目录 2
第一章 形象认识微分与积分 2
1 动画——微分与积分的第一印象 2
2 “连续变化”是怎样的变化 4
3 平均速度VS瞬时速度 6
4 如何求瞬时速度 8
5 从地图的面积着手了解积分 10
6 面积是线段的集合吗 12
7 微分与积分到底是什么 14
专栏1 《林德纸草书》的数学 16
第二章 初探极限世界 18
1 骑士能到达城堡吗——最大限度的概念 18
2 0.99999 ＝1吗 20
3 以分数表示循环小数 22
4 阿喀琉斯能追上乌龟吗 24
5 极限值＝收敛 26
专栏2 飞矢不动？ 28
第三章 通往微分之路：曲线的切线 30
1 切线是什么 30
2 追踪赛车方向 32
3 圆的弦的极限就是切线 34
4 曲线尖头部位画不出切线 36
5 变化的比例 38
6 平均变化率和弦的斜率 40
7 瞬间的弦的斜率＝切线的斜率 42
8 “微分系数”是微分的根本原理 44
9 求出切线的方程 46
专栏3 《九章算术》的体积计算 48
第四章 有曲线可“微分” 50
1 馒头和函数 50
2 微分系数太麻烦，使用“导函数”吧 52
3 微分运算（1）——二次函数的运算是基础 54
4 微分运算（2）——直线和常数的情况 56
5 使用“微分公式”立刻得出答案 58
6 微分函数f（x）＝ax3＋bx2＋ 60
7 记忆更复杂的微分公式 62
8 微分练习 64
专栏4 天才关孝和的圆周率 66
第五章 掌握微分公式，顺利解题 68
1 切线的斜率道出了“曲线的形状” 68
2 曲线的升降——单调递增与单调递减 70
3 局部的最大和最小——极大值、极小值 72
4 通过图表描绘出曲线的大致形状——掌握函数增减表 74
5 判断曲线凹凸的方法——求二次微分f″（x）的正负 76
6 懂得增减、极值、凹凸，就可完全掌握图象 78
7 三次函数的图象是怎样的 80
8 三次函数可以作几条切线 82
9 高效制作“滴水槽”的方法 84
10 肥皂泡的膨胀速度 86
专栏5 最快的旋轮线曲线 88
1 求原函数 90
第六章 积分是微分的逆运算吗 90
2 这就是积分公式 92
3 是先积分后微分，还是先微分后积分 94
4 从切线的斜率求原来的函数 96
5 定积分中“C”消失了 98
6 积分练习 100
专栏6 通过积分预测“樱花前线” 102
第七章 掌握积分 104
1 微小的变化决定全体（1）——求圆的面积 104
2 微小的变化决定全体（2）——测量侧面的水压 106
3 利用定积分计算面积——曲线所成面积 108
4 二次函数所形成的面积 110
5 可以将面积认为是“积分的和”吗 112
6 求两条曲线围成的区域面积 114
7 以定积分求面积——微积分学的基本定理 116
8 体积是面积的和——阿基米德的主张 118
9 卡瓦列里原理——截面积比一定时，体积比也与之相同 120
10 来切切萝卜——以积分求体积 122
11 圆锥的体积公式——为什么是圆柱体积的三分之一 124
12 斜切圆柱所得体积 126
13 旋转圆，得到球——切面总为圆 128
专栏7 “微积分的创始人”之间关系恶劣？ 130
1 用积分求极值的差——微积分的基本定理的应用 132
第八章 得心应手使用微分与积分 132
2 正方形的n分之一的面积——用抛物线3等分 134
3 年轮形点心（圆柱体）的体积——“圆柱形薄膜”的集合 136
4 求圆环体的体积——Guldin（古鲁金）定理 138
5 削苹果皮——微分使得“次数”下降 140
6 关于微分方程——用积分来解 142
7 苹果自由下落——推导出万有引力定律 144
8 往往返返的距离——用面积求距离 146
9 用“近似计算”快速求解——利用（1＋h）n≈1＋nh 148
专栏8 微分方程不可解？ 150