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第1章 集合、映射与函数 1

1.1 集合 1

1.1.1 集合 1

1.1.2 数集 1

1.2 映射 4

1.2.1 映射的概念 4

1.2.2 映射的复合 5

1.3 函数 7

1.3.1 函数的概念 7

1.3.2 函数的表示 7

1.3.3 函数的运算 9

1.3.4 函数的几何特性 10

第2章 序列极限 12

2.1 序列极限的概念*12+别2.1.1 序列 12

2.1.2 序列极限定义 13

2.2 序列极限性质 17

2.2.1 几何性质 17

2.2.2 极限的运算性质 20

2.3 敛散性判定定理及相关结论 23

2.3.1 单调有界原理 24

2.3.2 区间套原理 27

2.3.3 有限覆盖定理 28

2.3.4 致密性定理 29

2.3.5 柯西收敛准则 30

第3章 函数极限与连续 34

3.1 函数极限的定义 34

3.1.1 当x→a时，f(x)→A的定义 34

3.1.2 当x→∞时，f(x)→A的定义 35

3.1.3 左、右极限 37

3.1.4 函数极限的两个等价定义 40

3.2 函数极限性质 42

3.2.1 函数极限的几何性质 42

3.2.2 函数极限的运算性质 44

3.3 两个重要极限 47

3.3.1 ？？ 47

3.3.2 ？？ 48

3.4 函数连续与间断 50

3.4.1 函数连续的定义 50

3.4.2 在x0处连续的函数的性质 53

3.4.3 初等函数的连续性 54

3.4.4 间断点的类型 57

3.5 闭区间上连续函数的性质 59

3.5.1 有界性定理、最大(小)值定理 59

3.5.2 介值定理、零点定理 60

3.5.3 一致连续 62

3.6 无穷小(大)量及阶 65

3.6.1 无穷小(大)量定义及性质 65

3.6.2 阶的概念 67

第4章 微分、导数 70

4.1 微分、导数的定义 70

4.1.1 微分、导数的定义 70

4.1.2 导数的物理、几何意义 75

4.2 微分、导数运算 77

4.2.1 导数、微分的四则运算 77

4.2.2 一阶微分形式不变性(复合函数求导法则) 80

4.2.3 基本初等函数求导公式 83

4.2.4 隐函数求导法 87

4.2.5 参数方程所表示函数的求导法 88

4.3 一阶导数、微分的应用 88

4.3.1 变化率(速度) 88

4.3.2 曲线的切线、法线 90

4.3.3 微分的应用 91

4.4 高阶导数与高阶微分 93

4.4.1 高阶微分、高阶导数的概念 93

4.4.2 高阶微分、高阶导数的运算 95

4.4.3 参数方程、隐函数所表示函数的高阶导数 99

第5章 利用导数研究函数 102

5.1 微分中值定理 102

5.1.1 费马定理、罗尔中值定理 102

5.1.2 拉格朗日本值定理 104

5.1.3 柯西中值定理 107

5.2 洛比达法则 109

5.2.1 ？型 109

5.2.2 ？型不定式 113

5.2.3 其他的不定型 116

5.3.1 具有佩亚诺余项的泰勒展开式 118

5.3 泰勒公式 118

5.3.2 带有拉格朗日余项的秦勒展开式 121

5.3.3 基本初等函数的马克劳林展开式 124

5.4 函数图像分析 127

5.4.1 函数的上升、下降 127

5.4.2 函数的极植、最值 130

5.4.3 函数的凸性与拐点 134

5.4.4 渐近线 137

5.4.5 函数作图 138

第6章 不定积分 140

6.1 不定积分的概念 140

6.1.1 不定积分的定义 140

6.1.2 积分公式 141

6.1.3 不定积分的线性性质 143

6.2.1 第一变量替换 144

6.2 不定积分计算 144

6.2.2 分部积分法 152

6.2.3 两类能用初等函数表示的积分 154

第7章 定积分及其应用 160

7.1 定积分的概念 160

7.1.1 定积分的定义 160

7.1.2 定积分存在的条件 163

7.1.3 几类可积函数 167

7.2 定积分的性质 169

7.3 定积分的计算 173

7.3.1 牛顿-莱布尼茨公式 173

7.3.2 定积分的换元公式 176

7.3.3 定积分的分部积分公式 177

7.4 定积分的应用 178

7.4.1 平面图形的面积 178

7.4.2 曲线的弧长 182

7.4.3 微元法 186

第8章 欧氏空间与多元函数 196

8.1 n维欧氏空间 196

8.1.1 n维欧氏空间 196

8.1.2 Rn中点列的收敛性 198

8.2 Rn中点集的拓扑 201

8.2.1 概念 201

8.2.2 开集与闭集 202

8.2.3 开集与闭集的基本性质 203

8.3 Rn的基本性质 205

8.3.1 完备性 205

8.3.2 聚点原理 206

8.3.3 有限覆盖定理 206

8.4.1 映射 208

8.4 多元函数与向量函数 208

8.4.2 向量值函数 210

8.4.3 多元函数的几何表示 211

