目录 1
第1篇 初等数学 1
1.1 绝对值 1
题型一 计算含绝对值的代数式的值 3
题型二 求解含绝对值的方程 5
题型三 判别含绝对值的不等式 9
习题1.1 11
1.2 比和比例 13
题型一 求解与两个量成比例的有关问题 14
题型二 求解与比例有关的实际应用题 18
习题1.2 26
1.3 算术平均值和几何平均值 30
题型一 求与平均值有关的参数值 31
题型二 判别不等式 33
题型三 利用平均值求函数的最大值、最小值 34
题型四 求解与平均值有关的实际应用题 36
习题1.3 37
1.4 一元一次方程和一元二次方程 38
题型一 已知一元二次方程，求其根的代数式的值 40
题型二 已知一元二次方程两根的某些关系，确定该方程 43
题型三 已知一元二次方程根的性质，求方程中参数的取值范围 46
题型四 求解对数方程和指数方程 48
题型五 求解一元一次方程的实际应用题 52
题型六 求解工程问题的实际应用题 53
题型七 求解行程问题的实际应用题 55
题型八 求解航运问题的实际应用题 58
题型九 求解复利问题的实际应用题 59
题型十 求解与浓度有关的化学应用题 62
习题1.4 63
1.5 一元一次不等式、一元二次不等式 69
题型一 利用不等式性质判别不等式 70
题型二 求解一元一次不等式组 73
题型三 求解一元二次不等式（组） 75
题型四 求解含绝对值的不等式 79
题型五 求解一元高次不等式 81
题型六 求解无理不等式 84
题型七 求解对数不等式 86
题型八 求解指数不等式 87
题型九 已知ax2+bx+c的取值情况，求其待定常数 89
题型十 利用不等式求函数的定义域、值域和最值 91
习题1.5 93
1.6 等差数列和等比数列 96
题型一 判别数列为等差数列或等比数列 100
题型二 求等差数列或等比数列的通项公式 106
题型三 求等差数列或等比数列若干项的代数式的值 109
题型四 求非等差数列或非等比数列的前n项和 118
题型五 求解与等差数列或（和）等比数列有关的综合应用题 122
题型六 应用等差数列或等比数列求解实际应用题 128
习题1.6 129
第2篇 微积分 135
2.1 函数、极限、连续 135
2.1.1 函数 135
题型一 求函数的定义域 139
题型二 已知af(g(x))+bf(？(x))=h(x)，求f(x) 140
题型三 求反函数的表达式 141
题型四 求分段函数的复合函数 143
题型五 判别函数的单调性 144
题型六 判别函数的周期性 146
题型七 判别函数的奇偶性 147
题型八 奇、偶函数的几个性质的应用 152
2.1.2 极限 154
题型一 判别极限的存在性 158
题型二 求？型或？型极限 160
题型三 求0·∞型极限 167
题型四 求∞-∞型极限 168
题型五 求幂指函数的极限 168
题型六 求几类形式特殊的函数极限 175
题型七 判别无穷小量与无穷大量 178
题型八 比较无穷小的阶 179
题型九 求极限式中的待定常数 181
题型十 已知含未知函数的一（些）极限，求与该函数有关的极限 183
2.1.3 函数的连续性 185
题型一 讨论函数的连续性 187
题型二 讨论极限函数的连续性 190
题型三 用零点定理讨论方程根的存在性 192
习题2.1 194
2.2 一元函数微分学 199
2.2.1 导数与微分 199
题型一 用导数定义求某些分式函数的极限 199
题型二 讨论函数在某点的可导性 202
题型三 讨论几类形式特殊的函数的可导性 205
题型四 求一元函数的导数 207
题型五 求函数在指定点的导数值 212
题型六 求一元函数的微分 215
题型七 已知函数在某点连续或可导，求其待定常数 217
2.2.2 导数的应用 219
题型一 求曲线的切线方程 219
题型二 求解相关变化率问题 223
题型三 判别函数的单调性并求其单调区间 224
题型四 求一元函数的极值 227
