第1章 集合、映射与函数 1
1.1 集合 1
1.1.1 集合 1
1.1.2 数集 1
1.2 映射 4
1.2.1 映射的概念 4
1.2.2 映射的复合 5
1.3 函数 7
1.3.1 函数的概念 7
1.3.2 函数的表示 7
1.3.3 函数的运算 9
1.3.4 函数的几何特性 10
第2章 序列极限 12
2.1 序列极限的概念*12+别2.1.1 序列 12
2.1.2 序列极限定义 13
2.2 序列极限性质 17
2.2.1 几何性质 17
2.2.2 极限的运算性质 20
2.3 敛散性判定定理及相关结论 23
2.3.1 单调有界原理 24
2.3.2 区间套原理 27
2.3.3 有限覆盖定理 28
2.3.4 致密性定理 29
2.3.5 柯西收敛准则 30
第3章 函数极限与连续 34
3.1 函数极限的定义 34
3.1.1 当x→a时，f(x)→A的定义 34
3.1.2 当x→∞时，f(x)→A的定义 35
3.1.3 左、右极限 37
3.1.4 函数极限的两个等价定义 40
3.2 函数极限性质 42
3.2.1 函数极限的几何性质 42
3.2.2 函数极限的运算性质 44
3.3 两个重要极限 47
3.3.1 ？？ 47
3.3.2 ？？ 48
3.4 函数连续与间断 50
3.4.1 函数连续的定义 50
3.4.2 在x0处连续的函数的性质 53
3.4.3 初等函数的连续性 54
3.4.4 间断点的类型 57
3.5 闭区间上连续函数的性质 59
3.5.1 有界性定理、最大(小)值定理 59
3.5.2 介值定理、零点定理 60
3.5.3 一致连续 62
3.6 无穷小(大)量及阶 65
3.6.1 无穷小(大)量定义及性质 65
3.6.2 阶的概念 67
第4章 微分、导数 70
4.1 微分、导数的定义 70
4.1.1 微分、导数的定义 70
4.1.2 导数的物理、几何意义 75
4.2 微分、导数运算 77
4.2.1 导数、微分的四则运算 77
4.2.2 一阶微分形式不变性(复合函数求导法则) 80
4.2.3 基本初等函数求导公式 83
4.2.4 隐函数求导法 87
4.2.5 参数方程所表示函数的求导法 88
4.3 一阶导数、微分的应用 88
4.3.1 变化率(速度) 88
4.3.2 曲线的切线、法线 90
4.3.3 微分的应用 91
4.4 高阶导数与高阶微分 93
4.4.1 高阶微分、高阶导数的概念 93
4.4.2 高阶微分、高阶导数的运算 95
4.4.3 参数方程、隐函数所表示函数的高阶导数 99
第5章 利用导数研究函数 102
5.1 微分中值定理 102
5.1.1 费马定理、罗尔中值定理 102
5.1.2 拉格朗日本值定理 104
5.1.3 柯西中值定理 107
5.2 洛比达法则 109
5.2.1 ？型 109
5.2.2 ？型不定式 113
5.2.3 其他的不定型 116
5.3.1 具有佩亚诺余项的泰勒展开式 118
5.3 泰勒公式 118
5.3.2 带有拉格朗日余项的秦勒展开式 121
5.3.3 基本初等函数的马克劳林展开式 124
5.4 函数图像分析 127
5.4.1 函数的上升、下降 127
5.4.2 函数的极植、最值 130
5.4.3 函数的凸性与拐点 134
5.4.4 渐近线 137
5.4.5 函数作图 138
第6章 不定积分 140
6.1 不定积分的概念 140
6.1.1 不定积分的定义 140
6.1.2 积分公式 141
6.1.3 不定积分的线性性质 143
6.2.1 第一变量替换 144
6.2 不定积分计算 144
6.2.2 分部积分法 152
6.2.3 两类能用初等函数表示的积分 154
第7章 定积分及其应用 160
7.1 定积分的概念 160
7.1.1 定积分的定义 160
7.1.2 定积分存在的条件 163
7.1.3 几类可积函数 167
7.2 定积分的性质 169
7.3 定积分的计算 173
7.3.1 牛顿-莱布尼茨公式 173
7.3.2 定积分的换元公式 176
7.3.3 定积分的分部积分公式 177
7.4 定积分的应用 178
7.4.1 平面图形的面积 178
7.4.2 曲线的弧长 182
7.4.3 微元法 186
第8章 欧氏空间与多元函数 196
8.1 n维欧氏空间 196
8.1.1 n维欧氏空间 196
8.1.2 Rn中点列的收敛性 198
8.2 Rn中点集的拓扑 201
8.2.1 概念 201
8.2.2 开集与闭集 202
8.2.3 开集与闭集的基本性质 203
8.3 Rn的基本性质 205
8.3.1 完备性 205
8.3.2 聚点原理 206
8.3.3 有限覆盖定理 206
8.4.1 映射 208
8.4 多元函数与向量函数 208
8.4.2 向量值函数 210
8.4.3 多元函数的几何表示 211
8.5 多元函数的极限 212
8.5.1 多元函数的极限 212