8.5 多元函数的极限 212

8.5.1 多元函数的极限 212

8.5.2 向量函数的极限 215

8.5.3 累次极限 215

8.6 多元函数的连续性 217

8.6.1 多元连续函数的概念 217

8.6.2 连续的等价命题 218

8.6.3 连续与紧性 220

8.6.4 连续与连通性 222

第9章 多元函数的微分学 224

9.1 偏导数与全微分的概念 224

9.1.1 偏导数 224

9.1.3 全微分的定义 226

9.1.2 偏导数的求法 226

9.2 复合函数偏导数的链式法则 230

9.2.1 复合函数 230

9.2.2 一阶微分形式的不变性 232

9.2.3 微分的运算法则 233

9.3 高阶偏导数和高阶全微分 233

9.3.1 高阶偏导数 233

9.3.2 高阶全微分 238

9.4 泰勒公式 239

第10章 多元函数微分学的应用 242

10.1 方向导数与梯度 242

10.1.1 引言 242

10.1.2 方向导数 243

10.1.3 梯度 244

10.2.1 参数曲线的切线 246

10.2 曲线的切线与曲面的切平面 246

10.2.2 参数曲面的切平面 247

10.2.3 隐式曲面的切面方程 247

10.2.4 隐式曲线的切线方程 248

10.3 普通极值 249

10.3.1 极值的定义 249

10.3.2 极植的必要条件 250

10.3.3 极值的充分条件 251

10.3.4 二维情形 252

10.4 条件极值问题 254

10.4.1 引言 254

10.4.2 条件极值的必要条件--拉格朗日乘子法 255

10.4.3 条件极值的充分条件 257

10.5 隐函数存在定理 260

10.5.1 提法 260

10.5.2 隐函数存在定理 263

10.5.3 多变量与方程组的情形 267

10.5.4 函数行列式的性质 271

第11章 多元函数的重积分 274

11.1 重积分的概念 274

11.1.1 物理背景 274

11.1.2 几何背景 275

11.1.3 几何形体Ω上的黎曼积分 276

11.2 积分的性质 278

11.3 二重积分的计算 279

11.3.1 化二重积分为累次积分 279

11.4 二重积分的变量替换 288

11.4.1 用极坐标计算二重积分 289

11.4.2 二重积分的一般变量替换 292

11.5.1 化三重积分为累次积分 298

11.5 三重积分的计算 298

11.5.2 三重积分的变量替换 302

11.5.3 柱面坐标 303

11.5.4 球面坐标 306

第12章 曲线积分与曲面积分 309

12.1 第一类型曲线积分 309

12.1.1 线密度与质量 309

12.1.2 第一类曲线积分的定义与计算 310

12.2 第一类曲面积分 312

12.2.1 曲面面积 312

12.2.2 面密度与质量 318

12.2.3 第一类曲面积分的计算 318

12.3 第二类曲线积分 320

12.3.1 功 320

12.3.2 第二类曲线积分的计算 321

12.4 第二类曲面积分 324

12.4.1 双侧曲面 324

12.4.2 流量 327

12.4.3 第二类曲面积分的计算 328

第13章 各种积分间的联系 335

13.1 格林公式 335

13.2 曲线积分和路径的无关性 340

13.3 高斯公式 345

13.4 斯托克司公式 352

第14章 广义积分 357

14.1 无穷区间的广义积分 357

14.2 无穷区间广义积分收敛性判别法 363

14.3 无界函数的广义积分 367

14.4 无界函数积分收敛性的判别法 370

15.1 上极限与下极限 375

第15章 数值级数 375

15.2 无穷级数 378

15.3 正项级数 383

15.4 任意项级数 389

15.4.1 交错级数 389

15.4.2 绝对收敛级数 391

15.4.3 阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 392

15.5 绝对收敛级数与条件收敛级数的性质 396

15.5.1 更序级数 397

15.5.2 级数的乘法 402

15.6 广义积分与级数的关系 404

16.1.1 函数项级数的概念 407

16.1.2 一致收敛的定义 407

第16章 函数项级数 幂级数 407

16.1 函数项级数的一致收敛 407

16.1.3 一致收敛级数的性质 417

16.2 幂级数 420

16.2.1 收敛半径 420

16.2.2 幂级数的性质 424

16.2.3 函数的幂级数展开 428

16.3 逼近定理 438

17.1.1 基本三角函数系 443

第17章 傅里叶级数 443

17.1 傅里叶级数 443

17.1.2 傅里叶系数 444

17.2 傅里叶级数的收敛性 451

17.2.1 狄利克雷积分 451

17.2.2 黎曼引理 453

17.2.3 傅里叶级数的收敛性判别法 456

17.3 任意周期的傅里叶展开及其复数形式 462