第一章 变换群与几何学 1
1 变换与变换群 1
1.1 映射与变换 1
1.2 映射的乘积与逆 3
1.3 变换的不动元素与不动子集 4
1.4 变换群 5
习题1.1 5
2 仿射坐标和仿射平面 6
2.1 仿射坐标和仿射坐标变换 6
2.2 在仿射平面上的几个常用结论 9
2.3 仿射平面A2的定义 10
习题1.2 11
3 仿射变换 11
3.1 透视仿射变换 11
3.2 仿射变换的定义与基本性质 13
3.3 仿射变换的表达式 14
3.4 几种重要的仿射变换 15
3.5 关于仿射变换的几个重要定理 17
习题1.3 18
4 欧氏平面和保距变换 19
4.1 欧氏平面E2的定义 19
4.2 保距变换的定义和表达式 20
4.3 保距变换的直观实现 21
4.4 保距变换的性质 22
习题1.4 23
5 几何学与变换群的关系 23
5.1 欧氏几何与欧氏群 23
5.2 克莱因观点介绍 24
5.3 仿射群与仿射几何 25
习题1.5 25
第二章 射影平面 27
1 扩大仿射平面 27
1.1 中心射影的直观讨论 27
1.2 点的齐次仿射坐标 29
1.3 直线的齐次仿射坐标方程 30
习题2.1 32
2 射影平面 33
2.1 射影平面和它的性质 33
2.2 射影平面P2的定义和它的模型 34
2.3 射影坐标和射影坐标变换 36
2.4 直线与点列 一维射影坐标 39
2.5 德萨格定理 41
习题2.2 43
3 交比与调和共轭 44
3.1 在扩大欧氏平面上的直观讨论 44
3.2 交比的定义和计算 45
3.3 交比与射影坐标的关系 49
3.4 交比的分组 50
3.5 调和共轭 51
3.6 完全四点形的调和性质 52
习题2.3 54
4 对偶原理 55
4.1 点坐标与线坐标 55
4.2 对偶原理 57
4.3 几种重要的对偶图形和命题 60
习题2.4 64
第三章 射影变换 66
1 一维射影变换 66
1.1 透视对应 66
1.2 一维基本形之间的射影对应 68
1.3 射影对应与透视的关系 71
1.4 一维射影变换 73
1.5 对合 74
习题3.1 76
2 直射变换 78
2.1 直射变换的定义和表达式 78
2.2 射影群和基本射影性质 80
2.3 关于直射的基本定理 82
2.4 直射变换的不动元素 85
2.5 同调与直移 87
习题3.2 88
3 对射变换与配极 89
3.1 对射变换 89
3.2 配极变换 90
3.3 共轭元素与配极原则 91
3.4 配极的分类与自极三点形 94
3.5 配极诱导的对合 97
习题3.3 99
第四章 二次曲线的射影理论 102
1 配极变换与二次曲线 102
1.1 二阶曲线与二级曲线 102
1.2 极点与极线 二次曲线 104
1.3 二次曲线方程的简化形式 107
习题4.1 109
2 一维射影对应与二次曲线 110
2.1 二次曲线的射影定义 110
2.2 帕斯卡定理与布利安香定理 115
习题4.2 118
3 二次曲线的射影分类 119
3.1 退化二阶曲线和奇异点 119
3.2 二次曲线的射影分类 121
习题4.3 125
第五章 射影几何的子几何 127
1 无穷远直线与仿射几何 127
1.1 扩大仿射平面和仿射变换 127
1.2 仿射性质 128
1.3 二次曲线的仿射理论 130
习题5.1 138
2 圆环点与欧氏几何 139
2.1 虚元素 复射影平面 139
2.2 绝对对合与直角坐标 140
2.3 保距变换与欧氏度量 141
2.4 二次曲线的度量性质 145
习题5.2 149
3 实二次曲线与双曲几何 150
3.1 自同构群与射影测度 150
3.2 第五公设与罗巴切夫斯基几何的产生 152
3.3 实二次曲线与双曲运动群 153
3.4 双曲度量 155
3.5 罗巴切夫斯基几何的克莱因模型 158
习题5.3 161
4 射影几何的其他子几何 161
4.1 虚二次曲线和椭圆几何 161
4.2 伽利略几何简介 164
4.3 闵科夫斯基几何简介 165
习题5.4 165
第六章 计算机图形学的常用变换 166
1 预备知识 166
1.1 图形学中常用坐标系 166
1.2 齐次坐标 167
1.3 坐标变换 169
习题6.1 170
2 二维几何变换 170
2.1 二维基本点变换 170
2.2 变换的合成 172
2.3 二维视见变换 177
习题6.2 179
3 三维几何变换 180
3.1 射影空间的射影变换 180
3.2 常用仿射变换 180
3.3 保距变换 181
3.4 变换的合成 182
习题6.3 188
4 投影变换 188
4.1 平行投影 189
4.2 透视变换和透视投影 192
4.3 灭点 195
4.4 通用透视投影及其灭点 196
4.5 观察坐标系下的透视投影 199
习题6.4 202
第七章 高等几何与中学几何 203
1 高等几何对中学几何的一般指导意义 203
1.1 几何学的对象和分类 203
1.2 对坐标系的认识 204
1.3 关于直线形 205
1.4 关于二次曲线理论 205
1.5 综合法与解析法 206
讨论题 207
2 中学几何命题的发现 208
2.1 从已知射影命题设计出初等命题 208
2.2 变换已知命题，得出新命题 210
习题7.2 214
3 用高等几何方法证明中学几何题 215
3.1 仿射变换的应用 215
3.2 射影变换的应用 217
3.3 关于点线结合命题的证明 220
习题7.3 220
4 直尺作图 220
4.1 利用完全四点形的调和性质作图 221
4.2 有关不可到达的点和直线的作图 222
4.3 有关二次曲线的作图 223
习题7.4 225
5 射影几何的历史概述 225
5.1 射影几何的萌芽时期 225
5.2 射影几何创立初期 225
5.3 射影几何的形成和繁荣时期 226
5.4 计算机科学的发展赋予射影几何新的活力 227
5.5 射影几何在中国 228
习题答案与提示 230
索引 253
参考书目 257