第一章 光学系统自动设计问题的数学描述 9
1 衡量光学系统好坏的标准 9
1.1 象差与成象质量 9
1.2 光学系统的结构参数和象差 9
2 评价函数及其构成 9
2.1 评价函数的概念 9
2.2 评价函数的构成 10
3 光学系统自动设计问题的数学描述 13
3.1 约束条件 13
3.2 光学系统自动设计问题的数学描述 13
第二章 极值理论基础 14
1 多元函数的可微性、方向导数及斜量 14
1.1 引言 14
1.2 多元函数的可微性 14
1.3 方向导数及斜量 16
2 多元函数的泰勒公式 18
2.1 多元函数的高阶偏导数 18
2.2 复合函数的偏导数 20
2.3 泰勒公式 22
3 多元函数的极值 23
3.1 引言 23
3.2 极值存在的必要条件 23
3.3 极值存在的充分条件 25
3.4 二次型正(负)定性与极值 28
4 条件极值 32
4.1 引言 32
4.2 不定乘数法(约束极值存在的必要条件) 33
4.3 条件极值存在的充分条件 35
第三章 向量和矩阵的基本运算 37
1 向量及其运算 37
1.1 向量概念 37
1.2 向量的运算 37
1.3 高维空间的向量 38
2 内积与直交性 39
2.1 内积概念 39
2.2 直交性概念 40
2.3 标准直交基底 40
3 线性相关性 41
3.1 线性相关的概念 41
3.2 向量系统性独立的充分必要条件 42
3.3 线性相关的充要条件(续) 44
3.4 斯米特直交化方法 45
3.5 N维直交关系 46
4 矩阵及其运算 47
4.1 线性变换和矩阵概念 47
4.2 矩阵和向量的乘法 47
4.3 常数与矩阵的乘法 49
4.4 矩阵的加法 50
4.5 矩阵的乘法 51
4.6 转置和对称矩阵 53
5 M×N阶矩阵及二次型 54
5.1 M×N阶矩阵 54
5.2 乘法法则 55
5.3 向量及矩阵的运算及二次型的表示 55
5.4 乘积转置规则 56
5.5 A共轭向量 57
5.6 矩阵和向量的分块乘法 57
6 逆矩阵 58
6.1 逆矩阵的定义 58
6.2 乘积的逆矩阵 59
6.3 逆矩阵的1秩修正 59
7 投影算子及其性质 60
7.1 子空间及直交子空间 60
7.2 N维空间的直交分解 62
7.3 投影算子及其性质 63
7.4 投影算子的表示 64
7.5 补投影算子 64
7.6 矩阵ATA及矩阵的秩 65
第四章 矩阵的特征值、特征向量和二次型 66
1 矩阵的特征值与特征向量 66
1.1 特征值问题与特征多项式 66
1.2 凯莱-哈密顿定理 67
1.3 特征值和特征向量的性质 68
2 特征值的极性及估计 70
2.1 二次型的值域 70
2.2 特征值的极性 70
2.3 正定矩阵 71
2.4 椭球面的主轴 71
2.5 盖尔斯果林圆 72
2.6 盖尔斯果林圆的应用 72
3 一些特殊类型的矩阵 75
3.1 对角矩阵 75
3.2 三角矩阵 76
3.3 相似矩阵 77
3.4 化矩阵为对角型 78
3.5 直交矩阵 79
4 向量和矩阵的范数 80
4.1 向量的范数 80
4.2 范数的等价性 82
4.3 矩阵的范数 83
4.4 M×N阶矩阵的范数 85
4.5 F范数 86
第五章 解线代数方程组及计算逆矩阵的方法 87
1 线代数方程组的解法 87
1.1 消去法的基本思想 87
1.2 主元素消去法 88
1.3 主元素消去法(续) 89
1.4 逆矩阵的求法 89
2 具对称正定矩阵的线性方程组的解法 89
2.1 问题的提出 89
2.2 求L的方法(乔累斯基法) 90
2.3 改进的乔累斯基分解 91
2.4 行列式的计算 92
2.5 方程组的解法 92
2.6 求逆矩阵的方法 93
2.7 迭代校正方法 93
3 用消元法求正定矩阵的逆矩阵 94
3.1 引言 94
3.2 算法 94
4 方程组的条件数 95
4.1 引言 95
4.2 方程组的条件数 96
第六章 化导数为差商的方法以及常用的一维寻查方法 97