题型五 判别函数在某点是否取得极值 229
题型六 求函数在给定区间上的最值 232
题型七 求解最值问题的应用题 234
题型八 判别函数图形的凹凸性 235
题型九 判别拐点 237
题型十 已知函数的极（最）值点或（和）拐点，求该函数中的待定常数 239
题型十一 由所给函数的图形确定相关函数的性质 241
题型十二 讨论方程的根或函数零点的个数 243
题型十三 利用导数判别不等式 250
习题2.2 253
2.3 一元函数积分学 260
2.3.1 原函数与不定积分 260
题型一 求解与原函数有关的问题 261
题型二 简化计算有理函数的积分 264
题型三 计算被积函数含根式的积分 266
题型四 计算被积函数仅含指数函数类的积分 271
题型五 计算？（k为实数且不等于1） 274
习题2.3.1 276
2.3.2 计算定积分 278
题型一 利用定积分的几何意义计算定积分 279
题型二 计算对称区间上的定积分 280
题型三 利用周期函数性质计算定积分 283
题型四 比较和估计定积分的大小 285
题型五 使用分部积分法计算的几类定积分 287
题型六 求需换元计算的定积分 291
题型七 计算几类需分子区间积分的定积分 294
题型八 求解含积分值为常数的函数方程 296
习题2.3.2 297
2.3.3 求解与变限定积分有关的问题 300
题型一 求变限定积分的导数 301
题型二 计算被积函数为变限定积分的定积分 304
题型三 求被积函数为分段函数的变限定积分 304
题型四 讨论由变限积分所确定的函数的性态 307
题型五 由变限定积分所满足的函数方程求未知函数或其积分值 309
习题2.3.3 311
2.3.4 定积分的应用 313
题型一 已知曲线方程，求其所围平面图形的面积 313
题型二 已知曲线所围平面图形的面积确定有关待定常数 321
题型三 求函数在区间上的平均值 322
习题2.3.4 323
2.4 多元函数的微分学 325
2.4.1 多元函数一阶偏导数的计算 326
题型一 计算二（多）元显函数的偏导数 328
题型二 求二元显函数的偏导数在某点的值 329
题型三 计算复合函数的偏导数 330
题型四 求带绝对值的函数的偏导数 334
习题2.4.1 335
2.4.2 二元函数极值的判定与求法 337
题型一 判别二元函数的极值 338
题型二 求二元函数的极值 340
题型三 求简单的实际问题的最大值、最小值 341
习题2.4.2 345
3.1.1 行列式计算 347
3.1 行列式 347
第3篇 线性代数 347
题型一 利用行列式定义计算行列式 353
题型二 利用对角线法则计算三阶行列式 353
题型三 计算行列式的若干常用方法 355
题型四 计算行（列）和相等的行列式 364
题型五 求解行列式方程 366
题型六 求代数余子式之和的值 370
习题3.1.1 374
3.1.2 克莱姆法则 378
题型一 使用克莱姆法则求解方程个数与未知数个数相等的非齐次线性方程组 379
题型二 判别方程个数与未知数个数相等的齐次线性方程组只有零解 380
题型三 确定方程个数与未知数个数相等的线性方程组的系数行列式中的待定常数 381
习题3.1.2 383
3.2 矩阵 385
3.2.1 矩阵的运算及其运算律 385
题型一 利用矩阵的运算法则判别矩阵算式的正确性 388
题型二 判别两矩阵是否可交换 389
题型三 计算方阵的高次幂 390
题型四 求与已知矩阵可交换的所有矩阵 394
题型五 计算方阵的行列式 396
题型六 讨论矩阵的对称性 399
习题3.2.1 401
3.2.2 逆矩阵 403
题型一 利用逆矩阵的性质讨论有关矩阵等式的正确性 405
题型二 讨论矩阵的可逆性 408
题型三 矩阵元素给定，求其逆矩阵 411
题型四 求解矩阵方程 415
习题3.2.2 422
3.3 向量 425
3.3.1 向量组的线性相关性 425
题型一 判别向量组的线性相关性 425
