第一章 绪论 1
1.1 常微分方程模型 1
1.2 基本概念和常微分方程的发展历史 16
1.2.1 常微分方程基本概念 16
1.2.2 雅可比矩阵与函数相关性 23
1.2.3 常微分方程的发展历史 24
本章学习要点 28
第二章 一阶微分方程的初等解法 30
2.1 变量分离方程与变量变换 30
2.1.1 变量分离方程 30
2.1.2 可化为变量分离方程的类型 34
2.1.3 应用举例 39
2.2 线性微分方程与常数变易法 44
2.3 恰当微分方程与积分因子 50
2.3.1 恰当微分方程 50
2.3.2 积分因子 55
2.4 一阶隐式微分方程与参数表示 62
2.4.1 可以解出y（或x）的方程 62
2.4.2 不显含y（或x）的方程 67
本章学习要点 70
第三章 一阶微分方程的解的存在定理 75
3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 76
3.1.1 存在唯一性定理 76
3.1.2 近似计算和误差估计 87
3.2 解的延拓 89
3.3 解对初值的连续性和可微性定理 93
3.3.1 解关于初值的对称性 94
3.3.2 解对初值的连续依赖性 94
3.3.3 解对初值的可微性 99
3.4 奇解 103
3.4.1 包络和奇解 103
3.4.2 克莱罗微分方程 108
3.5 数值解 112
3.5.1 欧拉方法 112
3.5.2 龙格库塔方法 114
本章学习要点 119
第四章 高阶微分方程 120
4.1 线性微分方程的一般理论 120
4.1.1 引言 120
4.1.2 齐次线性微分方程的解的性质与结构 121
4.1.3 非齐次线性微分方程与常数变易法 126
4.2 常系数线性微分方程的解法 133
4.2.1 复值函数与复值解 133
4.2.2 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程 136
4.2.3 非齐次线性微分方程·比较系数法与拉普拉斯变换法 144
4.2.4 质点振动 156
4.3 高阶微分方程的降阶和幂级数解法 166
4.3.1 可降阶的一些方程类型 166
4.3.2 二阶线性微分方程的幂级数解法 173
4.3.3 第二宇宙速度计算 181
本章学习要点 184
第五章 线性微分方程组 186
5.1 存在唯一性定理 186
5.1.1 记号和定义 186
5.1.2 存在唯一性定理 194
5.2 线性微分方程组的一般理论 202
5.2.1 齐次线性微分方程组 202
5.2.2 非齐次线性微分方程组 210
5.3 常系数线性微分方程组 219
5.3.1 矩阵指数exp A的定义和性质 219
5.3.2 基解矩阵的计算公式 223
5.3.3 拉普拉斯变换的应用 240
本章学习要点 246
第六章 非线性微分方程 248
6.1 稳定性 249
6.1.1 常微分方程组的存在唯一性定理 249
6.1.2 李雅普诺夫稳定性 250
6.1.3 按线性近似决定稳定性 255
6.2 V函数方法 262
6.2.1 李雅普诺夫定理 262
6.2.2 二次型V函数的构造 271
6.3 奇点 279
6.4 极限环和平面图貌 293
6.4.1 极限环 293
6.4.2 平面图貌 301
6.5 分支与混沌 309
6.5.1 常微分方程单参数分支 309
6.5.2 Lorenz方程与混沌 315
6.6 哈密顿方程 325
6.6.1 完全可积性 325
6.6.2 KAM定理和Mel'nikov函数 330
6.6.3 孤立子 336
本章学习要点 340
第七章 一阶线性偏微分方程 342
7.1 基本概念 342
7.2 一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系 344
7.3 利用首次积分求解常微分方程组 348
7.4 一阶线性偏微分方程的解法 352
7.5 柯西问题 362
本章学习要点 368
附录Ⅰ 边值问题 370
附录Ⅱ 数学软件在常微分方程中的应用 389
习题答案 408
参考文献 428