第三篇 多元函数微积分 3
第七章 多元函数微分学 3
§1 多元函数的极限与连续 3
Rn中的点集 3
多元函数 4
多元函数的极限 6
多元函数的连续性 8
有界闭区域上连续函数的性质 9
Rn→Rm的映射（向量值函数） 9
习题 11
§2 全微分与偏导数 12
全微分 12
偏导数 13
偏导数与全微分的计算 15
空间曲面的切平面（1） 17
高阶偏导数 18
可微映射 20
空间曲线的切线（1） 22
习题 23
§3 链式求导法则 24
多元函数求导的链式法则 25
全微分的形式不变性 29
复合映射的导数 30
坐标变换下的微分表达式 31
习题 34
§4 隐函数微分法及其应用 35
一元函数的隐函数存在定理 36
多元函数的隐函数存在定理 37
多元函数组的隐函数存在定理 38
空间曲面的切平面（2） 41
空间曲线的切线（2） 44
习题 46
§5 方向导数、梯度 47
方向导数 47
数量场的梯度 49
等值面的法向量 51
势场 52
习题 52
§6 Taylor公式 53
二元函数的Taylor公式 53
n元函数的Taylor公式 57
习题 58
§7 极值 58
多元函数的无条件极值 58
函数的最值 62
最小二乘法 63
条件极值 68
习题 72
计算实习题 74
第八章 多元函数积分学 75
§1 重积分的概念及其性质 75
重积分概念的背景 75
重积分的概念 76
重积分的性质 77
习题 78
§2 二重积分的计算 79
直角坐标系下二重积分的计算 79
二重积分的变量代换法 83
极坐标系下二重积分的计算 85
习题 87
直角坐标系下三重积分的计算 89
§3 三重积分的计算及应用 89
三重积分的变量代换 92
柱坐标变换和球坐标变换 92
重积分的应用：质心与转动惯量 95
重积分的应用：引力 97
习题 98
§4 广义重积分 100
无界区域上的广义重积分 100
无界函数的广义重积分 105
习题 107
§5 两类曲线积分 107
曲线的弧长 108
第一类曲线积分的概念及性质 108
第一类曲线积分的计算 109
第二类曲线积分的概念及性质 112
第二类曲线积分的计算 113
两类曲线积分的关系 115
习题 116
§6 第一类曲面积分 117
曲面的面积 117
第一类曲面积分的概念 120
第一类曲面积分的计算 120
习题 122
§7 第二类曲面积分 123
曲面的侧与有向曲面 123
第二类曲面积分的概念及性质 125
第二类曲面积分的计算 126
习题 130
§8 Green公式和Stokes公式 131
Green公式 132
Stokes公式 137
习题 141
§9 旋度和无旋场 142
环量和旋度 142
无旋场、保守场和势场 145
原函数 148
习题 151
§10 Gauss公式和散度 152
流场的流出量 152
Gauss公式 154
散度 158
Hamilton算符和Laplace算符 161
习题 162
第九章 级数 164
§1 数项级数 164
级数的概念 164
级数的基本性质 167
级数的Cauchy收敛准则 169
正项级数的比较判别法 170
正项级数的Cauchy判别法与D'Alembert判别法 173
正项级数的积分判别法 175
Leibniz级数 177
任意项级数的Abel判别法与Dirichlet判别法 178
更序级数 179
级数的乘法 180
习题 182
§2 幂级数 184
函数项级数 184
幂级数 186
幂级数的收敛半径 186
幂级数的性质 188
函数的Taylor级数与余项 195
初等函数的Taylor展开 197
习题 203
§3 Fourier级数 204
周期为2π的函数的Fourier展开 205
正弦级数和余弦级数 207
任意周期的函数的Fourier展开 209
Fourier级数的收敛性 211
最佳平方逼近 214
习题 216
§4 Fourier变换初步 218
Fourier变换和Fourier逆变换 218
Fourier变换的性质 221
离散Fourier变换 224
习题 226
第十章 常微分方程 229
§1 常微分方程的概念 229
第四篇 常微分方程 229
习题 231
§2 一阶常微分方程 231
变量可分离方程 232
数学建模 233
齐次方程 235
全微分方程 239
线性方程 241
Bernoulli方程 244
习题 246
§3 二阶线性微分方程 248
二阶线性微分方程 248
线性微分方程的解的结构 249
二阶常系数齐次线性微分方程 252
二阶非齐次线性微分方程的常数变易法 255
二阶常系数非齐次线性微分方程 256
Euler方程 262
习题 263
§4 可降阶的高阶微分方程 265
形式为F(x,y(n))=0的方程 265
形式为F(x,y(k),y(k+1),…,y(n))=0的方程 268
形式为F(y,y′,y″,…,y(n))=0的方程 271
习题 273
§5 微分方程的幂级数解法 274
习题 279
§6 常系数线性微分方程组简介 279
习题 283
第五篇 概率论与数理统计 287
第十一章 概率论 287
§1 概率 287
随机事件 287
概率的概念 289
古典概型的例 291
几何概率的例 294
习题 294
§2 条件概率、全概率公式、Bayes公式 296
条件概率、乘法公式 296
全概率公式 297
Bayes公式 299
事件的独立性 301
重复独立试验 302
习题 303
§3 一维随机变量 304
随机变量的概念 304
离散型随机变量的分布 305
连续型随机变量 309
习题 315
二维随机变量 316
§4 二维随机变量 316
离散型二维随机变量 317
连续型二维随机变量 318
随机变量的相互独立性 319
随机变量函数的分布 321
二维随机变量的函数的分布 324
习题 325
§5 随机变量的数字特征 327
数学期望 328
方差和标准差 330
随机变量的函数的数学期望 333
二维随机变量的数字特征 334
习题 338
§6 大数定律和中心极限定理 339
Чебышев定理 340
Чебышев不等式与大数定律 340
中心极限定理 342
积分极限定理 344
习题 345
第十二章 数理统计 347
§1 数理统计的基本概念、样本及其分布 347
总体与样本 347
直方图 349
三个重要分布 350
x2分布 350
t分布 352
F分布 353
统计量 354
统计量的分布 355
习题 357
矩估计法 359
点估计 359
§2 参数估计 359
极大似然估计法 361
估计值好坏的标准 363
区间估计 365
习题 370
§3 假设检验 371
两类错误 372
正态总体均值与方差的假设检验 373
总体分布的假设检验 376
习题 378
§4 方差分析 380
统计假设 381
检验方法 381
基本假设的显著性检验 383
习题 386
§5 一元正态线性回归分析 387
一元正态线性回归分析的数学模型 387
未知参数的点估计 388
估计量？,？和s2的分布 390
未知参数a,b和σ2的区间估计 390
回归方程的显著性检验 391
预测和控制 393
习题 397
附录 399
附表1 Poisson分布表 399
附表2 标准正态分布数值表 401
附表3 t（n）分布的上临界值表 402
附表4 x2分布的上临界值表 403
附表5（一） F分布的上临界值表 404
附表5（二） F分布的上临界值表 406