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第1章 数值计算原理与计算精确度 1

1 数值计算的一般原理 1

1-1 数学问题与数值计算 1

1-2 数值问题与算法 2

1-3 数值计算的共同思想和方法 4

2 数值计算中的精确度分析 9

2-1 误差来源与误差估计问题 9

2-2 算法的数值稳定性 11

2-3 病态问题与条件数 14

3 并行算法及其基本概念 16

3-1 并行算法及其分类 16

3-2 并行算法基本概念 19

3-3 并行算法设计与二分技术 21

评注 25

习题 26

数值实验题 28

第2章 数值逼近与数值积分 37

1 函数逼近的基本概念 37

1-1 数值逼近与函数空间 37

1-2 范数与赋范空间 39

1-3 函数逼近与插值 40

1-4 内积与正交多项式 42

2-1 最佳平方逼近与勒让德展开 50

2 多项式逼近 50

2-2 曲线拟合的最小二乘法 56

2-3 最佳一致逼近与切比雪夫展开 60

3 多项式插值与样条插值 66

3-1 多项式插值及其病态性质 66

3-2 三次样条插值 72

3-3 B-样条函数 77

4 有理逼近 82

4-1 有理逼近与连分式 82

4-2 有理插值 84

4-3 帕德逼近 88

5-1 代数精确度与高斯型求积公式 95

5 高斯型求积公式 95

5-2 高斯-勒让德求积公式 102

5-3 高斯-切比雪夫求积公式 104

5-4 固定部分节点的高斯型求积公式 105

6 积分方程数值解 107

7 奇异积分与振荡函数积分计算 109

7-1 反常积分的计算 109

7-2 无穷区间积分 113

7-3 振荡函数积分 115

8-1 蒙特卡罗方法及其收敛性 118

8 计算多重积分的蒙特卡罗方法 118

8-2 误差估计 122

8-3 方差缩减法 123

8-4 分层抽样法 125

8-5 等分布序列 127

评注 128

习题 129

数值实验题 134

1 引言、线性代数的一些基础知识 140

1-1 引言 140

第3章 线性代数方程组的数值解法 140

1-2 向量空间和内积 141

1-3 矩阵空间和矩阵的一些性质 143

1-4 向量的范数 145

1-5 矩阵的范数 146

1-6 初等矩阵 151

2 Gauss消去法和矩阵的三角分解 153

2-1 Gauss顺序消去法 154

2-2 矩阵的三角分解、直接三角分解解法 156

2-3 选主元的消去法和三角分解 160

2-4 对称正定方程组 163

3-1 矩阵的条件数与扰动方程组的误差界 165

3 矩阵的条件数与病态方程组 165

3-2 病态方程组的解法 170

4 大型稀疏方程组的直接方法 171

4-1 稀疏矩阵及其存储 171

4-2 稀疏方程组的直接方法介绍 177

4-3 带状方程组的三角分解方法 181

4-4 三对角和块三对角方程组的追赶法和循环约化方法 185

5 迭代法的一般概念 191

5-1 向量序列和矩阵序列的极限 191

5-2 迭代法的构造 193

5-3 迭代法的收敛性和收敛速度 197

5-4 J法和GS法的收敛性 201

6 超松驰迭代法 204

6-1 超松弛迭代法和对称超松弛迭代法 204

6-2 超松弛迭代法的收敛性 207

6-3 块迭代方法 211

6-4 模型问题的红黑排序 213

7 极小化方法 215

7-1 与方程组等价的变分问题 216

7-2 最速下降法 217

7-3 共轭梯度法 218

7-4 预处理共轭梯度方法 224

7-5 多项式预处理 226

评注 230

习题 231

数值实验题 238

第4章 非线性方程组数值解法 242

1 引言 242

1-1 非线性方程组求解问题 242

1-2 几类典型非线性问题 245

2 向量值函数的导数及其性质 248

2-1 连续与可导 248

2-2 导数性质与中值定理 251

3 压缩映射与不动点迭代法 252

3-1 压缩映射与不动点定理 252

3-2 不动点迭代法及其收敛性 255

4 牛顿法与牛顿型迭代法 259

4-1 牛顿法及其收敛性 259

4-2 牛顿法的变形与离散牛顿法 263

4-3 牛顿松弛型迭代法 267

5 拟牛顿法与Broyden方法 270

5-1 拟牛顿法基本思想 270

5-2 秩1拟牛顿法与Broyden方法 271

6-1 延拓法基本思想 275

6 延拓法 275

6-2 数值延拓法 277

6-3 参数微分法 279

7 并行多分裂方法 282

7-1 线性多分裂方法 282

7-2 非线性多分裂方法 285

8 非线性最小二乘问题数值方法 291

评注 295

习题 296

数值实验题 299

1-1 特征值问题的性质 303

1 特征值问题的性质和估计 303

第5章 矩阵特征值问题的计算方法 303

1-2 特征值的估计 305

1-3 特征值的扰动 307

2 正交变换和矩阵分解 308

2-1 Householder变换 308

2-2 Givens变换 311

2-3 矩阵的QR分解 312

2-4 矩阵的Schur分解 316

2-5 正交相似变换化矩阵为Hessenberg形 318

3 幂迭代法和逆幂迭代法 322

3-1 幂迭代法 322

3-2 加速技术(Aitken方法) 325

3-3 收缩方法 327

3-4 逆幂迭代法 328

4 QR算法 330

4-1 QR迭代的基本算法和性质 330

4-2 Hessenberg矩阵的QR方法 332

4-3 带有原点位移的QR方法 334

4-4 双重步QR方法 337

5 对称矩阵特征值问题的计算 342

5-1 对称QR方法 342

5-2 Rayleigh商加速和Rayleigh商迭代 344

5-3 Lanczos方法 346

评注 349

习题 350

数值实验题 354

第6章 常微分方程数值方法 356

1 初值问题数值方法 356

1-1 数值方法概述 356

1-2 局部截断误差与相容性 359

1-3 收敛性与稳定性 363

1-4 绝对稳定性与绝对稳定域 367

2-1 刚性方程组 372

2 刚性微分方程及其数值方法的稳定性概念 372

2-2 稳定性概念的扩充 377

3 解刚性方程的线性多步法 379

3-1 吉尔方法及其改进 379

3-2 含二阶导数的线性多步法 381

3-3 隐性问题与迭代法 383

4 隐式龙格-库塔法 384

4-1 龙格-库塔法的一般结构 384

4-2 基于数值求积公式的隐式RK方法 386

4-3 稳定性函数与隐式RK方法的A-稳定性 391

4-4 对角隐式RK方法 393

5 非线性方法 395

6 边值问题数值方法 398

6-1 打靶法 399

6-2 差分法 402

评注 407

习题 408

数值实验题 411

附录A 数学软件Matlab入门 416

附录B Matlab的工具箱 433

附录C 其他数学软件工具概览 438

参考文献 450

索引 454