1 化导数为差商的方法 97
1.1 引言 97
1.2 导数的精确逼近 97
2 一维寻查方法 102
2.1 引言 102
2.2 寻查区间的确定 103
2.3 直接寻查法 104
2.4 插值方法 104
第七章 处理约束条件的方法 107
1 等式约束条件的处理方法 107
1.1 引言 107
1.2 直接代入法 107
1.3 约束变分法 107
1.4 制约函数法 108
1.5 逐次复归法 109
2 不等式约束的处理方法 110
2.1 允许点的求法 110
2.2 制约函数法 110
第八章 最小二乘法 112
1 最小二乘法 112
1.1 引言 112
1.2 最小二乘法 112
1.3 化导数为差商时步长的选择 113
1.4 最小二乘法的向量-矩阵表示 114
2 阻尼最小二乘法 114
2.1 引言 114
2.2 阻尼最小二乘法 115
2.3 阻尼因子的选择 115
3 其它改进方法 117
3.1 引言 117
3.2 改进的最小二乘法 117
3.3 改进的阻尼最小二乘法 118
3.4 阻尼因子的另一选法 118
第九章 共轭斜量法 119
1 最速下降方向的最速下降法 119
1.1 引言 119
1.2 最速下降方向和最速下降法 120
2 二阶收敛性的迭代方法 120
2.1 二次函数与极小化问题之间的关系 120
2.2 二阶收敛性 121
3 共轭斜量法 122
3.1 A共轭条件 122
3.2 寻查方向的确定 123
3.3 几何意义 126
4 共轭斜量法对二次函数和光学自动设计中的应用 126
4.1 用共轭斜量法解线性方程组 126
4.2 用共轭斜量法求评价函数的极小点 127
第十章 变尺度方法 129
1 牛顿方法及D.F.P.条件 129
1.1 引言 129
1.2 牛顿方法的思想及D.F.P.条件 129
2 变尺度方法 130
2.1 迭代矩阵Hi的构成 130
2.2 变尺度方法小结 131
2.3 在光学系统自动设计中应用的情况 131
3 Hi的正定性及变尺度方法的二阶收敛性 132
3.1 Hi的正定性定理 132
3.2 变尺度方法的二阶收敛性 132
3.3 线性寻查 134
第十一章 解约束极值问题的逐次复归斜量投影法 135
1 算法的基本思想 135
1.1 引言 135
1.2 使用记号说明 135
2 斜量相的算法 136
2.1 普通斜量法 136
2.2 共轭斜量投影法 138
2.3 共轭斜量投影法的二阶收敛性 140
3 非二次函数或约束为非线性的情形 141
3.1 斜量相的算法 141
3.2 复归相的算法 141
第十二章 直接寻查方法 143
1 引言 143
2 共轭方向法及其改进 143
2.1 共轭方向法的基本思想 143
2.2 共轭方向法 143
2.3 共轭方向法的改进 144
2.4 寻查方向的线性独立性 145
3 单纯形法 146
3.1 单纯形法的基本思想 146
3.2 单纯形法的步骤 146
3.3 单纯形法的框图 148
3.4 几点说明 148
第十三章 不等式法 149
1 引言 149
2 不等式法的基本思想 149
2.1 问题的提法和有关概念 149
2.2 不等式组的线性逼近 150
2.3 解法的思想 150
3 解线性不等式组的迭代法 150
3.1 记号和一些基本概念 150
3.2 迭代序列的构成 152
3.3 解非线性不等式的迭代方法 152
3.4 对非线性不等式及变量的处理 153
第十四章 标准直交化方法 154
1 引言 154
2 标准直交化方法 155
3 算法 156
4 框图 159
第十五章 适应法 160
1 方法基础 160
1.1 数学公式 160
1.2 三种循环 161
1.3 二个适应控制内容 161
1.4 举例说明 162
2 算法综述 164
2.1 框图 164
2.2 具体算法 165
2.3 几点说明 167
3 特点对比 167
3.1 与阻尼最小二乘法的比较 167
3.2 适应法的优缺点 167