8.5.2 向量函数的极限 215
8.5.3 累次极限 215
8.6 多元函数的连续性 217
8.6.1 多元连续函数的概念 217
8.6.2 连续的等价命题 218
8.6.3 连续与紧性 220
8.6.4 连续与连通性 222
第9章 多元函数的微分学 224
9.1 偏导数与全微分的概念 224
9.1.1 偏导数 224
9.1.3 全微分的定义 226
9.1.2 偏导数的求法 226
9.2 复合函数偏导数的链式法则 230
9.2.1 复合函数 230
9.2.2 一阶微分形式的不变性 232
9.2.3 微分的运算法则 233
9.3 高阶偏导数和高阶全微分 233
9.3.1 高阶偏导数 233
9.3.2 高阶全微分 238
9.4 泰勒公式 239
第10章 多元函数微分学的应用 242
10.1 方向导数与梯度 242
10.1.1 引言 242
10.1.2 方向导数 243
10.1.3 梯度 244
10.2.1 参数曲线的切线 246
10.2 曲线的切线与曲面的切平面 246
10.2.2 参数曲面的切平面 247
10.2.3 隐式曲面的切面方程 247
10.2.4 隐式曲线的切线方程 248
10.3 普通极值 249
10.3.1 极值的定义 249
10.3.2 极植的必要条件 250
10.3.3 极值的充分条件 251
10.3.4 二维情形 252
10.4 条件极值问题 254
10.4.1 引言 254
10.4.2 条件极值的必要条件--拉格朗日乘子法 255
10.4.3 条件极值的充分条件 257
10.5 隐函数存在定理 260
10.5.1 提法 260
10.5.2 隐函数存在定理 263
10.5.3 多变量与方程组的情形 267
10.5.4 函数行列式的性质 271
第11章 多元函数的重积分 274
11.1 重积分的概念 274
11.1.1 物理背景 274
11.1.2 几何背景 275
11.1.3 几何形体Ω上的黎曼积分 276
11.2 积分的性质 278
11.3 二重积分的计算 279
11.3.1 化二重积分为累次积分 279
11.4 二重积分的变量替换 288
11.4.1 用极坐标计算二重积分 289
11.4.2 二重积分的一般变量替换 292
11.5.1 化三重积分为累次积分 298
11.5 三重积分的计算 298
11.5.2 三重积分的变量替换 302
11.5.3 柱面坐标 303
11.5.4 球面坐标 306
第12章 曲线积分与曲面积分 309
12.1 第一类型曲线积分 309
12.1.1 线密度与质量 309
12.1.2 第一类曲线积分的定义与计算 310
12.2 第一类曲面积分 312
12.2.1 曲面面积 312
12.2.2 面密度与质量 318
12.2.3 第一类曲面积分的计算 318
12.3 第二类曲线积分 320
12.3.1 功 320
12.3.2 第二类曲线积分的计算 321
12.4 第二类曲面积分 324
12.4.1 双侧曲面 324
12.4.2 流量 327
12.4.3 第二类曲面积分的计算 328
第13章 各种积分间的联系 335
13.1 格林公式 335
13.2 曲线积分和路径的无关性 340
13.3 高斯公式 345
13.4 斯托克司公式 352
第14章 广义积分 357
14.1 无穷区间的广义积分 357
14.2 无穷区间广义积分收敛性判别法 363
14.3 无界函数的广义积分 367
14.4 无界函数积分收敛性的判别法 370
15.1 上极限与下极限 375
第15章 数值级数 375
15.2 无穷级数 378
15.3 正项级数 383
15.4 任意项级数 389
15.4.1 交错级数 389
15.4.2 绝对收敛级数 391
15.4.3 阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 392
15.5 绝对收敛级数与条件收敛级数的性质 396
15.5.1 更序级数 397
15.5.2 级数的乘法 402
15.6 广义积分与级数的关系 404
16.1.1 函数项级数的概念 407
16.1.2 一致收敛的定义 407
第16章 函数项级数 幂级数 407
16.1 函数项级数的一致收敛 407
16.1.3 一致收敛级数的性质 417
16.2 幂级数 420
16.2.1 收敛半径 420
16.2.2 幂级数的性质 424
16.2.3 函数的幂级数展开 428
16.3 逼近定理 438
17.1.1 基本三角函数系 443
第17章 傅里叶级数 443
17.1 傅里叶级数 443
17.1.2 傅里叶系数 444
17.2 傅里叶级数的收敛性 451
17.2.1 狄利克雷积分 451
17.2.2 黎曼引理 453
17.2.3 傅里叶级数的收敛性判别法 456
17.3 任意周期的傅里叶展开及其复数形式 462