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第三篇 多元函数微积分 3

第七章 多元函数微分学 3

§1 多元函数的极限与连续 3

Rn中的点集 3

多元函数 4

多元函数的极限 6

多元函数的连续性 8

有界闭区域上连续函数的性质 9

Rn→Rm的映射（向量值函数） 9

习题 11

§2 全微分与偏导数 12

全微分 12

偏导数 13

偏导数与全微分的计算 15

空间曲面的切平面（1） 17

高阶偏导数 18

可微映射 20

空间曲线的切线（1） 22

习题 23

§3 链式求导法则 24

多元函数求导的链式法则 25

全微分的形式不变性 29

复合映射的导数 30

坐标变换下的微分表达式 31

习题 34

§4 隐函数微分法及其应用 35

一元函数的隐函数存在定理 36

多元函数的隐函数存在定理 37

多元函数组的隐函数存在定理 38

空间曲面的切平面（2） 41

空间曲线的切线（2） 44

习题 46

§5 方向导数、梯度 47

方向导数 47

数量场的梯度 49

等值面的法向量 51

势场 52

习题 52

§6 Taylor公式 53

二元函数的Taylor公式 53

n元函数的Taylor公式 57

习题 58

§7 极值 58

多元函数的无条件极值 58

函数的最值 62

最小二乘法 63

条件极值 68

习题 72

计算实习题 74

第八章 多元函数积分学 75

§1 重积分的概念及其性质 75

重积分概念的背景 75

重积分的概念 76

重积分的性质 77

习题 78

§2 二重积分的计算 79

直角坐标系下二重积分的计算 79

二重积分的变量代换法 83

极坐标系下二重积分的计算 85

习题 87

直角坐标系下三重积分的计算 89

§3 三重积分的计算及应用 89

三重积分的变量代换 92

柱坐标变换和球坐标变换 92

重积分的应用：质心与转动惯量 95

重积分的应用：引力 97

习题 98

§4 广义重积分 100

无界区域上的广义重积分 100

无界函数的广义重积分 105

习题 107

§5 两类曲线积分 107

曲线的弧长 108

第一类曲线积分的概念及性质 108

第一类曲线积分的计算 109

第二类曲线积分的概念及性质 112

第二类曲线积分的计算 113

两类曲线积分的关系 115

习题 116

§6 第一类曲面积分 117

曲面的面积 117

第一类曲面积分的概念 120

第一类曲面积分的计算 120

习题 122

§7 第二类曲面积分 123

曲面的侧与有向曲面 123

第二类曲面积分的概念及性质 125

第二类曲面积分的计算 126

习题 130

§8 Green公式和Stokes公式 131

Green公式 132

Stokes公式 137

习题 141

§9 旋度和无旋场 142

环量和旋度 142

无旋场、保守场和势场 145

原函数 148

习题 151

§10 Gauss公式和散度 152

流场的流出量 152

Gauss公式 154

散度 158

Hamilton算符和Laplace算符 161

习题 162

第九章 级数 164

§1 数项级数 164

级数的概念 164

级数的基本性质 167

级数的Cauchy收敛准则 169

正项级数的比较判别法 170

正项级数的Cauchy判别法与D'Alembert判别法 173

正项级数的积分判别法 175

Leibniz级数 177

任意项级数的Abel判别法与Dirichlet判别法 178

更序级数 179

级数的乘法 180

习题 182

§2 幂级数 184

函数项级数 184

幂级数 186

幂级数的收敛半径 186

幂级数的性质 188

函数的Taylor级数与余项 195

初等函数的Taylor展开 197

习题 203

§3 Fourier级数 204

周期为2π的函数的Fourier展开 205

正弦级数和余弦级数 207

任意周期的函数的Fourier展开 209

Fourier级数的收敛性 211

最佳平方逼近 214

习题 216

§4 Fourier变换初步 218

Fourier变换和Fourier逆变换 218

Fourier变换的性质 221

离散Fourier变换 224

习题 226

第十章 常微分方程 229

§1 常微分方程的概念 229

第四篇 常微分方程 229

习题 231

§2 一阶常微分方程 231

变量可分离方程 232

数学建模 233

齐次方程 235

全微分方程 239

线性方程 241

Bernoulli方程 244

习题 246

§3 二阶线性微分方程 248

二阶线性微分方程 248

线性微分方程的解的结构 249

二阶常系数齐次线性微分方程 252

二阶非齐次线性微分方程的常数变易法 255

二阶常系数非齐次线性微分方程 256

Euler方程 262

习题 263

§4 可降阶的高阶微分方程 265

形式为F(x,y(n))=0的方程 265

形式为F(x,y(k),y(k+1),…,y(n))=0的方程 268

形式为F(y,y′,y″,…,y(n))=0的方程 271

习题 273

§5 微分方程的幂级数解法 274

习题 279

§6 常系数线性微分方程组简介 279

习题 283

第五篇 概率论与数理统计 287

第十一章 概率论 287

§1 概率 287

随机事件 287

概率的概念 289

古典概型的例 291

几何概率的例 294

习题 294

§2 条件概率、全概率公式、Bayes公式 296

条件概率、乘法公式 296

全概率公式 297

Bayes公式 299

事件的独立性 301

重复独立试验 302

习题 303

§3 一维随机变量 304

随机变量的概念 304

离散型随机变量的分布 305

连续型随机变量 309

习题 315

二维随机变量 316

§4 二维随机变量 316

离散型二维随机变量 317

连续型二维随机变量 318

随机变量的相互独立性 319

随机变量函数的分布 321

二维随机变量的函数的分布 324

习题 325

§5 随机变量的数字特征 327

数学期望 328

方差和标准差 330

随机变量的函数的数学期望 333

二维随机变量的数字特征 334

习题 338

§6 大数定律和中心极限定理 339

Чебышев定理 340

Чебышев不等式与大数定律 340

中心极限定理 342

积分极限定理 344

习题 345

第十二章 数理统计 347

§1 数理统计的基本概念、样本及其分布 347

总体与样本 347

直方图 349

三个重要分布 350

x2分布 350

t分布 352

F分布 353

统计量 354

统计量的分布 355

习题 357

矩估计法 359

点估计 359

§2 参数估计 359

极大似然估计法 361

估计值好坏的标准 363

区间估计 365

习题 370

§3 假设检验 371

两类错误 372

正态总体均值与方差的假设检验 373

总体分布的假设检验 376

习题 378

§4 方差分析 380

统计假设 381

检验方法 381

基本假设的显著性检验 383

习题 386

§5 一元正态线性回归分析 387

一元正态线性回归分析的数学模型 387

未知参数的点估计 388

估计量？,？和s2的分布 390

未知参数a,b和σ2的区间估计 390

回归方程的显著性检验 391

预测和控制 393

习题 397

附录 399

附表1 Poisson分布表 399

附表2 标准正态分布数值表 401

附表3 t（n）分布的上临界值表 402

附表4 x2分布的上临界值表 403

附表5（一） F分布的上临界值表 404

附表5（二） F分布的上临界值表 406