题型二 判别解向量组的线性相关性 432
题型三 判别用向量组线性表出的向量组的线性相关性 434
习题3.3.1 437
3.3.2 向量组的秩 440
题型一 求分量给出的向量组的秩及其极大线性无关组 441
题型二 将向量用极大线性无关组线性表示 443
题型三 求抽象向量组的秩及其极大无关组 445
题型四 判别一向量能否用向量组线性表出 447
习题3.3.2 452
3.3.3 矩阵的秩 454
题型一 求元素具体给定的矩阵的秩 455
题型二 求与乘积矩阵有关的矩阵的秩 457
题型三 求与A＊有关的矩阵的秩 460
题型四 已知矩阵的秩，求该矩阵的待定常数 461
习题3.3.3 464
题型一 判定齐次线性方程组解的情况 466
3.4.1 齐次线性方程组 466
3.4 线性方程组 466
题型二 求齐次线性方程组的基础解系 469
题型三 求（判定）齐次线性方程组AX=0的通解 474
习题3.4.1 476
3.4.2 非齐次线性方程组 478
题型一 判定非齐次线性方程组解的情况 478
题型二 求解非齐次线性方程组 481
题型三 求抽象线性方程组的通解 485
题型四 由其解反求方程组的参数或其系数矩阵 490
题型五 求两线性方程组的非零公共解 493
题型六 讨论两方程组同解的有关问题 495
习题3.4.2 497
3.5 矩阵的特征值与特征向量的概念 501
题型一 求矩阵的特征值 502
题型二 求矩阵的特征向量 506
题型三 已知一矩阵的特征值、特征向量，求相关联矩阵的特征值、特征向量 509
题型四 已知特征值或（和）特征向量，求矩阵中的待定常数 514
习题3.5 517
第4篇 概率论 520
4.1 随机事件与概率 520
4.1.1 随机事件及其运算 520
题型一 描绘随机试验的样本空间 521
题型二 用事件的运算表示事件 523
题型三 判别事件间的关系 527
习题4.1.1 530
4.1.2 随机事件的概率 532
题型一 计算古典型概率 533
题型二 利用概率的性质计算事件的概率 540
习题4.1.2 550
4.1.3 条件概率与独立性 553
题型一 用乘法公式求解实际应用题 553
题型二 用条件概率与概率的乘法公式求解实际应用题 555
题型三 判别事件的独立性 557
题型四 利用事件的独立性计算事件的概率 562
习题4.1.3 563
4.1.4 计算独立试验序列概型的概率 565
题型一 已知n和p，求事件A发生一定次数的概率 566
题型二 已知事件A发生一定次数的概率，求p或（和）n 567
题型三 求解独立试验序列中的等待时间问题 568
题型四 计算抽样检验中的概率问题 569
习题4.1.4 570
4.2 随机变量 571
4.2.1 随机变量及其分布 572
题型一 求离散型随机变量的分布 575
题型二 求连续型随机变量的分布和有关概率 580
题型三 利用分布确定分布中的未知参数 585
题型四 判别随机变量的概率函数、分布函数、概率密度函数 589
题型五 求随机变量函数的概率分布 591
习题4.2.1 594
4.2.2 随机变量的数学期望和方差 597
题型一 求随机变量的数学期望或（和）方差 600
题型二 已知随机变量的数学期望或（和）方差，求其分布的待定常数 604
题型三 求随机变量函数的数学期望 605
题型四 求解与期望或方差有关的实际应用题 606
习题4.2.2 613
4.2.3 几种常用的分布 614
题型一 求服从二项分布的随机变量取值的概率 616
题型二 已知随机变量服从二项分布，且满足其他条件，确定分布参数 619
题型三 计算服从二项分布的随机变量或其函数的期望、方差、标准差 621
题型四 计算服从正态分布的随机变量落入区间内的概率 623
题型五 求正态分布随机变量或其函数的期望与方差 631
题型六 确定正态分布，使之满足一定要求 632
习题4.2.3 638
习题参考答案 642