩阵序列的极限 191
5-2 迭代法的构造 193
5-3 迭代法的收敛性和收敛速度 197
5-4 J法和GS法的收敛性 201
6 超松驰迭代法 204
6-1 超松弛迭代法和对称超松弛迭代法 204
6-2 超松弛迭代法的收敛性 207
6-3 块迭代方法 211
6-4 模型问题的红黑排序 213
7 极小化方法 215
7-1 与方程组等价的变分问题 216
7-2 最速下降法 217
7-3 共轭梯度法 218
7-4 预处理共轭梯度方法 224
7-5 多项式预处理 226
评注 230
习题 231
数值实验题 238
第4章 非线性方程组数值解法 242
1 引言 242
1-1 非线性方程组求解问题 242
1-2 几类典型非线性问题 245
2 向量值函数的导数及其性质 248
2-1 连续与可导 248
2-2 导数性质与中值定理 251
3 压缩映射与不动点迭代法 252
3-1 压缩映射与不动点定理 252
3-2 不动点迭代法及其收敛性 255
4 牛顿法与牛顿型迭代法 259
4-1 牛顿法及其收敛性 259
4-2 牛顿法的变形与离散牛顿法 263
4-3 牛顿松弛型迭代法 267
5 拟牛顿法与Broyden方法 270
5-1 拟牛顿法基本思想 270
5-2 秩1拟牛顿法与Broyden方法 271
6-1 延拓法基本思想 275
6 延拓法 275
6-2 数值延拓法 277
6-3 参数微分法 279
7 并行多分裂方法 282
7-1 线性多分裂方法 282
7-2 非线性多分裂方法 285
8 非线性最小二乘问题数值方法 291
评注 295
习题 296
数值实验题 299
1-1 特征值问题的性质 303
1 特征值问题的性质和估计 303
第5章 矩阵特征值问题的计算方法 303
1-2 特征值的估计 305
1-3 特征值的扰动 307
2 正交变换和矩阵分解 308
2-1 Householder变换 308
2-2 Givens变换 311
2-3 矩阵的QR分解 312
2-4 矩阵的Schur分解 316
2-5 正交相似变换化矩阵为Hessenberg形 318
3 幂迭代法和逆幂迭代法 322
3-1 幂迭代法 322
3-2 加速技术(Aitken方法) 325
3-3 收缩方法 327
3-4 逆幂迭代法 328
4 QR算法 330
4-1 QR迭代的基本算法和性质 330
4-2 Hessenberg矩阵的QR方法 332
4-3 带有原点位移的QR方法 334
4-4 双重步QR方法 337
5 对称矩阵特征值问题的计算 342
5-1 对称QR方法 342
5-2 Rayleigh商加速和Rayleigh商迭代 344
5-3 Lanczos方法 346
评注 349
习题 350
数值实验题 354
第6章 常微分方程数值方法 356
1 初值问题数值方法 356
1-1 数值方法概述 356
1-2 局部截断误差与相容性 359
1-3 收敛性与稳定性 363
1-4 绝对稳定性与绝对稳定域 367
2-1 刚性方程组 372
2 刚性微分方程及其数值方法的稳定性概念 372
2-2 稳定性概念的扩充 377
3 解刚性方程的线性多步法 379
3-1 吉尔方法及其改进 379
3-2 含二阶导数的线性多步法 381
3-3 隐性问题与迭代法 383
4 隐式龙格-库塔法 384
4-1 龙格-库塔法的一般结构 384
4-2 基于数值求积公式的隐式RK方法 386
4-3 稳定性函数与隐式RK方法的A-稳定性 391
4-4 对角隐式RK方法 393
5 非线性方法 395
6 边值问题数值方法 398
6-1 打靶法 399
6-2 差分法 402
评注 407
习题 408
数值实验题 411
附录A 数学软件Matlab入门 416
附录B Matlab的工具箱 433
附录C 其他数学软件工具概览 438
参考文献 450
索引 454