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目录 2

第一章　形象认识微分与积分 2

1　动画——微分与积分的第一印象 2

2　“连续变化”是怎样的变化 4

3　平均速度VS瞬时速度 6

4　如何求瞬时速度 8

5　从地图的面积着手了解积分 10

6　面积是线段的集合吗 12

7　微分与积分到底是什么 14

专栏1 《林德纸草书》的数学 16

第二章　初探极限世界 18

1　骑士能到达城堡吗——最大限度的概念 18

2　0.99999 ＝1吗 20

3　以分数表示循环小数 22

4　阿喀琉斯能追上乌龟吗 24

5　极限值＝收敛　 26

专栏2　飞矢不动？ 28

第三章　通往微分之路：曲线的切线 30

1　切线是什么　 30

2　追踪赛车方向　 32

3　圆的弦的极限就是切线 34

4　曲线尖头部位画不出切线 36

5　变化的比例　 38

6　平均变化率和弦的斜率 40

7　瞬间的弦的斜率＝切线的斜率 42

8　“微分系数”是微分的根本原理 44

9　求出切线的方程 46

专栏3 《九章算术》的体积计算 48

第四章 有曲线可“微分” 50

1　馒头和函数　 50

2　微分系数太麻烦，使用“导函数”吧 52

3　微分运算（1）——二次函数的运算是基础 54

4　微分运算（2）——直线和常数的情况 56

5　使用“微分公式”立刻得出答案 58

6　微分函数f（x）＝ax3＋bx2＋ 60

7 记忆更复杂的微分公式 62

8　微分练习 64

专栏4 天才关孝和的圆周率 66

第五章　掌握微分公式，顺利解题 68

1　切线的斜率道出了“曲线的形状” 68

2　曲线的升降——单调递增与单调递减　 70

3　局部的最大和最小——极大值、极小值 72

4　通过图表描绘出曲线的大致形状——掌握函数增减表 74

5　判断曲线凹凸的方法——求二次微分f″（x）的正负 76

6　懂得增减、极值、凹凸，就可完全掌握图象 78

7　三次函数的图象是怎样的 80

8　三次函数可以作几条切线 82

9　高效制作“滴水槽”的方法 84

10　肥皂泡的膨胀速度 86

专栏5　最快的旋轮线曲线　 88

1　求原函数 90

第六章　积分是微分的逆运算吗 90

2　这就是积分公式 92

3　是先积分后微分，还是先微分后积分 94

4　从切线的斜率求原来的函数 96

5　定积分中“C”消失了 98

6　积分练习 100

专栏6 通过积分预测“樱花前线” 102

第七章 掌握积分 104

1　微小的变化决定全体（1）——求圆的面积 104

2　微小的变化决定全体（2）——测量侧面的水压 106

3　利用定积分计算面积——曲线所成面积 108

4　二次函数所形成的面积 110

5　可以将面积认为是“积分的和”吗 112

6　求两条曲线围成的区域面积 114

7　以定积分求面积——微积分学的基本定理 116

8　体积是面积的和——阿基米德的主张 118

9　卡瓦列里原理——截面积比一定时，体积比也与之相同 120

10　来切切萝卜——以积分求体积 122

11　圆锥的体积公式——为什么是圆柱体积的三分之一 124

12　斜切圆柱所得体积 126

13　旋转圆，得到球——切面总为圆 128

专栏7 “微积分的创始人”之间关系恶劣？ 130

1　用积分求极值的差——微积分的基本定理的应用 132

第八章　得心应手使用微分与积分 132

2　正方形的n分之一的面积——用抛物线3等分 134

3　年轮形点心（圆柱体）的体积——“圆柱形薄膜”的集合 136

4　求圆环体的体积——Guldin（古鲁金）定理 138

5　削苹果皮——微分使得“次数”下降 140

6　关于微分方程——用积分来解 142

7　苹果自由下落——推导出万有引力定律 144

8　往往返返的距离——用面积求距离 146

9　用“近似计算”快速求解——利用（1＋h）n≈1＋nh 148

专栏8　微分方程不可解？ 150